正弦电流电路的稳态分析

正弦电流电路的稳态分析第一页，共九十七页，编辑于2023年，星期三8.1正弦量的基本概念一.正弦量：按正弦规律变化的量。瞬时值表达式：i(t)=Imsin(wt+y)i+_u波形：tiO/T周期T(period)和频率f(frequency):频率f：每秒重复变化的次数。周期T：重复变化一次所需的时间。f=1/T单位：Hz，赫(兹)单位：s，秒第二页，共九十七页，编辑于2023年，星期三(1)幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im：反映正弦量变化幅度的大小。(2)角频率(angularfrequency)w

：每秒变化的角度(弧度)，反映正弦量变化快慢。二、正弦量的三要素：tiO/T(3)初相位(initialphaseangle)y：反映了正弦量的计时起点。(wt+y)表示正弦量随时间变化的进程,称之为相位角。它的大小决定该时刻正弦量的值。当t=0时，相位角(wt+y)=y，故称y为初相位角，简称初相位。它表示了正弦量的起点。Im2t单位：rad/s

，弧度/秒i(t)=Imsin(wt+y)第三页，共九十七页，编辑于2023年，星期三同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。tiO

=0

=/2=-/2一般规定：||。第四页，共九十七页，编辑于2023年，星期三三、同频率正弦量的相位差(phasedifference)。设u(t)=Umsin(wt+yu),i(t)=Imsin(wt+yi)则相位差即相位角之差：j=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yij>0，u领先(超前)Ij角，或i落后(滞后)uj角(u比i先到达最大值)；j<0，i领先(超前)uj角，或u落后(滞后)ij

角(i比u先到达最大值)。tu,iu

iyuyijO恰好等于初相位之差第五页，共九十七页，编辑于2023年，星期三j=0，同相：j=(180o)

，反相：规定：|y|(180°)。特殊相位关系：tu,iu

iOtu,iu

iO第六页，共九十七页，编辑于2023年，星期三=p/2：u领先ip/2,不说u落后i3p/2；i落后up/2,不说i领先u3p/2。tu,iu

iO同样可比较两个电压或两个电流的相位差。第七页，共九十七页，编辑于2023年，星期三8.2周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。电流有效值定义为：瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。物理意义：周期性电流i流过电阻R，在一周期T内吸收的电能，等于一直流电流I流过R,在时间T内吸收的电能，则称电流I为周期性电流i的有效值。有效值也称均方根值(root-meen-square，简记为rms。)1.周期电流、电压有效值(effectivevalue)定义第八页，共九十七页，编辑于2023年，星期三W2=I2RTRi(t)RI同样，可定义电压有效值：第九页，共九十七页，编辑于2023年，星期三2.正弦电流、电压的有效值设i(t)=Imsin(t+)第十页，共九十七页，编辑于2023年，星期三同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；U=380V，Um537V。工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。*注意区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。第十一页，共九十七页，编辑于2023年，星期三1.复数A表示形式：AbReImaOA=a+jbAbReImaO|A|8.3正弦量的相量表示一、复数及运算第十二页，共九十七页，编辑于2023年，星期三两种表示法的关系：A=a+jbA=|A|ejq

=|A|q

直角坐标表示极坐标表示或2.复数运算则A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——直角坐标若A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2ReImO加减法可用图解法。AbReImaO|A|第十三页，共九十七页，编辑于2023年，星期三(2)乘除运算——极坐标若A1=|A1|1，若A2=|A2|2除法：模相除，角相减。例1.乘法：模相乘，角相加。则:解:第十四页，共九十七页，编辑于2023年，星期三例2.(3)旋转因子：复数ejq

