系统的稳定性

系统的稳定性第一页，共三十七页，编辑于2023年，星期三稳定性的概念系统稳定性，是指系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳定的，或不具有稳定性。系统稳定性是系统固有的一种特性，只取决于系统结构参数，而与初始条件及外界作用无关。定义第二页，共三十七页，编辑于2023年，星期三李雅普诺夫稳定性对系统平衡状态为稳定或不稳定所规定的标准。

稳定：设系统的平衡工作点为0，若扰动使系统偏离平衡工作点的初始偏差不超过，扰动引起的输出的终态不超过允许的域，称为李雅普诺夫意义下的稳定。否则称系统是不稳定的，或不具有稳定性。渐近稳定：系统的输出在初始偏差作用下，其终态能回到原始平衡工作点。

大范围渐近稳定：系统在任意初始条件下都保持渐近稳定。

李雅普诺夫定义下的稳定0线性系统的稳定性决定于系统本身固有的特性，与外界条件无关，决定于瞬态分量是否衰减。第三页，共三十七页，编辑于2023年，星期三稳定性的充分必要条件设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲δ(t)，这时系统的输出增量为为脉冲响应g(t)。相当于系统在扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的情况。若t→∞时，脉冲响应即输出增量收敛于原平衡工作点，则线性系统是稳定的。第四页，共三十七页，编辑于2023年，星期三设系统闭环传递函数闭环特征方程

设特征根互不相等，系统闭环传递函数可改写如下闭环特征根则系统脉冲响应的拉氏变换第五页，共三十七页，编辑于2023年，星期三得系统的脉冲响应函数(1)若为实数若系统稳定(2)若为复数发散系统脉冲响应的拉氏变换第六页，共三十七页，编辑于2023年，星期三(3)若特征根为k个实根，r个复数根系统稳定的充要条件：线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根都具有负实部，或都位于s平面的左半平面，则系统稳定。说明：若系统有极点位于虚轴上或原点，其余极点均位于s平面的左半平面，则零输入响应趋于等幅振荡或恒定值，此时系统处于临界稳定状态，属于不稳定系统。第七页，共三十七页，编辑于2023年，星期三

例已知单位反馈系统的开环传递函数，试说明系统是否稳定。系统稳定解：系统的闭环传递函数为特征方程特征根系统稳定的充要条件：全部特征根都具有负实部。第八页，共三十七页，编辑于2023年，星期三系统稳定的必要条件闭环特征方程若使全部特征根p1,p2,…pn均具有负实部，系统必须满足以下条件：特征方程的各项系数ai的符号都相同。特征方程的各项系数ai≠0；系统稳定的必要条件：特征方程的各项系数ai>0

。第九页，共三十七页，编辑于2023年，星期三劳斯（Routh）稳定判据设系统的闭环特征方程式为如下标准形式劳斯数列（劳斯表）特点：逐行计算，运算中的空位置零，系数呈上三角形。g1=an第十页，共三十七页，编辑于2023年，星期三线性系统稳定的充要条件劳斯表中第一列各值为正。若劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统就不稳定，且第一列各系数符号的改变次数，等于系统特征方程具有正实部根的个数。第十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期三

例已知系统的特征方程，试用劳斯判据判别系统的稳定性。第一列的系数都为正数，系统稳定解：（1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。（2）列劳斯数列表系统稳定的充分条件：劳斯数列中第一列所有元素的符号均为正号。第十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期三

例已知系统的特征方程，试用劳斯判据判别系统的稳定性。有两个正实部的特征根，系统不稳定解：（1）系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。（2）列劳斯数列表劳斯数列表中第一列各元素符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。第十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期三劳斯判据的特殊情况1、劳斯数列中某一行的第一列元素为零，但其余不为零或不全为零用一个很小的正数来代替第一列等于零的元素，然后继续计算劳斯数列中其余各个元素，最后令小正数趋于零，再按照前述方法对系统稳定性进行判据。第十四页，共三十七页，编辑于2023年，星期三第一列为零系统不稳定，有两个根具有正实部

例已知系统的特征方程，试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：（1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。（2）列劳斯数列表第十五页，共三十七页，编辑于2023年，星期三2、若劳斯数列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些绝对值相同，但符号相异的特征根。(3)解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的根。(1)用(k-1)行元素构成辅助多项式，辅助方程的最高阶次为(n-k+2)，然后s的次数递降2。(2)将辅助多项式对s求导，其系数作为全零行的元素，继续完成劳斯表。第十六页，共三十七页，编辑于2023年，星期三解得

例系统特征方程，试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：（1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。（2）列劳斯数列表全零行辅助多项式有两个共轭虚根，系统临界稳定。第十七页，共三十七页，编辑于2023年，星期三

例已知系统特征方程，试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：（2）列劳斯数列表（1）系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。辅助多项式第一列元素不全为零，系统有正实部特征根，系统不稳定。解得第十八页，共三十七页，编辑于2023年，星期三劳斯判据的应用可以判别系统是否稳定，即系统的绝对稳定性。可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。第十九页，共三十七页，编辑于2023年，星期三稳定裕量的检验令，即把虚轴左移

