安徽省蚌埠市曹顾张中学2021年高三数学理期末试卷含解析

安徽省蚌埠市曹顾张中学2021年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个几何体的三视图如图，其侧视图是一个等边三角

形，则这个几何体的体积为（

）A.B.C. D.参考答案：B略2.若函数在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）

参考答案：D略3.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量之间关系最强的是

A．

B．

C．

D．参考答案：在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，四个选项中，即等高的条形图中所占比例相差越大，则分类变量关系越强，故选．4.抛物线的准线与轴交于点.过点作直线交抛物线于两点，.点在抛物线对称轴上,且.则的取值范围是

参考答案：D略5.某汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x(万公里)与维修保养费用y(万元)的五组数据，并根据这五组数据求得y与x的线性回归方程为.由于工作人员疏忽，行驶8万公里的数据被污损了，如下表所示.行驶里程x(单位:万公里)12458维修保养费用y(单位:万元)0.500.902.32.7

则被污损的数据为（

）A.3.20 B.3.6 C.3.76 D.3.84参考答案：B分析：分别求出行驶里程和维修保养费用的平均值，线性回归方程经过样本的中心点，这样求出被污损的数据。详解：设被污损的数据为，由已知有，而线性回归方程经过点，代入有，解得，选B.点睛：本题主要考查了线性回归方程恒过样本中心点，属于容易题。回归直线方程一定经过样本的中心点，根据此性质可以解决有关的计算问题。6.下列函数中在区间上为增函数，且其图像为轴对称图形的是（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：C略7.若，则的定义域为(

)

B.

C.

D.

参考答案：C本题主要考查了复合函数的定义域。难度较小，基础题。选C。

8.设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间0,1上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0

B．2，＋∞)C．(－∞，0∪2，＋∞)

D．0,2参考答案：D9.已知命题p1：函数f（x）=ex﹣e﹣x在R上单调递增p2：函数g（x）=ex+e﹣x在R上单调递减则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4参考答案：C【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】先判断命题p1，p2的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：函数y=ex在R上单调递增，y=﹣e﹣x在R上单调递减，故函数f（x）=ex﹣e﹣x在R上单调递增，即p1为真命题；函数g（x）=ex+e﹣x在[0，+∞）上单调递增，即p2为假命题；则命题q1：p1∨p2为真命题，q2：p1∧p2为假命题，q3：（￢p1）∨p2为假命题，q4：p1∧（￢p2）为真命题，故选：C【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数的单调性，难度中档．10.．x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，则数据3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的平均数和方差分别是（）A．和S2 B．3和3S2C．3+5和9S2 D．3+5和9S2+30S+25参考答案：C【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】根据数据的平均数和方差公式即可求解．【解答】解：根据数据平均数和方差公式可知，若y=ax+b，则数据y和x的平均数和方程之间的关系为：，，∵y=3x+5，∴，方差，故选：C．【点评】本题主要考查平均数和方差的计算，要求熟练掌握满足线性关系的两个数据之间平均数和方差之间的关系，直接计算即可求值．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.lg0.01+log216=；=．参考答案：2,6.【考点】对数的运算性质．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用对数与指数的运算性质即可得出．【解答】解：lg0.01+log216=﹣2+4=2；=23﹣2=6．故答案分别为：2；6．【点评】本题考查了对数与指数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．12.已知直线l：mx﹣y=4，若直线l与直线x﹣（m+1）y=1垂直，则m的值为﹣；若直线l被圆C：x2+y2﹣2y﹣8=0截得的弦长为4，则m的值为

．参考答案：±2【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线垂直可得m﹣m（m﹣1）=0，解方程可得m值；由圆的弦长公式可得m的方程，解方程可得．【解答】解：由直线垂直可得m+m+1=0，解得m=﹣；化圆C为标准方程可得x2+（y﹣1）2=9，∴圆心为（0，1），半径r=3，∵直线l被圆C：x2+y2﹣2y﹣8=0截得的弦长为4，∴圆心到直线l的距离d==，∴由点到直线的距离公式可得=，解得m=±2故答案为：﹣；±2【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式，属中档题．13.设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则＝ .参考答案：14.已知复数z满足（i是虚数单位），则z=