=cosq+jsinq=1∠qA•ejq

相当于A逆时针旋转一个角度q，而模不变。故把ejq

称为旋转因子。解：上式第十五页，共九十七页，编辑于2023年，星期三ejp/2

=j,e-jp/2

=-j,ejp=–1故+j,–j,-1都可以看成旋转因子。几种不同值时的旋转因子：ReIm0第十六页，共九十七页，编辑于2023年，星期三两个正弦量i1+i2i3wwwI1I2I3123无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。于是想到复数，复数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。角频率：有效值：初相位：二、正弦量的相量表示i1i2

tu,ii1

i2Oi3第十七页，共九十七页，编辑于2023年，星期三1.正弦量的相量表示造一个复函数没有物理意义若对A(t)取虚部：是一个正弦量，有物理意义。对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指数函数：A(t)包含了三要素：I、、w，复常数包含了I

,

。A(t)还可以写成复常数第十八页，共九十七页，编辑于2023年，星期三加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正弦量的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”，是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。称为正弦量i(t)对应的相量。正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知例1.试用相量表示i,u.解：第十九页，共九十七页，编辑于2023年，星期三

相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：q例2.试写出电流的瞬时值表达式。解：第二十页，共九十七页，编辑于2023年，星期三我们用向量和一个正弦时间函数对应看看它的几何意义：请看演示ejt为一模为1、幅角为t的相量。随t的增加，模不变，而幅角与t成正比，可视其为一旋转相量，当t从0~T时，相量旋转一周回到初始位置，t从0~2。第二十一页，共九十七页，编辑于2023年，星期三2.相量运算(1)同频率正弦量相加减故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。i1i2=i3ab=clga+lgb=lgc这实际上是一种变换思想可得其相量关系为：第二十二页，共九十七页，编辑于2023年，星期三例．同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。ReImReIm首尾相接第二十三页，共九十七页，编辑于2023年，星期三2.正弦量的微分，积分运算微分运算:积分运算:相量微分:相量积分:第二十四页，共九十七页，编辑于2023年，星期三3.相量法的应用求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解)例一阶常系数线性微分方程自由分量(齐次方程解)：Ae-R/Lt强制分量(特解)：Imsin(wt+yi)Ri(t)u(t)L+-解:第二十五页，共九十七页，编辑于2023年，星期三用相量法求：qRLRi(t)u(t)L+-取相量第二十六页，共九十七页，编辑于2023年，星期三小结①正弦量相量时域频域②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。③相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。N线性N线性w1w2非线性w不适用正弦波形图相量图第二十七页，共九十七页，编辑于2023年，星期三8.4电阻、电感和电容元件上电压和电流的相量关系一.电阻时域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系：UR=RI相位关系u=i(u,i同相)R+-URu相量关系：UR=RIu=i第二十八页，共九十七页，编辑于2023年，星期三瞬时功率：波形图及相量图：

itOuRpRu=iURI瞬时功率以2交变。但始终大于零，表明电阻始终是吸收（消耗）功率。第二十九页，共九十七页，编辑于2023年，星期三二.电感时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型jL+-i相量关系：有效值关系：U=wLI相位关系：u=i+90°

(u超前i90°)1.相量关系：第三十页，共九十七页，编辑于2023年，星期三感抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；U=XLI=LI=2fLI(2)感抗和频率成正比；wXL相量表达式:XL=L=2fL，称为感抗，单位为(欧姆)BL=-1/L=-1/2fL，感纳，单位为S(同电导)2.感抗和感纳:第三十一页，共九十七页，编辑于2023年，星期三功率：波形图：t

iOuLpL2瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。第三十二页，共九十七页，编辑于2023年，星期三三、电容时域形式：相量形式：相量模型有效值关系：IC=wCU相位关系：i=u+90°

(i超前u90°)uiC(t)u(t)C+-+-相量关系：第三十三页，共九十七页，编辑于2023年，星期三令XC=-1/wC，称为容抗，单位为W(欧姆)BC=wC，称为容纳，单位为S频率和容抗成反比,w0，|XC|直流开路(隔直)w，|XC|0高频短路(旁路作用)w|XC|功率：波形图：t

