2021年河南省南阳市麦南中学高二数学理月考试题含解析

2021年河南省南阳市麦南中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则?=（）A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．4参考答案：C【考点】9R：平面向量数量积的运算；KC：双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的渐近线方程，不难给出a，b的关系，代入即可求出双曲线的标准方程，进而可以求出F1、F2，及P点坐标，求出向量坐标后代入向量内积公式即可求解．【解答】解：由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x2﹣y2=2，于是两焦点坐标分别是F1（﹣2，0）和F2（2，0），且或、不妨令，则，∴?=故选C【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质和平面向量的数量积运算，处理的关键是熟练掌握双曲线的性质（顶点、焦点、渐近线、实轴、虚轴等与a，b，c的关系），求出满足条件的向量的坐标后，再转化为平面向量的数量积运算．2.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率等于:

()

A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.已知锐角三角形的边长分别是2，3，x，则x的取值范围是（）A．1＜x＜5 B． C． D．参考答案：B【考点】HR：余弦定理．【分析】根据三角形为锐角三角形，得到三角形的三个角都为锐角，得到三锐角的余弦值也为正值，分别设出3和x所对的角为α和β，利用余弦定理表示出两角的余弦，因为α和β都为锐角，得到其值大于0，则分别令余弦值即可列出关于x的两个不等式，根据三角形的边长大于0，转化为关于x的两个一元二次不等式，分别求出两不等式的解集，取两解集的交集即为x的取值范围．【解答】解：∵三角形为锐角三角形，∴三角形的三个内角都为锐角，则设边长为3所对的锐角为α，根据余弦定理得：cosα=＞0，即x2＞5，解得x＞或x＜﹣（舍去）；设边长为x所对的锐角为β，根据余弦定理得：cosβ=＞0，即x2＜13，解得0＜x＜，则x的取值范围是＜x＜．故选B4.若满足，满足，函数，则关于的方程的解的个数是（

）A．

B．

C．

D.参考答案：C5.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果=8，那么＝（

）

A.6

B.8

C.9

D.10参考答案：D6..函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时，成立，若，，则大小关系（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A略7.平面上的点的距离是(

)A．

B．

C．

D．40

参考答案：A略8.函数在区间内单调递增，那么的范围为（

）A.

B.

C.

D．参考答案：C略9.下列四个命题中，正确的是(

)A第一象限的角必是锐角

B锐角必是第一象限的角C终边相同的角必相等

D第二象限的角必大于第一象限的角参考答案：B10.在空间四边形ABCD中，若，，，则等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.A=15，A=﹣A+5，最后A的值为．参考答案：﹣10考点：赋值语句．专题：计算题．分析：根据赋值语句的功能，要先计算表达式的值，再将值赋给赋值号前面的变量，根据已知中A=15，A=﹣A+5，代入计算后即可得到结果．解答：解：∵A=15，∴﹣A+5=﹣10故执行A=﹣A+5后A的值为﹣10故答案为：﹣10点评：本题的考查的知识点是赋值语句，熟练掌握赋值语句的功能是解答本题的关键．12.已知数列{an}中，a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an，则a2015=

．参考答案：﹣6【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】由a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an可判断数列{an}的周期为6，从而求得．【解答】解：∵a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an，∴a3=a2﹣a1=6﹣3=3，a4=a3﹣a2=3﹣6=﹣3，a5=a4﹣a3=﹣3﹣3=﹣6，a6=a5﹣a4=﹣6﹣（﹣3）=﹣3，a7=a6﹣a5=﹣3﹣（﹣6）=3，a8=a7﹣a6=3﹣（﹣3）=6，∴数列{an}的周期为6，且2015=335×6+5，∴a2015=a5=﹣6；故答案为：﹣6．【点评】本题考查了数列的递推公式的应用及数列周期性的应用，属于中档题．13.方程的两根的等比中项是

.

参考答案：14.已知复数z＝（x，y∈R，i为虚数单位）的模为，求的最大值.参考答案：解：由得：，由几何意义易得：的最大值为.

略15.已知命题，是假命题，则实数a的取值范围是__________．参考答案：.

