生物医学信号处理-52-周期图及其估计质量课件

1）间接方法2）直接方法如果xN(n)的傅里叶变换用XN(ejw)表示那么xN(-n)的傅里叶变换为X*N(ejw)式中,Sper(ejw)称为周期图,它是Gxx(ejw)的估计。周期图及其估计质量设{xn}是均值为0的广义平稳随机过程，是自相关遍历性的。xN(n)={x(0),x(1),…,x(N-1)}是取样序列x(n)中的N个数据可以证明，两种途径所得的结果是一致的

周期图法的功率谱估计公式令m=k-n,即k=m+n，则上式中的方括号部分正是有偏自相关函数的计算公式,因此得到周期图的估计质量理想的情况是,随着数据记录长度的增加,周期图Sper(ejw)应收敛于随机过程的真实功率谱Gxx(ejw)。必须从统计的观点讨论周期图的收敛问题,或者说,讨论下式是否成立的问题为了使周期图满足上式的收敛条件,即为了使周期图是均方收敛的，Sper(ejw)应当是Gxx(ejw)的一致估计Bartlett窗（或三角窗）周期图的偏差式中下图所示为

Bartlett窗及其傅里叶变换的图像。由于WB(ejw)不是一个冲激函数,因此一般情况下当N→+∞时,WB(ejw)收敛于一个冲激函数,因此可得出Sper(ejw)是渐近无偏的。周期图的方差周期图的方差与随机过程的4阶矩有关令x(n)是方差为σx2的高斯白噪声随机过程当N→+∞时,周期图的方差并不趋近于0由于,所以高斯白噪声的周期图的方差与功率谱的平方成正比例周期图不是功率谱的一致估计。快速傅立叶变换函数y=fft(x);y=fft(x,n);y=fft(x,n,dim)x:输入序列，其长度小于n时，尾部补零；大于n时，截断成n点数据；

若x为矩阵，则fft函数作用于x的每一列。y:序列x的FFT，长度与x相同，一般是复序列。注意：1.对于N点的x，其FFT是N点的复数序列，其点n=N/2+1对应奈奎斯特频率(离散信号系统采样频率的一半)，作谱分析时仅取序列y的前一半，及前N/2点即可；y的后一半序列和前一半是对称的。2.若N点序列x(n)(n=0,1,…,N-1)是在采样频率fs(Hz)下获得的，则y=X(k)(n=0,1,…,N-1)，其中，第k点所对应的实际频率值为f=k*fs/N(Hz)。3.做FFT分析时，幅值大小与FFT选择点数有关，但不影响分析结果。在计算周期图期望值的式中,引入的

Bartlett窗wB(m)是加在自相关序列上的窗,称为滞后窗。为说明滞后窗对周期图期望值产生的影响,现在来看一个例子假设有一个随机过程,它是由一个具有随机相位的正弦信号加上白噪声构成的式中,φ为一个在[-π,π]区间内均匀分布的随机变量;v(n)为方差为σv2的白噪声。x(n)的真实功率谱为可计算出x(n)的周期图的期望值为下图所示为x(n)的真实功率谱Gxx(ejw)和周期图的期望值

E[Sper(ejw)]的图像。注意,两者都是偶对称的和周期的(周期为2π),图中只画出了ω0~π之间的部分图像。将两者的图像进行比较,可以看到滞后窗的傅里叶变换WB(ejw)对E[Sper(ejw)]的两方面影响①由于WB(ejw)的主瓣不是无限窄的,导致正弦信号中的功率扩散到带宽约为4π/N的整个主瓣范围内,使本来是一根谱线的正弦信号的功率谱变成了与滞后窗傅里叶变换主瓣形状相同的功率谱。这种影响就是滞后窗的平滑作用,可使真实功率谱中的细节变化变得模糊不清。②由于WB(ejw)有许多旁瓣,使与正弦信号功率谱(线状谱)相卷积的结果,在ωk≈ω0±2πk/N等频率点上形成其他的谱峰,在严重的情况下,这些多余的谱峰有可能掩盖住信号中本来含有的幅度较小的窄带成分。这种影响称滞后窗的旁瓣泄漏。例