iCOupC容抗与容纳：2瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。相量表达式:第三十四页，共九十七页，编辑于2023年，星期三8.5复阻抗、复导纳及其等效变换1.复阻抗与复导纳正弦激励下Z+-无源线性+-|Z|RXj阻抗三角形单位：阻抗模阻抗角第三十五页，共九十七页，编辑于2023年，星期三复导纳Y|Y|GBj导纳三角形对同一二端网络:2.R、L、C元件的阻抗和导纳（1）R：（2）L：（3）C：单位：S第三十六页，共九十七页，编辑于2023年，星期三3.RLC串联电路用相量法分析R、L、C串联电路的阻抗。由KVL：其相量关系也成立LCRuuLuCi+-+-+-+-uRjLR+-+-+-+第三十七页，共九十七页，编辑于2023年，星期三Z—复阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；|Z|—复阻抗的模；—阻抗角。关系：或R=|Z|cosX=|Z|sin|Z|RXj阻抗三角形第三十八页，共九十七页，编辑于2023年，星期三具体分析一下R、L、C串联电路：Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠jwL>1/wC，X>0，j>0，电路为感性，电压领先电流；wL<1/wC，X<0，j<0，电路为容性，电压落后电流；wL=1/wC，X=0，j=0，电路为电阻性，电压与电流同相。画相量图：选电流为参考向量(wL>1/wC)三角形UR、UX、U

称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即UX第三十九页，共九十七页，编辑于2023年，星期三例.LCRuuLuCi+-+-+-已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC.解：其相量模型为jLR+-+-+-第四十页，共九十七页，编辑于2023年，星期三则UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。-3.4°相量图第四十一页，共九十七页，编辑于2023年，星期三4.RLC并联电路由KCL：iLCRuiLiC+-iLjLR+-第四十二页，共九十七页，编辑于2023年，星期三Y—复导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；|Y|—复导纳的模；'—导纳角。关系：或G=|Y|cos'B=|Y|sin'|Y|GBj导纳三角形第四十三页，共九十七页，编辑于2023年，星期三Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠jwC>1/wL，B>0，j'>0，电路为容性，i领先u；wC<1/wL，B<0，j'<0，电路为感性，i落后u；wC=1/wL，B=0，j=0，电路为电阻性，i与u同相。画相量图：选电压为参考向量(wC<1/wL，<0)'RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象jLR+-第四十四页，共九十七页，编辑于2023年，星期三5.复阻抗和复导纳的等效互换一般情况G1/RB1/X。若Z为感性，X>0，则B<0，即仍为感性。ººZRjXººGjBY第四十五页，共九十七页，编辑于2023年，星期三同样，若由Y变为Z，则有：ººZRjXººGjBY第四十六页，共九十七页，编辑于2023年，星期三8.6基尔霍夫定律的相量形式和电路的相量模型1.基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。第四十七页，共九十七页，编辑于2023年，星期三2.电路的相量模型(phasormodel)时域列写微分方程相量形式代数方程LCRuSiLiCiR+-jwL1/jwCR+-时域电路相量模型相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。第四十八页，共九十七页，编辑于2023年，星期三3.相量图1.同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中2.反时针旋转角速度3.选定一个参考相量(设初相位为零。)例：上例中选ÙR为参考相量=用途：②利用比例尺定量计算①定性分析第四十九页，共九十七页，编辑于2023年，星期三小结：1.求正弦稳态解是求微分方程的特解，应用相量法将该问题转化为求解复数代数方程问题。2.引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，而直接列写相量形式的代数方程。3.引入阻抗以后，可将所有网络定理和方法都应用于交流，直流（f=0)是一个特例。第五十页，共九十七页，编辑于2023年，星期三8.7用相量法分析电路的正弦稳态响应电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。第五十一页，共九十七页，编辑于2023年，星期三例1：已知Z1=10+j6.28,Z2=20-j31.9,Z3=15+j15.7。Z1Z2Z3ab求Zab。第五十二页，共九十七页，编辑于2023年，星期三同直流电路相似：ZZ1Z2+++---Y+-Y1Y2阻抗串并联的计算第五十三页，共九十七页，编辑于2023年，星期三例2:已知:求:各支路电流。Z1Z2R2+_Li1i2i3R1CuR2+_R1解：画出电路的相量模型第五十四页，共九十七页，编辑于2023年，星期三Z1Z2R2+_R1第五十五页，共九十七页，编辑于2023年，星期三瞬时值表达式为：解毕！第五十六页，共九十七页，编辑于2023年，星期三列写电路的回路电流方程和节点电压方程例3.解：+_LR1R2R3R4C+_R1R2R3R4回路法:第五十七页，共九十七页，编辑于2023年，星期三+_R1R2R3R4节点法:第五十八页，共九十七页，编辑于2023年，星期三法一：电源变换解：例4.Z2Z1ZZ3Z2Z1Z3Z+-第五十九页，共九十七页，编辑于2023年，星期三法二：戴维南等效变换Z0Z+-例5.用叠加定理计算电流Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3求开路电压：求等效电阻：第六十页，共九十七页，编辑于2023年，星期三解：Z2Z1Z3Z2Z1Z3+-第六十一页，共九十七页，编辑于2023年，星期三已知平衡电桥Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jwL3。

