群的基本概念演示文稿

群的基本概念演示文稿当前第1页\共有77页\编于星期一\13点（优选）群的基本概念当前第2页\共有77页\编于星期一\13点

群论源于十九世纪初，起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。群论历史

群论是法国传奇式人物伽罗瓦（Galois，1811~1832年）的发明。他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方程问题。柯西（Augustin-LouisCauchy,1789~1857年)，阿贝尔（NielsHenrikAbel，1802~1829年）等人也对群论的建立做了很多贡献。当前第3页\共有77页\编于星期一\13点阿贝尔简介：

（阿贝尔：Abel,1802—1829）任何一部数学家词典中的第一人，是十九世纪最伟大的数学家之一，是挪威空前绝后的最伟大的学者。……后人整理他的遗著花了150年。不幸的挪威数学家阿贝尔当前第4页\共有77页\编于星期一\13点三百多年弄不清楚的问题：五次及五次以上的方程的公式解法国数学家拉各朗日称这一问题是在“向人类的智慧挑战”。1770年拉格朗日分析了二次、三次、四次方程根式解的结构之后，提出了方程的预解式概念，并且还看出预解式和方程的各个根在排列置换下的形式不变性有关，这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。代数学发展过程中：当前第5页\共有77页\编于星期一\13点挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论，给出了高于四次的一般代数方程不存在代数解的证明。阿贝尔率先解决了这个引人瞩目的难题。可是，由于阿贝尔生前只是个默默无闻的“小人物”，他的发明创造竞没有引起数学界的重视。在失望、劳累、贫困的打击下，阿贝尔不满27岁就离开了人间，使他未能彻底解决这个难题。比如说：为什么有的特殊高次方程能用根式解呢?如何精确地判断这些方程呢？他死后第二天，伦敦大学校长的特使，手持校长的邀请函来到挪威师范学院寻找阿贝尔当前第6页\共有77页\编于星期一\13点殒落的新星1832年5月30日清晨，法国巴黎郊外进行了—场决斗。枪声响后，一个青年摇摇晃晃地倒下了。第二天一早，他就匆匆离开了人间，死时还不到21岁。死前这个青年沉痛地说：“请原谅我不是为国牺牲。我是为一些微不足道的事而死的。”这个因决斗而死去的青年，就是近代数学的奠基人之一、历史上最年轻的著名数学家伽罗瓦。1811年10月25日，伽罗瓦出生在法国巴黎附近的一个小镇上。当前第7页\共有77页\编于星期一\13点更加不幸的法国数学家伽罗瓦伽罗瓦（—）浪漫的法国人一直为他们早逝的、划时代的、人类有史以来最聪明的、思想最深刻的、最倒霉的数学家感到自责。……他留下了100页数学文稿，被发展成一门艰深、应用广泛的学科----抽象代数或称群论。当前第8页\共有77页\编于星期一\13点经常被老师斥为笨蛋小时候，伽罗瓦并末表现出特殊的数学才能，相反，他12岁进入巴黎的一所公文中学后，还经常被老师斥为笨蛋。伽罗瓦当然不是笨蛋，他性格偏执，对学校死板的教育方式很不适应，渐渐地，他对很多课程都失去了兴趣，学习成绩一直很一般。当前第9页\共有77页\编于星期一\13点伽罗瓦遇到了数学教师里沙在中学的第三年，伽罗瓦遇到了数学教师里沙。里沙老师非常善于启发学生思维，他把全部精力都倾注在学生身上，还常常利用业余时间去大学听课，向学生传授新知识。很快，伽罗瓦就对数学产生了极大的兴趣。他在里沙老师的指导下，迅速学完了学校的数学课程，自学了多名数学大师的著作。当前第10页\共有77页\编于星期一\13点他盯上了著名的世界数学难题不久，伽罗瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公式问题。16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人，发现了三次方程的求根公式。这个公式公布后没两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。当时，数学家们非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也找不出一个这样的求根公式。当前第11页\共有77页\编于星期一\13点站在巨人阿贝尔的肩膀上面这样的求根公式究竟有没有呢?在伽罗瓦刚上中学不久，年轻的挪威数学家阿贝尔已经作出了回答：“没有。”阿贝尔从理论上予以证明，无论怎样用加、减、乘、除以及开方运算，无论将方程的系数怎样排列，它都决不可能是一般五次方程的求根公式。当前第12页\共有77页\编于星期一\13点伽罗瓦向世纪难题发起了挑战1828年，也就是阿贝尔去世的前一年，伽罗瓦也向这个数学难题发起了挑战。他自信找到了彻底解决的方法，便将自己的观点写成论文，寄给法国巴黎科学院。负责审查伽罗瓦论文的是柯西和泊松，他们都是当时世界上第一流的数学家。柯西不相信一个中学生能够解决这样著名的难题，顺手把论文扔在一边，不久就丢失了；两年后，伽罗瓦再次将论文送交巴黎科学院。这次，负责审查伽罗瓦论文的是傅立叶。不巧，也就是在这一年，这位年迈的著名数学家去世了。伽罗瓦的论文再一次给丢失了。当前第13页\共有77页\编于星期一\13点他考进了巴黎高等师范学校伽罗瓦的论文一再被丢失的情况，使他很气愤。这时，他已考进了巴黎高等师范学校；并得知了阿贝尔去世的消息，同时又发现，阿贝尔的许多结论，他已经在被丢失的论文中提出过。在1831年，伽罗瓦向巴黎科学院送交了第三篇论文，题目是《关于用根式解方程的可解性条件》。这一次，著名数学家泊松仔细审查了伽罗瓦的论文。当前第14页\共有77页\编于星期一\13点年迈的泊松感到难于理解由于论文中出现了“置换群”等崭新的数学概念和方法，泊松感到难于理解。几个月后，他将论文退还给伽罗瓦；嘱咐写一份详尽的阐述送来，可是，伽罗瓦已经没有时间了。在大学里，伽罗瓦由于积极参加资产阶级革命活动，被学校开除了。当前第15页\共有77页\编于星期一\13点伽罗瓦预感到死亡即将来临1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被捕入狱，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832年4月29日，由于监狱里流行传染病，伽罗瓦才得以出狱。伽罗瓦恢复自由不到一个月，爱上了一个舞女，并因此被迫与一个军官决斗。决斗前夕,伽罗瓦预感到死亡即将来临，他匆忙将数学研究心得扼要地写在一张字条上，并附以自己的论文手稿，请他的朋友交给当时的大数学家们。当前第16页\共有77页\编于星期一\13点他坚信自己的理论正确伽罗瓦自豪地写道：“你可以公开请求雅可比或者高斯，不是对这些东西的正确性，而是对它的重要性表示意见。”我希望，今后能有人认识这些东西的奥妙，并作出恰当的解释。1846年法国数学家刘维尔首先“认识到这些东西的奥妙”，将它们发表在自已主办的刊物上，并撰写序言热情向数学界推荐。