假设在上例式子所表示的随机过程x(n)中,A=5,ω0=0.4π,σv2=1。现有该随机过程的50次实现,或者说,对该随机过程观测了50次,每次观测获得了N=64个数据。根据每组数据计算得到一个周期图,图(a)所示的是50个周期图的图像。可以看到,这些周期图都在ω0=0.4π附近有一个主峰,但是50个周期图是各不相同的。图(b)所示的是50个周期图的平均,近似地等于给出的周期图期望值。如果把每次观测的数据数目增加到N=256,那么根据这些数据计算出来的50个周期图的图像如图(c)所示,图(d)所示的是它们的平均。可以看出,由于数据量增多等效于滞后窗加宽,相应的傅里叶变换的主瓣变窄,因此,正弦信号中的功率扩散的频率范围变得很窄了(图上ω0=0.4π附近的主峰变尖锐了)。周期图作为功率谱的估计,不仅会产生偏差(它是有偏估计),而且由于滞后窗频率特性主瓣的平滑作用,限制了周期图分辨x(n)中任何两个频率相近的窄带成分的能力或频率分辨力(或分辨率)。例如,有一个由两个具有随机相位的正弦信号加上白噪声组成的随机过程式中,A1和A2为正弦信号振幅;φ1和φ2为互不相关的均匀分布的随机相位;v(n)为方差为σv2的白噪声。x(n)的功率谱为周期图的期望值为下图所示为N=64，A1=A2=A情况下，Gxx(ejw)和

E[Sper(ejw)]的图像。由于WB(ejw)的主瓣宽度随数据记录长度的减小而增加,因此,对于一定的数据记录长度N，WB(ejw)的主瓣宽度是一定的。这样,周期图能够分辨两个频率相近的正弦(或窄带)信号的能力就是一定的,通常把这种频率分辨率用WB(ejw)的主瓣宽度△ω来度量。对于图(b)所示的Bartlett滞后窗的频率特性,其主瓣在半功率点或从峰值下降6dB处的宽度：

△ω=0.89(2π/N),因此,周期图的频率分辨率为Res[Sper(ejw)]=0.89(2π/N),实际应用中的经验表明，这是一个比较符合实际的估算周期图的频率分辨率的公式，由上式可以看出：频率分辨率与数据量成反比关系。例

为使周期图的频率分辨率不大于0.05π,数据记录长度应为多少?解:在上式中,令

Res[Sper(ejw)]=0.89(2π/N)≤0.05π

由上式求出N≥36。现在来对周期图的频率分辨率做一个测试。假设上例式子给出的随机过程中,取A1=A2=A=5,ω1=0.4π,ω2=0.45π,σv2=1；对该随机过程采集50组数据,每组N=40个取样值。下图(a)所示的是相应的50个周期图的图像,由该图看出,其中有的周期图能够分辨出位于0.4π和0.45π附近的两个正弦分量,但有的周期图则不能。图(b)所示的是50个周期图的平均,可以看到两个主峰合并在一起了。若将每组数据量由N=40增至N=64,相应的50个周期图及其平均的图像如图(c)和(d)所示，可以看出,两个正弦分量总是能清晰地分辨出来。周期图的随机起伏从下图(a)、(c)和(e)已经看到,任何一组数据计算得到的周期图,都在真实功率谱附近随机起伏,这种随机起伏并不会因为数据记录长度的增加而减弱。实际上可以看到,数据越多,这种随机起伏反而越密集。这样,仅通过一个周期图来估计功率谱是不可靠的,因此通常要将许多周期图进行平均,例如图中的(b)、(d)和(f)3个平均后的周期图,就与真实功率谱比较接近。但是,从3个平均周期图上仍然看到了随机起伏,而且数据记录长度越长,这种随机起伏越密集。现在对这种随机起伏的产生原因进行分析。这意味着,在相距2π/N的整数倍的频率上,周期图的值是互不相关的。

随着