由题意得命题的否定为．∵命题是假命题，∴命题为真命题，即在R上恒成立．①当时，不恒成立；②当时，则有，解得．综上可得实数的取值范围是．答案：点睛：不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，；不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，．16.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为．参考答案：9【考点】函数模型的选择与应用．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=103m+×13+97m+×（﹣0.5）=200m+×12.5≥2×1125，化为m2+31m﹣360≥0，解得m，取m=9．故答案为：917.已知函数是偶函数，则

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

在中，角所对的边分别为，已知，且（1）求角的大小；（2）若，求的值。参考答案：（1）由

∴整理，得

………4分解得：

………………5分∵

……………6分（2）由余弦定理得：，即∴

由条件得

………………..9分………………10分，…………….12分19.斜棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥面ABC，侧面AA1C1C为菱形，，E，F分别为A1C1和AB的中点。（1）求证：平面CEF⊥平面ABC；（2）若三棱柱的所有棱长为2，求三棱柱F-ECB的体积；（3）D为棱BC上一点，若C1D∥EF，请确定点D位置，并证明你的结论.参考答案：解:（1）；（2）∵，∴CE为三棱锥的高，在中，可得，又∵，∴；（3）∵，∴，，，共面，.

20.已知函数，.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）如果对于任意的∈[－2,0)，都有f(x)≤bx＋3，求b的取值范围．参考答案：（Ⅰ）因为f′(x)＝ax2＋2x－2a，因为f′(－1)＝0，所以a＝－2.所以f′(x)＝－2x2＋2x＋4＝－2(x2－x－2)＝－2(x＋1)(x－2)．令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝2.随着x的变化，f′(x)和f(x)的变化情况如下：x(－∞，－1)－1(－1,2)2(2，＋∞)f(x)－0＋0－f(x)↘

↗

↘即f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递减，在(－1,2)上单调递增．（Ⅱ）因为对于任意的x∈[－2,0)，都有f(x)≤bx＋3，即bx＋3≥－x3＋x2＋4x－1，所以b≤－x2＋x＋4－.设h(x)＝－x2＋x＋4－.则h′(x)＝－x＋1＋，因为x∈[－2,0)，所以－x>0，>0.所以h′(x)>0.所以h(x)在[－2,0)上单调递增．所以hmin(x)＝h(－2)＝.即b≤.故b的取值范围为(－∞,].21.已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+1）x（a∈R）．（I）a=1时，求函数y=f（x）的零点个数；（Ⅱ）当a＞0时，若函数y=f（x）在区间[1．e]上的最小值为﹣2，求a的值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）a=1时，函数f（x）=lnx+x2﹣2x，利用导数分析其单调性，结合函数零点的存在定理可得答案；（II）令f′（x）=0，则x=1，或x=，对a进行分类讨论，可得满足条件的答案．【解答】解：（I）a=1时，函数f（x）=lnx+x2﹣2x，（x＞0）则f′（x）=+x﹣2==≥0恒成立，故函数f（x）在（0，+∞）为增函数，∵f（1）=﹣＜0，f（4）=ln4＞0，故函数y=f（x）有且只有一个零点；（Ⅱ）∵f（x）=lnx+x2﹣（a+1）x（a＞0），∴f′（x）=+ax﹣（a+1）=，令f′（x）=0，则x=1，或x=，当≤1，即a≥1时，f′（x）≥0在区间[1．e]上恒成立，函数y=f（x）为增函数，此时当x=1时，函数取最小值﹣（a+1）=﹣2，解得：a=2；当1＜＜e，即＜a＜1时，f′（x）＜0在区间[1.]上恒成立，函数y=f（x）为减函数，f′（x）≥0在区间[．e]上恒成立，函数y=f（x）为增函数，此时当x=时，函数取最小值﹣lna+﹣=﹣2，不存在满足条件的a值；当≥e，即0＜a≤时，f′（x）≤0在区间[1．e]上恒成立，函数y=f（x）为减函数，此时当x=e时，函数取最小值1+e2﹣e（a+1）=﹣2，解得：a=（舍去）；综上可得：a=222.“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家”，这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20,40)的读书者中任取2名，求这两名读书

者年龄在[30,40)的人数X的分布列及数学期望．参考答案：（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为，

所以