大一下相关课程课件高数下册第六章

第三节向量的乘积向量的数量积向量的向量积向量的混合积F

作用下沿直1线从点M

移动到点M

2

，以s

表示位移，则力F

所作的功为(其中q

为F

与s

的夹角)W

=|

F

||

s

|

cosq启示实例一物体在常力向量a

与b

的数量积为a

b

a b

=|

a

||

b

|

cosq(其中q

为a

与b

的夹角)两向量作这样的运算,结果是一个数量.1、数量积的概念定义一、两向量的数量积数量积也称为“点积”、“内积”.ab

q

a b

=|

a

||

b

|

cosqa=

(b

)

,

|

b

|

cosqb

=

(a)

,|

a

|

cosqb\

a b

=|

b

|

(a).a=|

a

|

(b

)关于数量积的说明：aba

ba

b|

a

||

b

|(a

)

=

=

，

(b

)a b

=

0

a

^

b2a a

=|

a

|

|

a b

|£|

a

||

b

|

数量积符合下列运算规律：（1）交换律：

a b

=

b

a;

（2）分配律：(a

+

b

)

c

=

a c

+

b

c;（3）若l

为数：(l)

ba(a b

),=

a

(lb

)

=

l

la) (mb

)

=

lm

(a b

).若 、

为数：(la

=

axi

+

ay

j

+

azk

,b

=

bxi

+

by

j

+

bzk设

a b

=

(axi

+

ay

j

+

azk

)

i

^j^k

,

(bxi

+

by

j

+

bzk

)\

i j

=

j k

=

k

i

=

0,

|

i

|=|

j

|=|

k

|=

1,\

i

i

=

j j

=

k k

=

1.a b

=

axbx

+

ayby

+

azbz2、数量积的坐标表达式

a b

=|

a

||

b

|

cosq|

a

||

b

|

cosq

=a

b

,2222

2cosq

=y

z

x

y

zxaxbx

+

ayby

+

azbz+

a

b

+

b

+

ba

2

+

a两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为

axbx

+

ayby

+

azbz

=

0a^b例1：已知a

={1,1,-4}，b

={1,-2,2}，求（1）

b

；（2）a

与b

的夹角；a（3）a

在b

上的投影.解(1)

a b

=

1

1

+

1 (-2)

+

(-4) 2

=

-9.x1

x2

+

y1

y2

+

z1

z2x

2

+

y

2

+

z

2

x

2

+

y

2

+

z

21

1

1

2

2

2(2) cos(a,

b

)

=

2=

-

1

,b(3)

a b

=|

b

|

(a

)

=

-3.b|

b

|\

(a

)

a

b=

4\

q

=

3p.例

2

证明向量与向量(

)bc

a

c-(b

c

)a

垂直.证a

c

)b

-

(b

c

)a]

c[(

=

[(a c

)b c

-

(b c

)a c

](c b

)[a c

-

a c

]=

=

0

\

[(a

c

)b

-

(b

c

)a]^c练习例3:在顶点为A(1,-1,2)、B(5,-6,2)和C(1,3,-1)的三角形中，求AC

边上的高BD.(a,

b

)

=3p

例4:设c

=2a

+3b

,d

=a

-b

,其中|

a

|=1,|

b

|=2,,求cos(c

,d

)=

5例3:在顶点为A(1,-1,2)、B(5,-6,2)和C(1,3,-1)的三角形中，求AC

边上的高BD.解1:

AB

=

{4,-5,0}

AC

=

{0,4,-3}

|AB|

=

41，

|AC|

=

5

AC

ABAC

AB=0

-

20+0=

-

20

cosq

=

|

AC

||

AB

|441=

-|

BD

|=|

AB

|

sinq5sinq

=41AB

AC

cosq

=

|

AB

|

|

AC

|q

=

(

AB,

AC

)fiBD

=|

AB

|

sin

q

p

例4:设c

=2a

+3b

,d

=a

-b

,其中|

a

|=1,|

b

|=2,c

d|

c

||

d

|(a,b

)=

,求cos(c

,d

)3

解:

cos(c

,

d

)

=

a b

=|

a

||

b

|

cos(a,

b)

=

1

c d

=

(2a

+

3b) (a

-

b)=

2

|

a

|2

-2a

b

+

3b

a

-

3

|

b

|2

|

c

|2

=

c c

=

(2a

+

3b) (2a

+

3b)

=

4

|

a

|2

+12a

b

+

9

|

b

|2

=

52

|

d

|2

=

d

d

=

(a

-

b) (a

-

b)

=|

a

|2

-2a

b+

|

b

|2

=

3

33926=

-=

2

|

a

|2

+a

b

-

3

|

b

|2

=

9设O

为一根杠杆L的支点，有一力F

作用于这杠杆上P

点处．力F

与OP

的夹角为q

，力F

|

M

|=|

OQ

||

F

|=|

OP

||

F

|

sinqM

的方向垂直于OP

与F

所决定的平面,

指向符合右手系.实例二、两向量的向量积对支点O

的力矩是一向量M

，它的模LPQOFq1、向量积的定义

向量a

与b

的向量积为c

=a

·

b

|

c

|=|

a

||

b

|

sinq(其中q

为a

与b

的夹角)定义

c

的方向既垂直于a

，又垂直于b

，指向符合右手系.向量积也称为“叉积”、“外积”.b

c

=

a

·

bac

=

b

·

aba向量积符合下列运算规律：反交换率分配律：

a

·b

=

-b

·a.（3）若l为数：(l)·b

=

·(lb

)=l(

·b

).a

a

a关于向量积的说明：(1)

·

=

.a

a

0(q

=

0

sinq

=

0)(2)

a

//b

a

·b

=

0.

