线性方程组求解

线性方程组求解第一页，共三十一页，编辑于2023年，星期三向量的线性运算与向量组的线性相关性第二页，共三十一页，编辑于2023年，星期三●向量与线性方程组引例一个方程对应一组数矩阵的一行对应一组数线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。●向量的定义由n个数组成的有序数组称为一个n维行向量，记作，其中称为向量的第i个分量（或坐标）。如果将有序数组写成一列的形式，则称向量为列向量。实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。第三页，共三十一页，编辑于2023年，星期三●几个概念1、同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。2、相等向量：如果向量与是同维向量，而且对应的分量相等，则称向量与相等。3、零向量：分量都是0的向量称为零向量，记作O。4、负向量：称向量为向量的负向量，记作。5、向量组：如果n个向量是同维向量，则称为向量组第四页，共三十一页，编辑于2023年，星期三●向量的线性运算1、向量的加减法，称向量设，则称向量为向量与向量的和向量，记作为向量与向量的差向量，记作。2、数乘向量向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算。设向量则称向量为数与向量的数称向量，记作第五页，共三十一页，编辑于2023年，星期三●向量线性运算的运算律交换律结合律分配律第六页，共三十一页，编辑于2023年，星期三●例1解

练习：已知，求解

第七页，共三十一页，编辑于2023年，星期三●向量的线性关系解设则所以线性组合的概念：设有同维向量，如果存在一组数，使得成立，则称向量可由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合。例2设判断向量能否由向量组线性表示？如果可以，求出表达式。小结：可由向量组线性表示线性方程组有解第八页，共三十一页，编辑于2023年，星期三●线性相关、线性无关的概念●显然：含有零向量的向量组是线性相关的。因为设有向量组，如果存在一组不全为零的数，使得成立，则称向量组线性相关，否则，称向量组线性无关。即当且仅当

全为零时，才成立，则称向量组

线性无关。第九页，共三十一页，编辑于2023年，星期三证明例3证明下列向量组线性无关。设则所以所以向量组线性无关。称向量组为n维向量空间的单位坐标向量组。任何一个n维向量都可由向量组线性表示，第十页，共三十一页，编辑于2023年，星期三例4讨论向量组的线性相关性解设则利用矩阵的初等变换，可求得注：有无穷多组解可见，向量组线性相关齐次线性方程组有非零解第十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期三练习判断向量组的线性相关性解设则有因为是方程组的一组非零解所以线性相关第十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期三证明例5已知向量组线性无关，证明：向量组线性无关。设则因为线性无关所以有解得所以向量组线性无关。第十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期三例6设线性无关，又，试证明线性相关证明设则有因为线性无关所以有由于所以不全为零所以线性相关事实上，可取第十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期三证明因为向量组线性相关所以存在一组不全为零的数，使得则否则，若则由线性无关，可推得于是向量组线性无关这与已知矛盾，所以定理若向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量可由向量组线性表示，而且表示方法惟一。第十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期三于是假设另有表达式则可得由于线性无关，所以且表示方法唯一所以可由向量组线性表示，所以可由向量组线性表示。第十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期三定理向量组线性相关的充分必要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余的向量组线性表示。证明因为向量组线性相关所以存在不全为零的数使得不妨设于是有反过来，若有可由线性表示则有所以线性相关第十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期三例7设试问为何值时，可由线性表示，且表示方法唯一？解设则有（*）因为可由线性表示，且表示方法唯一所以，方程组（*）只有唯一的一组解所以有解得第十八页，共三十一页，编辑于2023年，星期三小结：齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组只有零解线性相关向量组（1）向量组线性无关（2）(3)向量可由向量组线性表示线性方程组有解第十九页，共三十一页，编辑于2023年，星期三●向量组的线性相关性的几个性质定理1、单个非零向量是线性无关的。2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。3、增加向量，不改变向量组的线性相关；减少向量，不改变向量组的线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关。4、增加分量，不改变向量组的线性无关；减少分量，不改变向量组的线性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则低维相关。5、n+1个n维的向量构成的向量组是线性相关的。第二十页，共三十一页，编辑于2023年，星期三●向量组的极大无关组如果向量组的部分组满足（1）线性无关；（2）任意增加一个向量（如果存在的话），向量组线性相关。则称向量组为向量组的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。例如：向量组线性相关，线性无关。向量组是向量组的一个极大无关组。向量组也是向量组的一个极大无关组。可见，一个向量组的极大无关组不是惟一的。第二十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期三●向量组的秩向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩。记作例如：向量组的秩为2。如果向量组的秩小于向量组所含向量的个数，即，则向量组线性相关。矩阵A的秩=矩阵A的行向量组的秩=矩阵A的列向量组的秩可利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组。如果向量组的秩等于向量组所含向量的个数，即，则向量组线性无关。第二十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期三●向量组的等价关系如果向量组A：中的每一个向量可由向量组B：线性表示，同时，向量组B中的每一个向量可由向量组A线性表示，则称向量组A与向量组B等价。定理：等价向量组的秩相等。一个向量组和它的任意一个极大无关组是等价的。等价向量组的性质（1）反身性：向量组A与自身等价；（2）对称性：如果向量组A与B等价，则向量组B与A等价；（3）传递性：如果A与B等价，B与C等价，则A与C等价。第二十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期三例1

判别下列向量组的线性相关性解令因为所以线性相关。第二十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期三例2

判别下列向量组的线性相关性解：令因为所以线性无关。第二十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期三例3

求向量组的秩及一个极大无关组，并用该极大无关组表示余下的向量。解构成矩阵，令第二十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期三于是，是它的一个极大无关组。且第二十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期三例4

求下列向量组的一个极大无关组解法1：作矩阵记作第二十八页，共三十一页，编辑于2023年，星期三例4

求下列向量组的一个极大无关组解法1：......记作所以与等价，故有相同的秩。因为是由经初等行变换而得，显然线性无关，所以线性无关，又所以是一极大无关组。第二十九页，共三十一页，编辑于2023年，星期三●求向量组的极大无关组的另解重要结论——若矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，则A的行向量组与B的行向量组等价，而A的任意K个列向量与B中对应的K个列向量有相同的相关性；若矩阵