2024届新高考一轮复习人教A版 第八章 第四讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 学案

第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系知识梳理知识点一直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d_<__rΔ_>__0相切d_＝__rΔ_＝__0相离d_>__rΔ_<__0知识点二圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况公切线条数外离_d>r1＋r2___无解__4外切_d＝r1＋r2__一组实数解3相交_|r1－r2|<d<r1＋r2__两组不同的实数解2内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)_一组实数解__1内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)_无解__0归纳拓展1．当两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，相交(切)时，两圆方程相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0；两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点．2．(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2.(3)过圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0)的切线，则点P到切点的切线长为d＝eq\r(x0－a2＋y0－b2－r2)(d＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F))4．(1)直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半eq\f(1,2)l满足关系式r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)l))2.(2)过圆内一点的最长的弦是直径，最短的是垂直这点与圆心连线的弦．5．两个圆系方程(1)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×(3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(√)题组二走进教材2．(选择性必修1P98T3)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝eq\r(10).[解析]圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝(eq\r(5))2，又圆心(1,2)到直线l的距离为eq\f(\r(10),2)，∴|AB|＝2eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))2)＝eq\r(10).题组三走向高考3．(多选题)(2021·全国高考Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(ABD)A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切[解析]圆心C(0,0)到直线l的距离d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD.4．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4)或y＝eq\f(7,24)x－eq\f(25,24)或x＝－1.[解析]解法1：圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为O1(3,4)，半径为4，两圆圆心距为eq\r(32＋42)＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为kOO1＝eq\f(4,3)，所以kl＝－eq\f(3,4)，设方程为y＝－eq\f(3,4)x＋t(t>0)，由原点O到l的距离d＝eq\f(|t|,\r(1＋\f(9,16)))＝1，解得t＝eq\f(5,4)，所以l的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4)；当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p>0，k<0，由题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(|p|,\r(1＋k2))＝1,\f(|3k＋4＋p|,\r(1＋k2))＝4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(7,24),p＝\f(25,24)))，所以m的方程为y＝eq\f(7,24)x－eq\f(25,24)；当切线为n时，易知切线n的方程为x＝－1.解法2：切线l的求法同解法1；当切线为m时，设两切点分别为A、B，作OC⊥O1B于C，则tan∠O1OC＝eq\f(3,4)，∴km＝eq\f(kOO1－\f(3,4),1＋\f(3,4)kOO1)＝eq\f(7,24)，设直线m的方程为7x－24y＋c＝0，则eq\f(|c|,\r(72＋242))＝1，解得c＝－25或25(舍去)．∴切线m的方程为7x－24y－25＝0；又∠O1OC与∠O1Ox互余，根据图形对称性可知切线n的倾斜角为eq\f(π,2)，显然切线n的方程为x＝－1.考点一直线与圆的位置关系——自主练透例1(1)(多选题)(2022·重庆巴蜀中学月考改编)已知直线l：mx＋(m＋1)y－5m－3＝0(m∈R)与圆O1：x2－6x＋y2－8y＋16＝0，则下列结论正确的有(AB)A．直线l过定点(2,3) B．