他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并且开创了数学的一片新的天地。当前第17页\共有77页\编于星期一\13点

伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具—群论。它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始。当前第18页\共有77页\编于星期一\13点时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，并在结晶学、理论物理、量子化学以至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。

群论与对称性群论是研究系统对称性质的数学工具。当前第19页\共有77页\编于星期一\13点物理学中的对称性和守恒定律物理学中的许多规律常常具有一些对称性质，从一种对称性质就可以推导出一种守恒定律：①空间坐标平移不变性（系统拉氏函数L不变）

动量守恒②L在空间转动下对称角动量守恒③L在时间平移下对称能量守恒④空间反演（）对称宇称守恒⑤晶体平移对称性（平移晶格常数的整数倍）

Bloch定理⑥全同粒子交换对称性玻色子，费米子⑦标度变换对称性临界现象，非线性物理，生命起源……当前第20页\共有77页\编于星期一\13点

今天，群论经常应用于物理领域。我们经常用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出在某种变化下的某些变化量的性质。它也跟物理方程联系在一起。另外，晶体学中早期的关于晶体的各种结构的问题中，也是靠群论中的费得洛夫群的研究给出了答案。群论指出，空间中互不相同的晶体结构只有确定的230种。（230个空间群）

对称群理论在先进（陶瓷）材料中的应用当前第21页\共有77页\编于星期一\13点

通过对这些具有一定力学性能、物理性能的材料的微观本质的分析，可以反过来利用对称群分析看看可以通过哪些方式（如掺杂等）来改变晶体的晶格以获得性能更佳、物理效应更显著的晶体。