求：Zx=Rx+jwLx。由平衡条件：Z1Z3=

Z2Zx得R1(R3+jwL3)=R2(Rx+jwLx)∴Rx=R1R3/R2,Lx=L3R1/R2例6.解：Z1Z2ZxZ3*|Z1|1

•|Z3|3

=|Z2|2

•|Zx|x

|Z1|

|Z3|

=|Z2|

|Zx|

1

+3

=2

+x

第六十二页，共九十七页，编辑于2023年，星期三已知：Z=10+j50W,Z1=400+j1000W。例7.解：ZZ1+_第六十三页，共九十七页，编辑于2023年，星期三已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,f=50Hz求：线圈的电阻R2和电感L2。画相量图进行定性分析。例8.解：R1R2L2+_+_+_q2q第六十四页，共九十七页，编辑于2023年，星期三用相量图分析例9.移相桥电路。当R2由0时，解：当R2=0，q=-180；当R2

，q=0。ººabR2R1R1+_+-+-+-第六十五页，共九十七页，编辑于2023年，星期三8.8正弦电流电路中的功率无源一端口网络吸收的功率(u,i关联)1.瞬时功率(instantaneouspower)无源+ui_第一种分解方法；第二种分解方法。第六十六页，共九十七页，编辑于2023年，星期三第一种分解方法：tOUIcos(1-cos2t)-UIsinsin2t第二种分解方法：p有时为正,有时为负；p>0,电路吸收功率：p<0，电路发出功率；UIcos(1-cos2t)为不可逆分量。UIsinsin2t为可逆分量。t

iOupUIcos-UIcos(2t)第六十七页，共九十七页，编辑于2023年，星期三瞬时功率实用意义不大，一般讨论所说的功率指一个周期平均值。2.平均功率(averagepower)P：=u-i：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。cos：功率因数。P的单位：W（瓦）第六十八页，共九十七页，编辑于2023年，星期三一般地,有0cosj1X>0,j>0,感性，滞后功率因数X<0,j<0,容性，超前功率因数例：cosj=0.5(滞后)，则j=60o(电压领先电流60o)。cosj1,纯电阻0，纯电抗平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与cosj有关，这是交流和直流的很大区别,主要由于电压、电流存在相位差。第六十九页，共九十七页，编辑于2023年，星期三4.视在功率(表观功率)S反映电气设备的容量。3.无功功率(reactivepower)Q表示交换功率的最大值，单位：var(乏)。Q>0，表示网络吸收无功功率；Q<0，表示网络发出无功功率。Q的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件L、C的性质决定的第七十页，共九十七页，编辑于2023年，星期三5.R、L、C元件的有功功率和无功功率uiR+-PR=UIcos=UIcos0=UI=I2R=U2/RQR=UIsin=UIsin0=0对电阻，u,i同相，故Q=0，即电阻只吸收(消耗)功率，不发出功率。iuL+-PL=UIcos=UIcos90=0QL=UIsin=UIsin90=UI对电感，u领先i90°,故PL=0，即电感不消耗功率。由于QL>0，故电感吸收无功功率。第七十一页，共九十七页，编辑于2023年，星期三iuC+-PC=UIcos=Uicos(-90)=0QC=UIsin=UIsin(-90)=-UI对电容，i领先u90°,故PC=0，即电容不消耗功率。由于QC<0，故电容发出无功功率。6.电感、电容的无功补偿作用LCRuuLuCi+-+-+-t