。将上式代入系统的特征方程式，得以z

为变量的新特征方程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴（垂直线）的右边。如果所有根均在新虚轴的左边（新劳思阵列式第一列均为正数），则说系统具有稳定裕量。第二十页，共三十七页，编辑于2023年，星期三

例检验特征方程式，是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线s=-1的右边。解：（1）特征方程的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。（2）列劳斯数列表劳斯数列中第一列所有元素的符号均为正号，故没有根在s右半平面。第二十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期三新的劳斯阵列表令s=z-1，代入特征方程式，得即：从表中可看出，第一列符号改变一次，故有一个根在直线s=-1（即新坐标虚轴）的右边，因此稳定裕量不到1。第二十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期三分析系统参数对稳定性的影响一单位反馈控制系统下图所示，求使系统稳定的k的范围。系统的传递函数为特征方程系数都为正实数

例解：第二十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期三列劳斯阵列表0<K<30K>0，30-K>0特征方程系统稳定的充分条件：劳斯数列中第一列所有元素的符号均为正号。即解得第二十四页，共三十七页，编辑于2023年，星期三乃奎斯特稳定判据乃奎斯特(Nyquist)稳定判据,简称奈氏判据,又称频域法判据，是判断系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性G(jω)H(jω)与复变函数F(s)=1+G(s)H(s)位于s平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。乃氏判据是一种图解法，它根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性。频域判据使用方便，易于推广。第二十五页，共三十七页，编辑于2023年，星期三基本原理幅角映射是指利用关系函数F(s)将[s]平面上的闭合曲线或轨迹映射转换到另一个平面上。映射的概念幅角原理假设复变函数F(s)为单值，且除了s平面上有限的奇点外处处连续，也就是说F(s)在s平面上除奇点外处处解析，那么对于s平面上的每一个解析点，在F(s)平面上必有一点（称为映射点）与之对应。第二十六页，共三十七页，编辑于2023年，星期三当系统的开环传递函数为

例第二十七页，共三十七页，编辑于2023年，星期三s和F(s)的映射关系若[s]平面上一封闭曲线Ls包围F(s)的Z个零点和P个极点（不经过F(s)的任何极点），则在[F(s)]平面上必有一对应的封闭映射曲线LF。当复变量s在[s]平面上顺时针方向沿Ls变化一周时，在[F(s)]平面上的映射曲线绕原点顺时针转过N圈，即N=Z-P。N>0顺时针，N<0逆时针，N=0表示不包括[F(s)]平面的原点。第二十八页，共三十七页，编辑于2023年，星期三复变函数F(s)的选择闭环特征方程开环传递函数闭环传递函数辅助函数特点F(s)的零点即为系统闭环传递函数Φ(s)的极点，F(s)的极点即为开环传递函数Gk(s)的极点。第二十九页，共三十七页，编辑于2023年，星期三F(s)与开环传递函数G(s)H(s)只相差常量1，F(s)的几何意义为：[F(s)]平面的坐标原点就是[GH]平面上的(-1,j0)点。F(s)=1+G(s)H(s)关系图第三十页，共三十七页，编辑于2023年，星期三线性定常系统稳定的充要条件：闭环系统的特征方程1+G(s)H(s)=0的全部特征根都具有负实部，即Φ(s)在[s]平面的右半平面没有极点。F(s)在[s]平面的右半平面没有零点。即选择一条封闭曲线Ls包围整个[s]平面的右半平面，则封闭曲线Ls称为[s]平面上的乃氏轨迹。s平面的Nyquist轨迹若F(s)=1+G(s)H(s)在[s]右半平面有Z个零点和P个极点，当s沿[s]平面上的乃氏轨迹移动一周，在[F(s)]平面上的映射曲线LF将顺时针包围原点N=Z-P圈。第三十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期三由于F(s)-1=G(s)H(s)，因此，F(s)的映射曲线LF包围原点的圈数就等于G(s)H(s)的映射曲线LGH包围(-1,j0)点的圈数。闭环系统稳定的充要条件：F(s)在[s]平面的右半平面没有零点，即Z=0。若G(s)H(s)的乃氏轨迹逆时针包围(-1,j0)点的圈数等于其在[s]右半平面的极点数P，即N=P，由N=Z-P得出Z=0，闭环系统稳定。第三十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期三乃奎斯特稳定判据1、[s]平面虚轴上无开环极点乃氏稳定判据如果开环传递函数G(s)H(s)在[s]右半平面上有P个极点，当ω由-∞变化到+∞时，[G(s)H(s)]平面上的开环频率特性G(jω)H(jω)逆时针包围(-1,j0)点P圈，则闭环系统稳定；反之，闭环系统就不稳定。或当ω由0变化到+∞时，[G(s)H(s)]平面上的开环频率特性G(jω)H(jω)逆时针包围(-1,j0)点P/2圈，则闭环系统稳定；反之，闭环系统就不稳定。若P=0，闭环系统稳定的充要条件是G(jω)H(jω)不包围(-1,j0)点。第三十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期三2、[s]平面原点处有开环极点虚轴上有开环极点时的乃氏轨迹如果有ν个开环极点在[s]平面的原点处，则[G(s)H(s)]平面上的乃氏轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从即当系统的开环传递函数含有ν个积分环节时，需在原来的开环幅相特性曲线上逆时针方向补加上ν×90°虚线圆弧，然后再应用乃氏稳定判