（压电、铁电、热释电、光学性能等）对称性晶体结构相似的物理性能（压电、铁电、热释电、光学性能等）对称性分析改变晶体的结构提高材料的性能当前第22页\共有77页\编于星期一\13点2、《群论及其在物理学中的应用》1、《群论及其在固体物理中的应用》

（徐婉棠、喀兴林编著，高教出版社）参考书：4、《线性代数》3、《物理学中的群论》

（马中骐编著，科学出版社）（谢希德、蒋平、陆奋著）科学出版社当前第23页\共有77页\编于星期一\13点《群论及其在固体物理中的应用》第一、二章：讨论有限群及其表示的基本数学理论；第三、四章：讨论点群在分析晶体宏观性质中的应用；第五章：讨论群论与量子力学的关系；第六章：讨论空间群的不可约表示及其在能带理论中的应用；第七、八章：介绍晶格动力学中的群论方法，色群及其表示理论。当前第24页\共有77页\编于星期一\13点第一部分群论基础

第一章群的基本知识

当前第25页\共有77页\编于星期一\13点§1.1群一、群的定义:

有限或无限个元素（数学对象）或操作的集合{A,B,C,D…}，其中有一个与次序有关的运算方法（群乘），具备下列条件,则构成群（G）。集合中的元素（A,B,C,D…）称为群元。

1,封闭性,AB=C（AA=D）

2,结合律,A(BC)=(AB)C3,单位元（不变元素）E,EA=AE=A4,逆元A-1,AA-1=A-1A=E当前第26页\共有77页\编于星期一\13点二、群的性质:

1、E-1=E,单位元E的逆元仍为E,

证：（1）E-1E=EE-1=E（令：A=E，由A-1A

=AA-1=E）（2）EE-1=

E-1E=E-1

（令：A=E-1

，由EA=A

E=A）由（1）和（2）E=E-1

2、(A-1)-1=A,逆元之逆元为元素本身

证：

(A-1)-1=(A-1)-1E=(A-1)-1（A-1A)=[(A-1)-1A-1]A=EA=A3、(AB)-1=B-1A-1

证明:∵(AB)-1=(AB)-1E=(AB)-1AA-1E=(AB)-1AEA-1=(AB)-1A

（BB-1）A-1

=

(AB)-1(AB)

B-1A-1=EB-1A-1=B-1A-1

∴(AB)-1=B-1A-1当前第27页\共有77页\编于星期一\13点三、群阶:群元的数目（g）离散的无限群（可数的无穷多）连续群（不可数的无穷多）无限群∞有限群

h（g为有限）2、交换群（阿贝尔群）：群乘与群元的顺序无关

AB=BA1、群乘：将集合中的任意两个元素构成唯一的另一个元素的一种运算。群乘不一定是代数运算中的乘法（如相继操作），也不一定满足交换律。四,可换群:(Abel阿贝尔群)当前第28页\共有77页\编于星期一\13点五、群的实例（群元和群乘）

1,数群:

以数为群元，以数学运算为群乘，构成数群

例(1)：全部正负整数(包括0)的集合，群乘为加法

E=0，A=n,A-1=-n

这是离散的无限群、交换群

例(2)：全部正负整数

(不包括0)的集合，群乘为乘法

E=1，A=n,A-1=1/n

提问：这是不是群？为什么？答案：不是，因为A-1=1/n不是整数，A没有逆元。当前第29页\共有77页\编于星期一\13点

全部正负实数(不包括0)

的集合，群乘为乘法

（构成群-连续群）例（3）：全部正负实数的集合，群乘为数乘E=1，A=n,A-1=1/n提问：这是不是群？为什么？答案：不是，因为当n=0时，A-1=1/n不在集合内。当n≠0时，A-1=1/n在集合内。

例（4）集合{1，-1}在数乘运算下构成一个群。

例（5）集合{1，-1，i，-i}

构成群。群元由

ik

构成。（k=0，1，2，3）循环群：一个群的所有群元可以由某个元的幂来产生。如例（5）循环群都是阿贝尔群。E=1，A-1=A当前第30页\共有77页\编于星期一\13点2、置换群：