(

a

„

0,

b

„

0)

(

a

+

b

)·c=

a

·c

+

b

·c

.

c

·(a

+

b

)

=

c

·

a

+

c

·b.向量积的模的几何意义:

|

a

·b

|表示以a

和b

为邻边的平行四边形的面积.ab

c

=

a

·

b|

a

·

b

|=|

a

||

b

|

sin(a,

b

)

补充行列式的计算11

2212

212122a11

a12=

a

a

-

a

aa

a212223a11

a12

a13aa

aa31

a32

a3312+

(-1)1+2

a13+

(-1)1+3

a3211

a=

(-1)1+1

a33a233133a21

a233132a21

a22aa

aa

aa11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33a22=

a11a22a33

+

a21a32a13

+

a12a23a31-

a13a22a31

-

a12a21a33

-

a11a23a32a

=

x1i

+

y1

j

+

z1k

,

b

=

x2i

+

y2

j

+

z2

k

设i

·

j

=

k

,

j

j

k

k

0,

i

·

i

=

·

=

·

=k

·

i

=

j

,j

·

k

=

i

,j

·

i

=

-k

,

i

·

k

=

-

j

.k

·

j

=

-i

,a

·b

=

(

y1

z2

-

z1

y2

)i

+(z1

x2

-

x1

z2

)

j

+(

x1

y2

-

y1

x2

)k

2.

向量积的坐标表达式

a

·b

=

(

x1i

+

y1

j

+

z1k

)

·(

x2

i

+

y2

j

+

z2k

)

=

x1

x2

(i

·

i

)

+

x1

y2

(i

·

j

)

+

x1

z2

(i

·

k

)

+z1

x2

(k

·

i

)

+

z1

y2

(k

·

j

)

+

z1

z2

(k

·

k

)+

y1

x2

(

j

·

i)

+

y1

y2

(

j

·

j

)

+

y1

z2

(

j

·

k

)

ijka

=

x1i

+

y1

j

+

z1k

,

b

=

x2

i

+

y2

j

+

z2

k设111111y2

z2x2

z2x2

y2y

zx

zx

yi

-j

+k=111x2

y2

z2

i

j

k=

x

y

zi

j

ka

·b

=

x1

y1

z1x2

y2

z2

a

·b

=

(

y1

z2

-

z1

y2

)i

+(z1

x2

-

x1

z2

)

j

+(

x1

y2

-

y1

x2

)k

例

1

求与a

=

3i

-

2

j

+

4k

，b

=

i

+

j

-

2k

都垂直的单位向量.解

i

j

k=

3

-

2

41

1

-

2

=

10

j

+

5k

,

i

j

kc

=

a

·b

=

ax

ay

azbx

by

bz5,2

210

+

5

=

5|

c

|=

|

c

|0c\

c

=

–55

2

1

=

–

j

+

k

.

1|

AB

·

AC

|2=

例2:已知三点A(1,2,3),B(3

,4,5),C(2,4,7),求三角形ABC的面积|

AB

||

AC

|

sinq2=

1

SD

ABCBCqA=

12ijk222124

2=

1

{

4，-6，2

}42

+

(-6)2

+

22

=

14=

12AB

=

(2,

2,

2),解:AC

=

(1,

2,

4),例

3

在顶点为A(1,-1,2)、B(5,-6,2)和C

(1,3,-1)的三角形中，求AC

边上的高BD.BA

C解DAC

=

{0,4,-3}AB

=

{4,-5,0}三角形ABC的面积为S

=

1

|

AC

·

AB

|=

12152

+

122

+

162=

25

,2

2|

AC

|

=

42

+

(-3)2

=

5,2S

=

1|

AC

|

|

BD

|25

12

=

2

5

|

BD

|\

|

BD

|=

5.练习、ab向量混合积的几何意义：a

·b

依a，b，c为棱作平行六面体，如图(a

b,

c

)底面积A

=|

a

·

b

|设q

=

·高h

=|

c

|

cosq

六面体体积V

=|

a

·

b

||

c

|

cosq

=

(a

·

b

)

c

=

(a,

b,

c

)

三、向量的混合积

定义

已知三向量a,

b

,

c

,

称数量(a

·

b

)

c为三向量的

混合积，记作(a,

b

,

c

,

)

(a,

b

,

c

,

)