iOuLuCpLpC当L发出功率时，C刚好吸收功率，则与外电路交换功率为pL+pC。因此，L、C的无功具有互相补偿的作用。第七十二页，共九十七页，编辑于2023年，星期三7.交流电路功率的测量uiZ+-W**i1i2R电流线圈电压线圈单相功率表原理：电流线圈中通电流i1=i；电压线圈串一大电阻R(R>>L)后，加上电压u，则电压线圈中的电流近似为i2u/R2。第七十三页，共九十七页，编辑于2023年，星期三指针偏转角度(由M确定)与P成正比，由偏转角(校准后)即可测量平均功率P。使用功率表应注意：(1)同名端：在负载u,i关联方向下，电流i从电流线圈“*”号端流入，电压u正端接电压线圈“*”号端，此时P表示负载吸收的功率。(2)量程：P的量程=U的量程I的量程cos(表的)测量时，P、U、I均不能超量程。第七十四页，共九十七页，编辑于2023年，星期三已知：电动机PD=1000W，U=220V，f=50Hz，C=30F。求负载电路的功率因数。+_DC例.解：第七十五页，共九十七页，编辑于2023年，星期三例.三表法测线圈参数。已知f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=3W。解：RL+_ZVAW**第七十六页，共九十七页，编辑于2023年，星期三8.9复功率1.复功率负载+_第七十七页，共九十七页，编辑于2023年，星期三有功，无功，视在功率的关系：有功功率:P=UIcosj单位：W无功功率:P=UIsinj单位：var视在功率:S=UI

单位：VAjSPQjZRXjUURUXRX+_+_ºº+_功率三角形阻抗三角形电压三角形第七十八页，共九十七页，编辑于2023年，星期三

电压、电流的有功分量和无功分量：(以感性负载为例)RX+_+_+_GB+_第七十九页，共九十七页，编辑于2023年，星期三根据定义(发出无功)电抗元件吸收无功，在平均意义上不做功。反映了电源和负载之间交换能量的速率。无功的物理意义:第八十页，共九十七页，编辑于2023年，星期三复功率守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即此结论可用特勒根定理证明。第八十一页，共九十七页，编辑于2023年，星期三一般情况下：+_+_+_第八十二页，共九十七页，编辑于2023年，星期三已知如图，求各支路的复功率。例.+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解一：第八十三页，共九十七页，编辑于2023年，星期三+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解二：第八十四页，共九十七页，编辑于2023年，星期三2、功率因数提高设备容量S(额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。P=ScosjS75kVA负载cosj=1,P=S=75kWcosj=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用户：异步电机空载cosj

=0.2~0.3满载cosj=0.7~0.85日光灯cosj=0.45~0.6(1)设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；(2)当输出相同的有功功率时，线路上电流大I=P/(Ucosj

)，线路压降损耗大。功率因数低带来的问题：第八十五页，共九十七页，编辑于2023年，星期三解决办法：并联电容，提高功率因数(改进自身设备)。分析:j1j2LRC+_第八十六页，共九十七页，编辑于2023年，星期三补偿容量的确定：j1j2补偿容量不同全——不要求(电容设备投资增加,经济效果不明显)欠过——使功率因数又由高变低(性质不同)综合考虑，提高到适当值为宜(0.9左右)。第八十七页，共九十七页，编辑于2023年，星期三功率因数提高后，线路上电流减少，就可以带更多的负载，充分利用设备的能力。再从功率这个角度来看:并联C后，电源向负载输送的有功UILcosj1=UIcosj2不变，但是电源向负载输送的无功UIsinj2<UILsinj1减少了，减少的这部分无功就