以变换位置的操作为群元，以相继操作为群乘，构成置换群例:Z3

群(三位置置换群)┌123┐∣∣表示将1、2、3处之物分别放於2、3、1处，└231┘

┌123┐【①②③】→∣∣→【③

①

②】└231┘当前第31页\共有77页\编于星期一\13点Z3群由以下六元素构成：

┌123┐┌123┐┌123┐e=∣∣a=∣∣b=∣∣└123┘└321┘└132┘

┌123┐┌123┐┌123┐c=∣∣d=∣∣f=∣∣└213┘└312┘└231┘可以证明它们符合群的四个基本条件（自己证）

当前第32页\共有77页\编于星期一\13点∴

bc=f即：当前第33页\共有77页\编于星期一\13点满足（不满足封闭性）3、矩阵群:

以方矩阵为群元，以矩阵乘法为群乘，构成矩阵群。当前第34页\共有77页\编于星期一\13点d3

群

detA=1┌100┐┌010┐┌100┐e=∣010∣a=∣100∣b=∣001∣└001┘└001┘└010┘

┌001┐┌001┐┌010┐c=∣010∣d=∣100∣f=∣001∣└100┘└010┘└100┘

逆元：

b-1=bd-1=f封闭性：ad=b,bd=c,d2=f当前第35页\共有77页\编于星期一\13点4、

对称群

(这是我们最关注的)

以对称操作为群元，以相继操作为群乘，构成对称群例D3

群（使正三角形自身重合的对称操作构成的群。）

E不动C绕C轴转180o

A绕A轴转180oD顺时针转120o

（绕垂直于三角形平面的轴）

B绕B轴转180oF逆时针转120oacbbbbbbaaaaaccccc返回当前第36页\共有77页\编于星期一\13点AF当前第37页\共有77页\编于星期一\13点5、列表

群的名称群元群乘举例数群数运算(加、乘等)例(1)

置换群置换相继置换Z3群矩阵群矩阵矩阵乘法d3群对称群对称操作相继操作D3群

当前第38页\共有77页\编于星期一\13点六

群表及群表定理1,群表：群元的乘积表例：d3群：ad=b,bd=c,d2=fD3群:AD=B,BD=C,D2=F

EABCDF

EEABCDF

AAEDFB

C

BBFEDCA

CCDFEAB

DDC

ABFE

FFBCAED

[提问：D3群是不是阿贝尔群？][答案：不是，因为AB(=D)≠BA(=F)]

习题:试证明D3群群表最后一行的偶数位,即证明

FA=B,FC=A,F2=D*群表的行和列用群元素来标记，元素A和B的乘积D=AB出现在A行和B列交叉处。返回当前第39页\共有77页\编于星期一\13点2，群表即群:群的信息全部在群表中，群表即群

[思考题：你能找出d3

,D3及Z3

群之间的内在联系吗?][答案:(1)D3群的对称操作可视为三角形三顶点位置的置换；

(2)D3

群和Z3

群的操作都可表示为3×3的变换矩阵。

(3)它们的群表相同，就数学而言它们是同一群；

d3

群=Z3

群=D3

群]

3，群表定理（重排定理）

G：{E，A2，

A3，A4---------Ah}AkG:{Ak，

AkA2，AkA3，AkA4---------AkAk

}中或GAk

:{Ak，

A2AK，A3Ak，A4Ak---------AkAk

}中群中的每个元素（在每一行或每一列中）必出现且只出现一次

(只是重排)，即群G被其中的元素左乘或右乘仍为该群G.AkG=GAk

=G*当前第40页\共有77页\编于星期一\13点求证:GAk

=G

证明:

第一步：证明每个元素必出现於GAk中（即证明若元素X

G，则必X

GAk）令Ar

=XAk-1

∵X，Ak-1

G,∴

Ar

G(封闭性)

则X

=

ArAk

GAk

第二步：证明每个元素只出现一次（即证明若又有一元素As

G使AsAk=X,则必有As

=Ar

）∵AsAk=X,又由前面可知X

=

ArAk，

∴

ArAk

=

AsAk

则Ar

=Ar（AkAk-1）=（ArAk）Ak-1=（AsAk）Ak-1

=As（AkAk-1）=

As*当前第41页\共有77页\编于星期一\13点§1.2

子群和陪集一，

子群(subgroup)1，定义：群G中的一些元的集合S在相同的群乘下构成的群，为G的子群

2，显然子群（平庸子群）：（1）E，（2）G3，子群S的条件和检验:（1）单位元；（2）逆元；（3）封闭性.[提问：结合律是否需要检验？为什么？][答案：群乘不变，结合律自然满足]