相交C．相切 D．相离(2)(2022·四川资阳、遂宁等七市联考)圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋eq\r(2)＝0的距离为1的点共有(C)A．1个 B．2个C．3个 D．4个[解析](1)直线l的方程可化为m(x＋y－5)＋y－3＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－5＝0，,y－3＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝3)).(或将直线l的方程化为y－3＝－eq\f(m,m＋1)(x－2))．∴直线l过定点(2,3)，A正确．将x＝2，y＝3代入x2－6x＋y2－8y＋16＝－7<0，∴定点在圆内，直线与圆相交，B正确．C、D错．故选AB.(2)圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0即(x＋1)2＋(y－1)2＝4的圆心为C(－1,1)，半径为r＝2.又C到直线l的距离为d＝eq\f(|－1＋1＋\r(2)|,\r(2))＝1，∴⊙C上到直线l距离为1的点有3个，故选C.[引申]本例(2)中，若圆与直线m：x＋y＋c＝0相交，则c的取值范围为(－2eq\r(2)，2eq\r(2))；若圆上到直线m距离为1的点有2个，则c的取值范围为(－3eq\r(2)，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，3eq\r(2))；若圆上到直线m距离为1的点有4个，则c的取值范围为(－eq\r(2)，eq\r(2)).[解析]圆与直线l相交⇔eq\f(|－1＋1＋c|,\r(2))<2⇔－2eq\r(2)<c<2eq\r(2).圆上到直线l距离为1的点有2个⇔1<eq\f(|－1＋1＋c|,\r(2))<3.⇔－3eq\r(2)<c<－eq\r(2)或eq\r(2)<c<3eq\r(2).圆上到直线l距离为1的点有4个⇔eq\f(|c|,\r(2))<1⇔－eq\r(2)<c<eq\r(2).名师点拨MINGSHIDIANBO判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．(4)判断圆上到定直线的距离为定值的点的个数问题的关键是比较定值、圆心到直线的距离、半径的大小．〔变式训练1〕(1)(2022·广西桂林、崇左等五市联考)圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈R，θ≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))的位置关系是_相离__(横线内容从“相交、相切、相离、不确定”中选填)．(2)(2022·陕西西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\r(3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\r(3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))[解析](1)把圆的方程化为标准方程得：x2＋y2＝eq\f(1,2)，∴圆心坐标为(0,0)，半径r＝eq\f(\r(2),2)，又θ∈R，θ≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴圆心到直线xsinθ＋y－1＝0的距离d＝eq\f(1,\r(1＋sin2θ))>eq\f(\r(2),2)＝r，则直线与圆的位置关系为相离．(2)数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1,0)到直线y＝k(x－3)的距离应小于或等于半径1，即eq\f(|2k|,\r(1＋k2))≤1，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3)，故选D.考点二直线与圆的综合问题——多维探究角度1圆的切线问题例2(1)(2022·广西南宁适应性测试)过点P(2,2)的直线l与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则直线l的方程为(C)A．3x－4y＋2＝0B．4x－3y－2＝0C．3x－4y＋2＝0或x＝2D．4x－3y－2＝0或x＝2(2)(2022·江西上饶模拟)已知圆C：(x－2)2＋y2＝1，直线l：y＝kx－2，若直线l上存在点P，过点P引圆C的两条切线l1，l2使得l1⊥l2，则实数k的取值范围是(A)A．[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]B．[0,2－eq\r(3))∪(2＋eq\r(3)，＋∞)C．(－∞，0)D．[0，＋∞)[解析](1)当过P(2,2)的直线l斜率不存在时，方程为x＝2，与圆(x－1)2＋y2＝1相切，满足题意；当过P(2,2)的直线l斜率存在时，设方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0，∴圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到l的距离d＝eq\f(|k－0－2k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得：k＝eq\f(3,4)，∴l：eq\f(3,4)x－y＋eq\f(1,2)＝0，即3x－4y＋2＝0；∴直线l的方程为3x－4y＋2＝0或x＝2.故选C.(2)圆C(2,0)，半径r＝1，设P(x，y)，因为两切线l1⊥l2，PA⊥PB，由切线性质定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，|PC|＝eq\r(2)，则：(x－2)2＋y2＝2，即点P的轨迹是以(2,0)为圆心，eq\r(2)为半径的圆．