高二数学重点知识串讲-(20)课件

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算【自我预习】1.空间向量(1)定义:在空间,具有_____和_____的量叫做空间向量.(2)长度或模:向量的_____.大小方向大小(3)表示方法:①几何表示法:空间向量用_________表示;②字母表示法:用字母a,b,c,…表示;若向量a的起点是A,终点是B,也可记作:____,其模记为___或_____.有向线段|a|2.几类常见的空间向量名称方向模记法零向量_________单位向量任意__相反向量_____相等a的相反向量:___

的相反向量:_____相等向量相同_____a=b任意001相反-a相等微提醒注意单位向量的方向.

3.向量的加法、减法空间向量的运算加法

=________=a+b

减法

=________=a-b加法运算律

交换律:a+b=____

结合律:(a+b)+c=________b+aa+(b+c)

微课堂·微思考【思考1】在空间中,所有单位向量平移到同一起点后,终点轨迹是什么?提示:球面.【思考2】空间中,a,b,c为不共面向量,则a+b+c的几何意义是什么?提示:以a,b,c为相邻棱的平行六面体的体对角线.【思考3】平面向量的加减运算和空间向量的加减运算有什么联系?提示:任意两个向量都可平移到同一平面,故空间向量的加减运算与平面向量的加减运算类似.【自我总结】1.理解空间向量概念时的两个关注点(1)两向量的关系:空间向量是具有大小与方向的量,两个向量之间只有相等与不等之分而无大小之分.(2)有向线段与向量:向量可用有向线段来表示,但是有向线段不是向量,它只是向量的一种表示方法.2.空间向量加法运算的三角形法则语言叙述首尾顺次相接,首指向尾为和图形叙述

3.空间向量加法运算的平行四边形法则语言叙述共起点为邻边作平行四边形,共点对角线为和图形叙述

4.空间向量减法运算的三角形法则语言叙述共起点,连终点,方向指向被减向量图形叙述

【自我检测】1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,顶点连接的向量中,与向量相等的向量共有 (

)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选C.与向量相等的向量有,,共3个.2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则在下列各结论中正确的结论共有 (

)①是一对相反向量;②是一对相反向量;③是一对相反向量;④是一对相反向量.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选C.利用图形及向量的运算可知②是相等向量,①③④是相反向量.3.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且

,则四边形ABCD是 (

)A.平行四边形 B.空间四边形C.等腰梯形 D.矩形【解析】选A.因为,所以

,所以AB∥DC且

.所以四边形ABCD为平行四边形.类型一空间向量的概念及其简单应用【典例】1.给出下列命题:①两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有

;④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中正确的个数为 (

)A.4 B.3 C.2 D.12.(2018·成都高二检测)在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,与向量相等的向量有________个(不含).

【思路导引】1.向量是自由的,没有固定的_____和_____.|a|=|b|,a与b的模_____,这两个向量未必_____.考虑单位向量的_____,故两个单位向量未必相等.起点终点相等相等方向2.与向量相等的向量则其_____、_____均与相同.大小方向【解析】1.选C.当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等,不一定起点相同、终点相同,故命题①错误;命题②错误;命题③④显然正确;对于命题⑤,空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错.2.由平行六面体ABCD-A1B1C1D1知向量与向量方向相同,长度相等,故与向量相等的向量有3个.答案:3【方法技巧】解答空间向量有关概念问题的关键点和注意点(1)空间向量的两个要素:大小和方向.两向量相等的充要条件:大小相等,方向相同.(2)两个特殊向量:①零向量:长度为0的向量,方向任意.②单位向量:长度为1的向量,方向不确定.【变式训练】1.下列命题中假命题的个数为 (

)①向量与的长度相等;②空间向量就是空间中的一条有向线段;③不相等的两个空间向量的模必不相等.A.1 B.2 C.3 D.0【解析】选B.向量与互为相反向量,故模相等,①正确;有向线段可表示向量,但向量不是有向线段,向量的起点和终点不确定,②错误;相等向量大小相等,方向相同,不相等的两个向量可能模相等,方向不同,③错误.2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=1,以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中,(1)写出模为的所有向量.(2)写出与相等的所有向量.(3)写出的相反向量.(4)单位向量共有多少个?【解析】(1)显然A1D=AD1=B1C=BC1=,所以模为的向量为

(2)与向量相等的所有向量为

(3)与向量相反的所有向量为

(4)由于AA1=1,所以这8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.类型二空间向量的加法、减法运算【典例】1.已知空间向量则下列结论正确的是 (

)A.B.C.D.2.(2017·台州高二检测)已知空间四边形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F,则=_____.

3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,画出下列向量的有向线段.(1)(2)【思路导引】1.利用向量运算的_________得结果.2.利用向量加减运算的_______法则得结果.3.利用向量加减法的_________得结果.运算法则三角形几何意义【解析】1.选B.2.取BC中点M(如图所示),连接EM,FM,因为E,F是中点,所以EM

AB,MF

CD,所以

从而

答案:3a+3b-5c3.如图,(1)(2)图中为所求.【方法技巧】空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量:向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键,灵活运用相反向量可使用向量首尾相接.(2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.【变式训练】已知正方形ABCD的边长为1,设=a,=b,=c,则|a+b+c|等于 (

)A.0 B.3 C.2+ D.2

【解析】选D.利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解,|a+b+c|=2||=2.【核心素养培优区】易错误区案例向量加减运算【典例】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,化简【错解案例】

错误原因防范措施对三角形减法法则理解、记忆错误,进而对差向量的结果推断错误熟知向量加减运算法则的代数运算和几何运算形式.【正解】【即时应用】如图