第2章-随机过程习题及答案

第二章随机过程分析1.1学习指导1.1.1要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1.随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2.随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t)是一个随机过程，则其在时刻t1取值ξ(t1)是一个随机变量。ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率为P[ξ(t1)≤x1]，随机过程ξ(t)的一维分布函数为F1(x1,t1)=P[ξ(t1)≤x1](2-1)如果F1(x1,t1)的偏导数存在，则ξ(t)的一维概率密度函数为 对于任意时刻t1和t2，把ξ(t1)≤x1和ξ(t2)≤x2同时成立的概率称为随机过程x(t)的二维分布函数。如果存在，则称f2(x1,x2;t1,t2)为随机过程x(t)的二维概率密度函数。对于任意时刻t1，t2，…，tn，把称为随机过程x(t)的n维分布函数。如果存在，则称fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)为随机过程x(t)的n维概率密度函数。 3.随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。随机过程x(t)在任意给定时刻t的取值x(t)是一个随机变量，其均值为其中，f1(x,t)为x(t)的概率密度函数。随机过程x(t)的均值是时间的确定函数，记作a(t)，它表示随机过程x(t)的n个样本函数曲线的摆动中心。随机过程x(t)的方差的定义如下：随机过程x(t)的方差常记作σ2(t)。随机过程x(t)的方差的另一个常用的公式为也就是说，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻t，对于均值a(t)的偏离程度。随机过程x(t)的相关函数的定义如下：式中，x(t1)和x(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。随机过程x(t)的相关函数表示在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。随机过程x(t)的协方差函数的定义如下：式中，a(t1)、a(t2)分别是在t1和t2时刻得到的x(t)的均值；f2(x1,x2;t1,t2)是x(t)的二维概率密度函数。B(t1,t2)与R(t1,t2)之间有如下关系式：若a(t1)=a(t2)=0，则B(t1,t2)=R(t1,t2)。随机过程x(t)和η(t)的互相关函数的定义如下： 4.平稳过程及其性质 平稳过程包括严平稳过程（强平稳过程或狭义平稳过程）和广义平稳过程。如果随机过程x(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数D，有则称该随机过程是严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。 严平稳随机过程的一维分布函数和均值都与时间无关，二维分布函数和自相关函数都只与时间间隔有关。把对严平稳随机过程的要求降低到仅仅均值与时间无关和自相关函数只与时间间隔有 上式表明，随机过程ξo(t)的自相关函数仅是时间间隔t的函数。综合上面两点，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。输出随机过程ξo(t)的功率谱密度为 由上是式可见，输出随机过程ξo(t)的功率谱密度等于输入随机过程xi(t)的功率谱密度乘以系统传输函数模值的平方。随机过程ξo(t)可以表示为 当xi(t)是高斯分布的时，ξi(t-tk)h(tk)Δtk是一个高斯随机变量，而无限个高斯随机变量的叠加也是一个高斯分布的。因此，随机过程ξo(t)呈高斯分布。1.2习题详解2-1设随机过程{X(t)=Acos(ωt)+Bcos(ωt),-∞<t<∞}，ω为常数，A、B为互相独立的随机变量，且E(A)=E(B)=0,D(A)=D(B)=σ2。试判断X(t)是否为平稳过程。解，因此，X(t)的均值与时间无关，自相关函数只与时间间隔有关，它是平稳过程。2-2离散白噪声{X(n),n=0,±1,±2,…}，其中，是X(n)是两两不相关的随机变量，且E[X(n)]=0,D[X(n)]=σ2。试求X(n)的功率谱密度。解X(n)的自相关函数为X(n)的功率谱密度为2-3已知零均值平稳随机过程{X(t),-∞<t<∞}的功率谱密度为试求其自相关函数、方差和平均功率。解由于，因此，自相关函数为方差为D[X(t)]=R(0)–E2[X(t)]=R(0)=7/24。平均功率为2-4电路图如图题2-4所示。如果输入平稳过程{X(t),-∞<t<∞}的均值mX为零，自相关函数为。试求输出过程{Y(t),-∞<t<∞}的均值mY，自相关函数RY(τ)、功率谱密度SY(ω)。解由电路分析的知识可得两边取付立叶变换，得到此系统的传输函数为此系统的脉冲响应函数为输出过程的均值为输出过程的功率谱密度为输出过程的自相关函数为2-5高斯随机变量X的均值为0，方差为1，试求随机变量Y=6X+5的概率密度f(y)。解高斯随机变量通过线性变换后仍然是高斯随机变量，Y也是高斯随机变量。 随机变量Y的均值为随机变量Y的方差为随机变量Y的概率密度为2-6随机过程X(t)=5sin(πt+θ)，其中，θ是随机变量，概率P(θ=0)=0.2，P(θ=0.5π)=0.8，试求随机变量X(2)的均值，随机过程X(t)的自相关函数RX(0,1)。解随机变量X(2)的均值为随机过程X(t)的自相关函数RX(0,1)为2-7随机过程X(t)=X1sin(ωt)–X2cos(ωt)，其中，X1和X2都是均值为0，方差为σ2的彼此独立的高斯随机变量，试求：随机过程X(t)的均值、方差、一维概率密度函数和自相关函数。解随机过程X(t)的均值为随机过程X(t)的方差为 随机过程X(t)的自相关函数为其中，τ=t2–t1。随机过程X(t)的一维概率密度函数为2-8平稳随机过程X(t)和Y(t)的均值分别为aX和aY，自相关函数分别为RX(τ)和RY(τ)，且它们彼此独立。随机过程Z1(t)=X(t)+Y(t)和Z2(t)=X(t)Y(t)的。解随机过程Z1(t)的自相关函数为随机过程Z2(t)的自相关函数为2-9已知随机过程X(t)=a(t)cos(ω0t+θ)，其中，随机变量θ在(0，2π)上服从均匀分布，是a(t)广义平稳过程，且其自相关函数为a(t)与θ统计独立。试求随机过程X(t)的自相关函数、功率谱密度和平均功率，并判断其是否为广义平稳过程。解随机过程X(t)的均值为随机过程X(t)的自相关函数为其中，τ=t2–t1。由此可见，随机过程X(t)的自相关函数只与时间间隔有关，均值函数与时间无关，是广义平稳过程。随机过程X(t)的功率谱密度为随机过程X(t)的平均功率为2-10随机过程X(t)的均值为0，自相关函数为RX(τ)，它通过一个如图题2-10所示的系统后的输出为随机过程Y(t)。试求随机过程Y(t)的自相关函数和功率谱密度。解由题意可得因此，系统的传输函数为随机过程Y(t)的功率谱密度为随机过程Y(t)的自相关函数为2-11理想带通滤波器的中心频率为fc，带宽为B，幅度为1，如图题2-11所示。输入此滤波器的高斯白噪声的均值为0，单边功率谱密度为n0。试求滤波器输出噪声的自相关函数、平均功率和一维概率密度函数。解输出噪声的双边功率谱密度为输出噪声的自相关函数为输出噪声的平均功率为输出噪声仍然是高斯过程，其均值和方差分别为输出噪声的一维概率密度函数为2-12功率谱密度为PX(f)的平稳过程X(t)通过图题2-12所示的系统。试求输出随机过程Y(t)的功率谱密