=

(a

·

b

)

c混合积的坐标表示:a

=

x1i

+

y1

j

+

z1k

,

b

=

x2i

+

y2

j

+

z2k

,

设c

=

x3i

+

y3

j

+

z3

k

,

111222

i

j

ka

·

b

=

x

y

zx

y

z111111222222y

zx

zx

yi

-j

+ky

zx

zx

y=(a

·

b

)

c

=

111111333222222y

zx

zx

yx

-y

+y

zx

zx

y111x3

y3

z3z

=

x

y

z222x

y

z111x

y

zy2

z2y3

z3(a,

b

,

c

)

=

(a

·

b

)

c

=

x2x3

混合积的性质：x1

y1

z1x2

y2

z2

=

0x3

y3

z3(a,

b

,

c

)

=

0

(1)三向量a,b

,c共面

(2)轮换对称性(

a,

b,

c

)

=

(b,

c

,

a,

)=(c

,

a,

b

)abc(b

,

a,

c

)

=

-(c

,

b,

a,

)=

-(a,

c

,

b

)

=

-

已知(a,b,c

)=2

，

计算[(a

+

b

)·(b

+

c

)]

(c

+

a

).解[(

+

b

)·(b

+

)]

(

+

)a

c

c

a=

[

·b

+

·

+

b

·b

+

b

·

)]

(

+

)a

a

c

c

c

ac

c

c=

(

·b

)

+

(

·

)

+

0

+

(b

·

)

a

c

a

c

c

+

(a

·b

)

a

+

(a

·c

)=

0

=

0=

0a

a

+

0

a

+

(b

·c

)=

(a

·b

)

c

=

0

=

2(a

·b

)

c

=

2(a,

b,

c

)

=

4.例1例

2

已知空间内不在一平面上的四点A(x1

,y1

,z1

)、B(x2

,y2

,z2

)、C(x3

,y3

,z3

)、D(x4

,y4

,z4

),

求四面体的体积.解由立体几何知，四面体的体积等于以向量AB

、AC

、AD为棱的平行六面体的体积的六分之一.6V

=

1

(AB,

AC,

AD)

AB

=

{

x2

-

x1

,

y2

-

y1

,

z2

-

z1

}AC

=

{

x3

-

x1

,

y3

-

y1

,z3

-

z1

}x4

-

x1

y4

-

y13

1

3

16z3

-

z1z4

-

z1AD

=

{

x4

-

x1

,

y4

-

y1

,z4

-

z1

}x2

-

x1

y2

-

y1

z2

-

z1\

V

=

–

1

x

-

x

y

-

y式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.练习练习1:例证明四点A(1,1,1),B(4,5,6),C(2,3,3),D(10,15,17)共面练习2：:

l为何值时，四点A(0,

-1,

-1),

B(3,

0,

4),C(-2,-2,2)和D(4,1,l)在一个平面上证明四点A(1,1,1),B(4,5,6),C(2,3,3),D(10,15,17)共面解:AB

={3,4,5}ABC故

A

,

B

,

C

,

D

四点共面练习1:AC

=

{1,

2,

2}AD

=

{9,

14,16}3

4

5(

AB,

AC

,

AD)

=

1

29

14

16

2

=

0C(-2,-2,2)和D(4,1,l)在一个平面上例解:AC

=

{-2,

-

1,

3}AB

=

{3,

1,

5}AD

=

{4,

2,

l

+

1}3

1

5(

AB,

AC

,

AD)

=

-2

-1

34

2

l

+

1

=

-3(l

+

1)

-20

+12

+20

+2(l

+

1)

-12

=

-(l

+

1)

l

=-1时，(AB,AC

,AD)=0，点A,B,C

,D共面练习2：:

l为何值时，四点A(0,

-1,

-1),

B(3,

0,

4),向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）向量的混合积（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）四、小结作业P16:

1, 3,4,

6,

8,

9,

12,

14,

15思考题已知向量a

„0，b

„0，2

22(a b

)

|

a

| |

b

|

-证明|

a

·

b

|

=2

.思考题解答2

22

2

|

a

·b

|

=|

a

|2

22|

b

|

sin

(a,

b

)|

a

|

|

b

|

[1

-

cos

(a,

b

)]=

2=|

a

|

|

b

|22

2|

a

|

|

b

|

cos

(a,

b

)2

-22=|

a

|

|

b

|2-

(a b

)

.一、

填空题：1、已知a

=3，b

=26，a

·

b=72,则a b

=

；2、已知（a

,b

）=32p，且a

=1，b

=2，则2(a

·

b

)

=；3、a

·b

的几何意义是以a

,

b

为其邻边的

；

4、三

向量

a,

b

,

c

的混合积[abc

]

的几何意义是

；5、两向量的的内积为零的充分必要条件是至少其中有一个向量为

，或它们互相

；6、两向量的外积为零的充分必要条件是至少其中有一个向量为

，或它们互相

；练习题7、设a

=3i

-

j

-

2k

，b

=

i

+

2

j

-

k,=

，则a

ba

·

b=

,