直线l：y＝kx－2过定点(0，－2)，直线方程即kx－y－2＝0，只要直线与P点的轨迹(圆)有交点即可，即(x－2)2＋y2＝2的圆心到直线的距离小于等于半径，即：d＝eq\f(|2k－2|,\r(k2＋1))≤eq\r(2)，解得：2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，即实数k的取值范围是[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]．故选A.[引申](1)若本例(1)中点P坐标改为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则直线l的方程为x－eq\r(3)y＋1＝0.(2)若本例(1)中的两切点分别为A、B，则直线AB的方程为_x＋2y－2＝0__.(3)若本例(2)中的两切点为A、B，且∠APB的最大值为eq\f(π,3)，则k＝_0__.[解析](3)由题意知圆心C到直线l的距离为2，即eq\f(|2k－2|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝0.角度2圆的弦长问题例3(2020·全国高考Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]圆x2＋y2－6x＝0化为(x－3)2＋y2＝9，∴圆心C坐标为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为2eq\r(9－|CP|2)＝2eq\r(9－8)＝2，故选B.[引申]若本例中的直线被圆截得的弦长为eq\f(6\r(5),5)，则直线的方程为_2x－y＝0或x－2y＋3＝0__.[解析]显然直线不与坐标轴垂直．设直线的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，则由题意知eq\f(2|k＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(9－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)))2)，解得k＝2或eq\f(1,2)，故所求直线方程为2x－y＝0或x－2y＋3＝0.名师点拨MINGSHIDIANBO直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)求解过圆上一点的切线问题用“切线垂直过切点的半径”；求解过圆外一点的切线问题用待定系数法，利用“圆心到直线的距离等于半径”求解．易错点是忽略切线斜率不存在的情况，造成丢解．处理直线与圆的问题要时刻关注圆心到直线的距离这个关键．注：①过圆C内一点P的最短弦所在直线与PC垂直，最长弦所在直线是PC.②过圆C外P作圆的切线，切点为A、B，则AB是圆C与以PC为直径的圆的公共弦．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2022·安徽合肥调研)若直线l经过抛物线x2＝－4y的焦点且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切，则直线l的方程为_x＝0或4x－3y－3＝0__.(2)(角度2)(2021·北京高考)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝(C)A．±2 B．±eq\r(2)C．±eq\r(3) D．±eq\r(5)[解析](1)抛物线x2＝－4y的焦点为F(0，－1)，当直线l斜率不存在时，其方程为x＝0，显然与圆相切；当直线l斜率存在时，设其方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，∴eq\f(|k－2－1|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，此时直线l的方程为4x－3y－3＝0.(2)由题可得圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线的距离d＝eq\f(|m|,\r(k2＋1))，则弦长为2eq\r(4－\f(m2,k2＋1))，则当k＝0时，弦长取得最小值为2eq\r(4－m2)＝2，解得m＝±eq\r(3).故选C.考点三圆与圆的位置关系——师生共研例4(1)(2022·河北模拟)已知圆C：x2＋y2＋2ay＝0(a>0)截直线eq\r(3)x－y＝0所得的弦长为2eq\r(3)，则圆C与圆C′：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的位置关系是(C)A．相离 B．外切C．相交 D．内切(2)(2022·重庆质检)已知圆O1：x2－2ax＋y2＋a2－1＝0与圆O2：x2＋y2＝4有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为(C)A．(0,1) B．(0,3)C．(1,3) D．(3，＋∞)[解析](1)圆C的圆心为(0，－a)，半径为a，其圆心到直线eq\r(3)x－y＝0的距离为eq\f(|a|,\r(3＋1))＝eq\f(a,2)，所截得的弦长为2eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\r(3)a＝2eq\r(3)，解得a＝2，所以C：x2＋(y＋2)2＝4，C的圆心为(0，－2)，半径为r1＝2；又C′的圆心为(1，－1)，半径为r2＝1，|CC′|＝eq\r(0－12＋－2＋1)＝eq\r(2)，可得r1－r2<|CC′|<r1＋r2，则两圆的位置关系是相交，故选C.(2)圆O1方程可化为：(x－a)2＋y2＝1，则圆心O1(a,0)，半径r1＝1；由圆O2的方程知：圆心O2(0,0)，半径r2＝2；∵圆O1与圆O2有且仅有两条公切线，∴两圆相交，又两圆圆心距d＝|a|，∴2－1<|a|<2＋1，即1<|a|<3，解得：－3<a<－1或1<a<3，因为a为正数，所以1<a<3.故选C.[引申]本例(1)中两圆公共弦所在直线的方程为_2x＋2y－1＝0__，公共弦长为eq\f(\r(14),2).