例，[提问：以下哪些集合是D3

群的子群？(根据群表){E}，{E，A}，{E，B}，{E，D}，{A，F},

{D，F}

{E，A，F}，{E，D，F}][答案：{E},{E,A},{E,B},{E,D,F}]*当前第42页\共有77页\编于星期一\13点二，陪集（coset）子群SG，又XG，但XS

则，SX为S关于X的右陪集,XS为S关于X的左陪集（若XS，则XS=SX=S）[提问:为什么?][答案:重排定理]

例：D3

群中子群的陪集（1）子群：S={E，D，F}；陪集：{A，B，C}（=A{E，D，F}={E，D，F}B）（2）子群：{E，A}；陪集：{B，F}，（=B{E，A}=F{E，A}）

{B，D}，（={E，A}B={E，A}D）

{C，D}，（=C{E，A}=D{E，A}）

[提问：陪集是不是群？为什么？][答案:不是。因为没有E](其普遍性证明见后)*S关于A的左陪集S关于B的右陪集当前第43页\共有77页\编于星期一\13点三，陪集定理（以右陪集为例证明，结论同样适用于左陪集）（1）若X不是S的一个元，那么SX不是一个群。（2）G中的每一个元必然落在子群或某一个右陪集中。当前第44页\共有77页\编于星期一\13点（3）每一个右陪集包含s个不同的元。即在集合SX的s个元中，没有相同的元存在。当前第45页\共有77页\编于星期一\13点（4）陪集SX和SY要么完全相同，要么完全不同

（即若有一共同元，则全同）证明：若有一共同元，SmX=SnY(Sm,Sn

S)

则Sm-1SmXY-1=Sm-1SnYY-1(左乘Sm-1，右乘Y-1)

因此XY-1=Sm-1Sn

S(封闭性)

则

SXY-1

=S[提问：为什么？][答案：重排定理](只是重排,元素结合不变)

故SX=SY*

当前第46页\共有77页\编于星期一\13点

四,子群阶定理:若子群S

群G

则子群S的阶s必然是群G阶g的正整因子证明：

1，群S及其陪集必然包括大群G中所有的元（群G中任何一个S以外的元素X必然在陪集SX中）

[陪集定理2]2，SX和SY要么全同，要么全不同（陪集定理4）

3，子群S与陪集SX没有共同元（X应不属于S）若有Sm

=Sn

X

则X=Sn-1Sm

S，与前提矛盾

4，子群与其陪集的阶相同（元素的数目相同）,皆为s

（陪集定理3）

5，由以上四点可知，s是g的正整因子

G=S+SX+SY+----------+SW

（g）（s）（s）（s）（s）*即：g=si(1.2-3)

当前第47页\共有77页\编于星期一\13点§1.3共轭元与类一，共轭（conjugate）

1,共轭元（conjugateelement）若群G中存在一个元X，使群中的元A、B满足:B=XAX-1

（A，B，XG）,那么就说群元B与群元A共轭。若B共轭于A，则A也共轭于B，因为，由B=XAX-1则A=X-1B(X-1)-1=

YAY-1（

Y=X-1）

其中Y=X-1，是群G中的一个元，所以A与B互为共轭元。

2,共轭的传递性若A与B共轭，B与C共轭，则A与C共轭证明：若B=XAX-1，C=YBY-1

则C=YBY-1=Y(XAX-1)Y-1=YXAX-1Y-1

=(YX)A(YX)-1=ZAZ-1(Z=YXG)

故C与A共轭

当前第48页\共有77页\编于星期一\13点3,相似矩阵

矩阵群中彼此共轭的元为彼此相似的矩阵。二,

类:

群G中彼此共轭的群元的完全集合构成类（C）。对于类C,自然有XCX-1=C(X为群G中任一群元)三，类的性质

1,单位元自成一类（XEX-1=E）

2,类相互独立，彼此无共同元[提问：为什么？][答案：如有一共同元，则为同一类（类的传递性）]3,除E以外，所有的类都不是群[提问：为什么？][答案:缺E][提问:为什么缺E][答案:E自成一类]

