平面向量知识点归纳

1r3r(答：1r3r(答：-a-2b)；⑵次列向量组r,能作为平面内所有向量基底腺是e=(0,0),e=(1,-2)12uruurC,e=(3,5),e=(6,10)12e=(-1,2),e=(5,7)12ur uur1 3D.e1=(2,-3),e2=(2,-4)平面向量一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：f.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； uur.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是土-B-）;|AB|.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a〃b,规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；线②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线但两条直线平行不包含两条直③平行向量无传递性！（因为有0Uur④三点A、B、C共线=AB.AC共线；.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。如 uuruur下列命题：（1）若|a|=b，则a=b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB=DC,uuuuur rrrrrr则AB,r是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则AB=DC。（5）若a=b,b=J则a=c。（6）若a〃b,b〃c，则a//c。其中正确的是（答：（4）（5））二．向量的表示方法：几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后;符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a,b,c等；坐标表示法：在平面内建耳直角坐标系，以与％轴、）轴方向相同的两个单位向量i,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=（x,y）,称（x，y）为向量a的坐标，a=（x，y）叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。a,有且只有一对实数三.平面向量的基本定理：如果e1和ea,有且只有一对实数入、入c，使a='e.+九e9。如1 2 11 22rr r r（1）若a=（1,1）,b=（1,-1）,c=（-1,2），则c=(答：B)；uuuruuur uuurruuurruuur rr： ；(3)已知AD,BE分别是AABC的边BC,AC上的中线,且AD=a,BE=b，则BC可用向量a,b表示为2r4r(答：3a+3b)；（4）已知AABC中，点D在BC边上，且CD=2DB,CD=r五存+sAC，则r+s的值是___四.实数与向量的积：实数九与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度和方向规定如下:rr入＞0时，入a的方向与a的方向相同，当入＜0时，入a的方向与a的方向相反，当九=0时，入a=0,注意:W0。

五．平面向量的数量积：1.两个向量的夹角五．平面向量的数量积：1.两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作0A=a,OB=b，ZAOB=0兀,二直。2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a，・ ・ ・ ,r（或内积或点积），记作：a•b，即a•b=abcos0. rr .b，它们的夹角为0，我们把数量1aIIb1cos0叫做a与b的数量积r。规定：零向量与任一向量的数量积是0注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）r1r1rrrurrr已知a=(1,-直。2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a，・ ・ ・ ,r（或内积或点积），记作：a•b，即a•b=abcos0. rr .b，它们的夹角为0，我们把数量1aIIb1cos0叫做a与b的数量积r。规定：零向量与任一向量的数量积是0注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）r1r1rrrurrr已知a=(1,-),b=(0,-2),。=a+从d=a-bru 兀c与d的夹角为-，则k等于（2）（3）rr已知a=2,b=5,ag=-3，贝a+b等于rr已知a,b是两个非零向量，且rrr，则a与a+b的夹角为rb在a上的投影为1b1cos0，它是一个实数，但不一定大于0。如已知1aI=3，IbI=5，且a・b=12，则向量a在向量b上的投影为r. -a•b的几何意义：数量积a•b等于a的模1aI与b在a上的投影的积。（答：£）（答：1）；（答：y23）；（答：30。）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为0，①a±boa•b=0；贝：②当a，b同向时，rrr2，特别地，a=a•a=a2;当a与b反向时a•b=—ab；③非零向量a，b夹角ab；③非零向量a，b夹角0的计算公式：c0s0=rr

a•brrMbl利用“三角形法则”：设AB=a,BC=b，那么向量AC叫做a与buuur②向量的减法：用“三角形法则”：设AB=ruuurr的和，即a+b=AB+BC=AC；ruuuruuuruuura,AC=b，那么a一b=AB一AC=CA，由减向量的终点指向被rrrr；④Ia•bI<IaIIbI。如（1）已知日=（入，2入），力=（3入,2），如果a与石的夹角为锐角，则九的取值范围是41（答：入〈一3或九〉0且入w3）；六．向量的运算：1．几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”r进行，但“平行四边形法则',只适用于不共线的向瀛，如如此之外U向量加法还可减向量的终点。注意/处澹向量与被减向量的起点相卧如^uuuruuuruuuruuur(1)化简：①AB+BC+CD= [②AB-AD-DC= :③(AB-CD)-(AC-BD)=rrr(答：①AD;②CB;®0);rrr(答：①AD;②CB;®0);贝UIa+b+cI—uuurruuurruuurr(2)若正方形ABCD的边长为1，AB=a,BC=b,AC=c（答：2<2）；2.坐标运算：设a=（4,y）,b=（4,y），则：r1r1 22①向量的加减法运算：a±b="土'，y±y）。如1 2 1uuur2uuuruuur（1）已知点a（2,3）,B（5,4），C（7,10），若AP=AB+九AC（XeR），则当九—时，点p在第一、三象限的角平分线上uur(答：2)；(2)已知作用在点A(1,1)的三个力F=(3,4),F=(2,-5),uur(答：2)；(2)已知作用在点A(1,1)的三个力F=(3,4),F=(2,-5),F=(3,1)，则合力F=F+F+F的终点坐标是1 2 3 1 2 3②实数与向量的积:九a=九(工,y)=(九x，九y)。(答：(9,1))③若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB=标减去起点坐标。如(x2―x1,y2-X)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐设A(2,3),B(-1,5)uur1uuuuuruur且AC=3AB，AD=3AB，则C、D的坐标分别是④平面向量数量积:rra^b=A"2+丁1y2。如(答：(1,-3-),(—7,9))；已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(—1,0),若x=~，求向量a、c的夹角; rr+y2,a2=IaI2=x2+y2。如ur°r已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么1a+3b1=(答：。13)；⑥两点间的距离：若A(x,y),B(x,y)则IABI=(yx2-y1七.向量的运算寿rr交换律：a+b=b+a,rrr(交换律：a+b=b+a,rrr(r结合律：a+b+c=\l分配律：a+Ga6a+口a,"+b)rrrrrrrr\

bb+c入a••b=XQ•b)=a・。b).，.(rr)rrrrra+b••c=a•c+b•c下列命题中：①3,(b—3)=3,卞—b•<?.②3"(b•<?)=(b%)•<?.③(rrrr—21aI・IbI+1bI2.④若a-b=0,则a=0或b=0.⑤若a-b=c-b,则(3-b)2=|aI2rrc；⑥arrra-bb⑦-T-=廿a2 a⑧(a⑧(a-b)2=a2-b2；⑨(a—b)2=rrrra2—2a-b+b2。其中正确的是.(答：①⑥⑨)提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除-Fff —*-*f(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a(b•c)中(a•b)c,为什么？rrrrrrrr八.向量平行(共线)的充要条件：a//boa=Xboy-b);=(IaIIbI)2ox1y2—yj2=0。如(1)若向量a=(x,1),b=(4,x),当x= 时a与b共线且方向相同(答：2)；rr rrr rrrrr(2)已知a=(1,1),b=(4,x),u=a+2b,v=2a+b，且u//y,则x=(答：4)；uuur uuuruuur(3)设PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k)，则k= 时，A,B,C共线(答：一2或11)rrrr rr-rr九向量垂直的充要条件：a±boa•b=0oIa