名师点拨MINGSHIDIANBO如何处理两圆的位置关系判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心距与两圆半径和、差之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项得到．求公共弦长时在一个圆中求解即可．〔变式训练3〕(2021·山东济宁期末)已知圆M：(x－a)2＋y2＝4(a>0)与圆N：x2＋(y－1)2＝1外切，则直线x－y－eq\r(2)＝0被圆M截得线段的长度为(D)A．1 B．eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)[解析]由题意，eq\r(a2＋1)＝2＋1，∴a＝2eq\r(2)，圆心M(2eq\r(2)，0)到直线x－y－eq\r(2)＝0的距离d＝eq\f(|2\r(2)－0－\r(2)|,\r(2))＝1，∴直线x－y－eq\r(2)＝0被圆M截得线段的长度为2eq\r(4－1)＝2eq\r(3)，故选D.解决直线与圆问题中的数学思想1．数形结合思想例5若方程x＋b＝3－eq\r(4x－x2)有两个不等的实根，则实数b的取值范围为(B)A．(1－2eq\r(2)，1＋2eq\r(2))B．(1－2eq\r(2)，－1]C．[－1,1＋2eq\r(2))D．(1－2eq\r(2)，3][解析]由y＝3－eq\r(4x－x2)得(x－2)2＋(y－3)2＝4(y≤3)，由题意知直线y＝x＋b与半圆(x－2)2＋(y－3)2＝4(y≤3)有2个公共点，作出直线与半圆的图形，如图：当直线y＝x＋b经过点(4,3)时，b＝3－4＝－1，当直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相切时，eq\f(|2－3＋b|,\r(1＋1))＝2，解得b＝1－2eq\r(2)或b＝1＋2eq\r(2)(舍)，由图可知，当直线y＝x＋b与曲线y＝3－eq\r(4x－x2)有2个公共点时，1－2eq\r(2)<b≤－1，故选B.2．转化与化归思想例6(1)(2022·江苏盐城联考)已知直线l：y＝k(x＋4)与圆C：(x＋2)2＋y2＝4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线3x－4y－6＝0的距离最大值为(B)A．3 B．4C．5 D．6(2)(2022·江西临川一中、南昌二中联考)已知两点A(－2,0)，B(2,0)以及圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝r2(r>0)，若圆C上存在点P，满足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，则r的取值范围是(B)A．[3,6] B．[3,7]C．[4,6] D．[4,7](3)(2023·河南“顶尖计划”联考)已知平面上的动点P到点O(0,0)和A(2,0)的距离之比为eq\f(\r(3),2)，则点P到x轴的距离最大值为4eq\r(3).[解析](1)显然直线l过圆上定点(－4,0)，不妨记为A，由CM⊥AB知，点M在以AC为直径的圆(x＋3)2＋y2＝1上，故点M到直线3x－4y－6＝0的距离最大值为eq\f(|3×－3＋4×0－6|,\r(32＋42))＋1＝4.故选B.(2)由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0知PA⊥PB，即P在以AB为直径的圆D：x2＋y2＝4上，由题意可知圆C与圆D相交或相切，∴|r－2|≤eq\r(42＋32)≤r＋2，解得3≤r≤7.故选B.(3)设P(x，y)，由题意知eq\f(\r(x2＋y2),\r(x－22＋y2))＝eq\f(\r(3),2)，整理得(x＋6)2＋y2＝48，即点P在以(－6,0)为圆心，4eq\r(3)为半径的圆上，∴P到x轴距离的最大值为4eq\r(3).[引申](1)若将本例(2)中的“eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0”改为“eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))<0”，则r的取值范围为_(3,7)__.(2)若将本例(2)中的“eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0”改为“eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))|,|\o(PB,\s\up6(→))|)＝2”，则r的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(565)－8,3)，\f(\r(565)＋8,3))).[解析](1)由题意知圆C与圆D相交，3<r<7.(2)设P(x，y)，由题意知eq\f(\r(x＋22＋y2),\r(x－22＋y2))＝2，化简得P的轨道方程为⊙D：x2＋y2－eq\f(20,3)x＋4＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(10,3)))2＋y2＝eq\f(64,9)，又⊙C与⊙D相交或相切，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r－\f(8,3)))≤eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)＋4))2＋32)≤r＋eq\f(8,3)，解得eq\f(\r(565)－8,3)≤r≤eq\f(\r(565)＋8,3).名师点拨MINGSHIDIANBO1．根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题，以形助数，使问题变得简单．——数形结合将生疏、复杂、难解的问题通过变换化为熟悉、简单、易解的问题．——转化与化归2．注意“隐圆”．解题中若某些条件的几何意义是圆(我们称之为“隐圆”)，则常将问题转化为点与圆、直线与圆或圆与圆的问题处理．发现“隐圆”的方法：(1)利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆；(2)在