专题二 平面向量与复数

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题二平面向量与复数-2专题二平面向量与复数高考考向（二）平面向量题组一平面向量的基本运算和向量的基本定理（2022·全国·统考高考真题）1．在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．【同类题型】2．在平行四边形中，分别是的中点，，，则（

）A． B． C． D．3．在矩形中，是的中点，是上靠近的三等分点，则向量=（

）A． B．C． D．4．已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（

）A． B． C． D．5．在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．在中，为的重心，为上一点，且满足，则A． B．C． D．【变式题型】7．已知平面向量，，则在上的投影向量为（

）A． B．C． D．8．在正方形中，在上且有与对角线交于，则（

）A． B．C． D．9．在中，点在边上，且，点在边上，且，连接，若，则（

）A． B． C． D．10．在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（

）A． B．C． D．11．如图，在平行四边形中，点在线段上，且（），若（，）且，则（

）A． B．3 C． D．4题组二平面向量的数量积、模和夹角运算（2022·北京·统考高考真题）12．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．（2022·全国·统考高考真题）13．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．【同类题型】14．若非零向量，满足，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．15．已知的外接圆圆心为O，且，，则（

）A．0 B． C．1 D．16．已知是边长为1的正三角形，，，则（

）A． B． C． D．117．已知平面向量满足，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．18．在中，记，，则（

）A． B． C． D．【变式题型】19．已知平面非零向量满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．1620．已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．21．已知点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．22．如图，在矩形ABCD中，，E为边AB上的任意一点（包含端点），O为AC的中点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．23．青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图1，这是一个青花瓷圆盘．该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径，小圆半径，点在大圆上，过点作小圆的切线，切点分别是，，则（

）A． B． C．4 D．5答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．2．B【分析】设，根据向量的线性运算，得到，结合，列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】如图所示，设，且，则，又因为，所以，解得，所以.故选：B.3．B【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.【详解】如图所示，根据平面向量的运算法则，可得.

故选：B．4．A【分析】根据O，A，B三点共线，则，，，代入整理．【详解】因为O，A，B三点共线，则所以，，即整理得：又∵向量，不共线，则，则故选：A．5．C【分析】设，，当时，可得，从而有；当时，有，根据、、三点共线，可得，进而可得，从而即可求解.【详解】解：由题意，设，，当时，，所以，所以，从而有；当时，因为（，），所以，即，因为、、三点共线，所以，即.综上，的取值范围是.故选：C.6．B【分析】根据三角形重心的性质，结合向量的加法和减法即可判断结论．【详解】由题意，画出几何图形如下图所示：根据向量加法运算可得因为G为△ABC的重心，M满足所以，所以所以选B【点睛】本题考查了三角形重心的性质，向量的线性运算，属于基础题．7．B【分析】根据在上的投影向量是计算即可解决.【详解】由题知，，所以，设与夹角为，所以在上的投影向量是，故选：.8．C【分析】根据平面向量的线性运算，即可求得答案.【详解】如图，正方形中，，则因为,所以,则,故,故选：C9．A【分析】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求，，进而可求．【详解】解：如图，连接则，∴，，则.故选：A.10．D【分析】根据题意过点作平行于，交于点，先利用三角形相似求出，然后利用向量的线性运算即可求解.【详解】过点作平行于，交于点，因为，则为的中点，所以且，因为，所以，由可得：，所以，因为，所以，故选：.11．B【分析】方法1：由可得，由代入可反解得，最后根据且即可求得的值.方法2：建立平面直角坐标系，表示出点的坐标转化为坐标运算可求得结果.【详解】方法1：在平行四边形中，因为，所以，所以，又∵，∴，∴，又∵，∴，，（平面向量基本定理的应用）又∵，∴，解得，故选：B.方法2：如图，以A为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，设，，∵则，又∵，设，则即：∴，，，又∵，∴∴∴由②得，将其代入①得，故选：B.12．D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D

13．【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．14．D【分析】对两边同时平方可求出，设与的夹角为，由向量的夹角公式代入即可得出答案.【详解】因为，以，又，，所以，，设与的夹角为，则，因为，所以，即与的夹角为.故选：D.15．C【分析】根据题意可知△为直角三角形，△为等边三角形，即可求出的值.【详解】由知是边中点，因为是△的外接圆圆心，所以△为直角三角形，且，因为，所以△为等边三角形，所以，，所以，故选：C.16．A【分析】根据题意画出图像，即可得出，，再得出，代入计算即可得出答案．【详解】由，可知E为BC中点，所以，如图所示：因为，根据上图可知故选：A17．D【分析】根据题意，求出，建立平面直角坐标系，设，求出轨迹方程，利用几何意义即可求出的最大值.【详解】由可知,，故，如图建立坐标系，，，设，由可得：，所以的终点在以为圆心,1为半径的圆上，所以，几何意义为到距离的2倍，由儿何意义可知，故选：D.18．D【分析】利用向量线性运算和向量数量积的运算律可直接求得结果.【详解】.故选：D.19．C【分析】根据向量数量积的定义和关系，把的两边平方，利用基本不等式进行转化求解即可．【详解】设非零向量，的夹角为.，所以，由两边平方得：，，，即，即，，，即当时，取得最小值，最小值为8.故选：C．20．B【分析】在平面内一点，作，，，取的中点，计算出、的值，利用向量三角不等式可求得的最大值.【详解】在平面内一点，作，，，则，则，因为，则，故为等腰直角三角形，则，取的中点，则，所以，，所以，，因为，所以，，则，所以，.当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为.故选：B.21．D【分析】由题可设，，然后根据向量数量积的坐标表示及三角函数的性质即得.【详解】因为点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，则，设，，所以，所以，即的最小值为故选：D.【点睛】方法点睛：向量数量积问题常用方法一是利用基底法，结合平面向量基本定理及数量积的定义求解；二是利用坐标法，结合图形建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积.22．A【分析】法一：设，然后用，分别表示出，，从而由平面向量的数量积运算并结合的范围求得结果；法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，然后求出，，从而由向量的坐标运算并结合m的范围求得结果．【详解】法一：设，因为O为AC的中点，所以，所