．参考答案：﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由，得到，再由复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．【解答】解：由，得．则z=﹣i．故答案为：﹣i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．15.已知函数的定义域为，部分对应值如右图：的导函数的图象如图所示，下列关于的命题：①函数是周期函数；②函数在［0，2］是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么t的最小值为0；④函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是___________．参考答案：②③④略16.已知，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则=_______。参考答案：17.复数（i为虚数单位）的共轭复数是________．参考答案：复数,其共轭复数为,故填.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数（，为自然对数的底数）.（1）求函数的最小值；（2）若≥0对任意的恒成立，求实数的值；（3）在（2）的条件下，证明：参考答案：（1）由题意，由得. 当时,；当时，. ∴在单调递减，在单调递增. 即在处取得极小值，且为最小值， 其最小值为………………5分 （2）对任意的恒成立，即在上，. 由（1），设，所以. 由得. 易知在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴

在处取得最大值，而. 因此的解为，∴.………………9分（3）由（2）知，对任意实数均有，即.令，则.∴.∴…………13分19.(本小题满分10分)在等差数列中，（1）求（2）记，证明：数列是等比数列；（3）对于（2）中的，求函数（，t为常数且）的最小值参考答案：（1） ―――――――――2分 （2）由得， 当时，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列 ―――――――5分 （3）由（2）可得， ――――――7分 所以， ，而 所以，当时， 当时， 故 ――――――――――10分20.如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△APC中，由余弦定理得AP2﹣4AP+4=0，解得AP=2，可得△APC是等边三角形，即可得解．（Ⅱ）法1：由已知可求∠APB=120°．利用三角形面积公式可求PB=3．进而利用余弦定理可求AB，在△APB中，由正弦定理可求sin∠BAP=的值．法2：作AD⊥BC，垂足为D，可求：，利用三角形面积公式可求PB，进而可求BD，AB，利用三角函数的定义可求，．利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△APC中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4，由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2?AP?AC?cos∠PAC，…所以22=AP2+（4﹣AP）2﹣2?AP?（4﹣AP）?cos60°，整理得AP2﹣4AP+4=0，…解得AP=2．…所以AC=2．…所以△APC是等边三角形．…所以∠ACP=60°．…（Ⅱ）法1：由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB=120°．…因为△APB的面积是，所以．…所以PB=3．…在△APB中，AB2=AP2+PB2﹣2?AP?PB?cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19，所以．…在△APB中，由正弦定理得，…所以sin∠BAP==．…法2：作AD⊥BC，垂足为D，因为△APC是边长为2的等边三角形，所以．…因为△APB的面积是，所以．…所以PB=3．…所以BD=4．在Rt△ADB中，，…所以，．所以sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…==．…21.已知函数f（x）=x2﹣1+aln（1﹣x），a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．证明：＞．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导，由二次函数的性质，当a≥，函数f′（x）＜0恒成立，则f（x）在（﹣∞，1）上单调减函数，a＜，函数的两个极值点，根据函数的单调性即可求得实数a的取值范围；（Ⅱ）由题意可知：﹣2x2+2x﹣a=0，在x＜1有两个不等式的实根，利用韦达定理即可求得x1，x2，分别求得﹣，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性求得﹣＞0，即可求得＞．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣∞，1），求导：f′（x）=2x﹣=，x＜1，令g（x）=﹣2x2+2x﹣a，则△=4﹣4（﹣2）（﹣a）=4﹣8a，当4﹣8a≤0时，即a≥，则﹣2x2+2x﹣a≤0恒成立，则f（x）在（﹣∞，1）上单调减函数，当4﹣8a＞0时，即a＜，则﹣2x2+2x﹣a=0的两个根为x1=，x2=，当x∈（﹣∞，x1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（x1，），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，不符合题意，综上可知：函数f（x）为定义域上的单调函数，则实数a的取值范围（，+∞）；（Ⅱ）证明：由函数有两个极值点，则f′（x）=0，在x＜1上有两个不等的实根，即﹣2x2+2x﹣a=0，在x＜1有两个不等式的实根，x1，x2，由0＜a＜，则，且x1∈（0，），x2∈（，1），则===﹣（1+x1）+2x1ln（1﹣x1），同理可得：=﹣（1+x2）+2x2ln（1﹣x2），则﹣=（x2﹣x1）+2x1ln（1﹣x1）﹣2x2ln（1﹣x2），=2x2﹣1+2（1﹣x2）lnx2﹣2x2ln（1﹣x2），令g（x）=2x﹣1+2（1﹣x）lnx﹣2xln（1﹣x），x∈（，1），求导，g′（x）=﹣2ln++，x∈（，1），由x∈（，1），则+＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在x∈（，1），上单调递增，则g（x）＞g（）=0，则﹣＞0，∴＞成立．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数的单调及极值的关系，二次函数的性质，考查构造法，考查计算能力，属于难题．22.已知函数f（x）＝sin2x﹣|ln（x+1）|，g（x）＝sin2x﹣x．（1）求证：g（x）在区间(