类的元数hc：类中群元的个数。当前第49页\共有77页\编于星期一\13点4,对于矩阵群，同类的元具有相同的矩阵迹

(又称特征标

)[提问：为什么？[答案：矩阵相似变换，矩阵迹不变](

定义:A＝（aij）为n阶方矩阵，A的主对角线元素之和称为A的迹，记为tr（A）。即矩阵的迹具有下述的常见性质[1]：1．tr（A＋B）=tr（A）＋tr（B）

2．tr（KA）＝Ktr（A）

3．tr（AB）＝tr（BA）

4．tr（ABC）＝tr（BCA）＝tr（CAB）当前第50页\共有77页\编于星期一\13点四，分类

1,基本方法：利用群表寻求共轭元，进行分类

2,可换群：每一元素自成一类证明:∵XA=AX(可换群)∴(两边右乘X-1)

XAX-1=AXX-1=A3,转动群中两转角相同的转动操作，若其转轴可由群中某一操作相互转换，则该二转动操作同类

XAX-1=B4,D3群的分类（可自己练习）分类方法：（1）利用群表寻求共轭元（2）根据第3条分类结果：（1）{E}（E自成一类）（2）{D，F};{A,B,C}各为一类习题:试将D3群分类,并根据群表证明之.*当前第51页\共有77页\编于星期一\13点自证当前第52页\共有77页\编于星期一\13点(X-1)-1C-1X-1=(XCX-1)-1当前第53页\共有77页\编于星期一\13点3.有关类的定理当前第54页\共有77页\编于星期一\13点当前第55页\共有77页\编于星期一\13点证明：当前第56页\共有77页\编于星期一\13点3当前第57页\共有77页\编于星期一\13点整元则有：逆元（S-1X(S-1)-1=X、单位元（EXE-1=X）当前第58页\共有77页\编于星期一\13点为此只要证明：类当前第59页\共有77页\编于星期一\13点当前第60页\共有77页\编于星期一\13点==g=si当前第61页\共有77页\编于星期一\13点(1.4-2)当前第62页\共有77页\编于星期一\13点=当前第63页\共有77页\编于星期一\13点不变子群（正规子群）一、定义：有子群NG，若XNX-1=N或XN=NX（X为G中的任一元素）则N为群G的不变子群=当前第64页\共有77页\编于星期一\13点二，性质1，不变子群必包括一个或几个完整的类（即不变子群由完整的类构成）证明：若任一群元AN

则XAX-1

N（∵XNX-1=N,AN）即类CN（∵XCX-1=C）

(即类中若有一元素属于N，则整个类属于N)2,含一个或几个完整类的子群是不变子群证明：若子群S=C1+C2(以两个类为例)∵XC1X-1=C1，XC2

X-1=C2

∴XSX-1=X（C1+C2）X-1=XC1X-1+XC2

X-1=C1+C2

=S

即S为不变子群*当前第65页\共有77页\编于星期一\13点3,不变子群的两个陪集相乘（包括自乘）必为一个陪集或不变子群自身证明：N为G的不变子群

NK和NL为N的陪集

NKNL=NKN（K-1K）L=N（KNK-1）KL=NNKL=N（KL）（NN=N）

若KL不在N中，则N（KL）是N的陪集若KL在N中，则N（KL）是N自身*例D3

群中，不变子群N={E，D，F}

两陪集的乘积(NA)(NB)={E,D,F}A{E,D,F}B={E,D,F}{E,D,F}AB={E,D,F}(AB)[提问:是因为D3

群是可换群吗?][答案:是因为{E,D,F}是不变子群](AB=D)={E,D,F}D(仍是N,={E,D,F})当前第66页\共有77页\编于星期一\13点4,不变子群的判断判别条件:（1）由完整的类构成；

(缺一不可)

（2）其阶是G群阶的因子(子群阶定理

)[提问：下列集合中哪些是D3群的不变子群?]{E,A},{E,D},{E,A,B},{E,D,F},{A,B,C}][答案：{E，D，F}]({A,B,C}缺E,其余不是完整类)][提问：{E，A，B，C}是否为不变子群？][答案：不是，其阶4，不是g=6的因子]*当前第67页\共有77页\编于星期一\13点商群一，定义:若不变子群NG，则以N及其陪集为群元，以其乘法为群乘,构成商群，