最优捕鱼策略

最优捕鱼策略第一页，共三十八页，编辑于2023年，星期三

种群生态学模型

用数学模型去定量或定性地描述人口、生物种群等一些不易量化的复杂现象的变化规律,并将较抽象的数学概念与一些生态意义结合起来。第二页，共三十八页，编辑于2023年，星期三一人口数量的变化规律

1.Malthus模型模型假设记x(t)为t时刻该国家或地区的人口总数,1)忽略迁移对人口变化的影响,2)假设人口变化与出生率与死亡率有关，且每一个社会成员的死亡与生育水平相同,人口的出生率与死亡率之差与人口总数成正比,B-D=rx,

这个比例常数r称为自然增长率,第三页，共三十八页，编辑于2023年，星期三结论当r>0时,人口将以指数规律增长。当r<0时,人口将以指数规律减少。当r=0时,人口将将保持常数。模型建立与求解考虑t时刻到t+Δt时刻人口的变化Malthus模型

x(t+Δt)-x(t)=(B-D)Δt=rx(t)Δt得其解为：第四页，共三十八页，编辑于2023年，星期三2Logistic模型当人口的数量特别大时，每个社会成员之间为生存的食物、空间和自然资源的竞争就不能忽略。必须在模型中增加一个竞争项，从统计学的观点来看，社会成员在单位时间内相遇的概率与x^2成比例，故选取竞争项为x^2。于是，Malthus模型修改为Logistic模型其中r称为内禀增长率，k为环境容纳量。第五页，共三十八页，编辑于2023年，星期三Logistic模型的解为：结论

人口总数趋于其环境容纳量。2.当x(t)>k时,人口的数量将减少;

当x(t)<k时,人口的数量将增加。第六页，共三十八页，编辑于2023年，星期三

3Leslie模型(具年龄结构的模型)前述模型的不足(1)仅有人口总数，不能满足需要；(2)没有考虑到社会成员之间的个体差异,即不同年龄、不同体质的人在死亡、生育方面存在的差异。1)模型假设同一年龄的人有相同的死亡机会和生育能力。这样建立的模型不但使我们能够更细致的预测人口总数,而且能够预测老年人口、学龄人口等不同年龄组的人口信息。2)模型建立设xk(t)为第t年年龄为k的人口数量,k=0,1,2,...,100,(忽略百岁以上的人口)。记

bk

是k岁人口的年生育率；

pk=1-dk

是k岁人口的年存活率，

dk为k岁人口的年死亡率。第七页，共三十八页，编辑于2023年，星期三根据人口发展变化的特点：时间和年龄同步增长得模型如下：根据人的生理特征和人口学中的习惯,育龄区间一般取为15岁至49岁,即当k<15或k>49时,bk=0。此模型称为Leslie模型利用此模型递推计算，就可以得到每年各年龄组的人口数。第八页，共三十八页，编辑于2023年，星期三模型的分析模型的矩阵形式其中利用Leslie矩阵模型递推得第九页，共三十八页，编辑于2023年，星期三解的渐近性态L是一个非负矩阵，它有主特征值0和特征向量v0。设L的特征值和特征向量为：0,v0;1,v1;…100,v100;如果所有的特征值是单根时,将x0表示为:x0=c0v0+c1v1+…+c100v100;则

x(t)=Ltx0=c0t0v0+c1

t1v1+…+c100

t100v100=t0(c0v0+c1

t1/

t0v1+…+c100

t100

/

t0v100)由上式得我们希望(c)发生，这可以通过适当的计划生育政策来实现。第十页，共三十八页，编辑于2023年，星期三预测与控制1三种模型预测比较(见书p210）2控制调节生育率bi

考虑Leslie模型，设bi(i=0,1,…100)是1982年的生育率。给他们乘以一个常数r,使得Leslie矩阵的主特征值为1。求得第十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期三二多种群模型研究在同一环境中两种或两种以上的生物种群数量的变化规律.1两种群模型用x(t),y(t)分别表示两种群在t时刻的数量或密度,

考察x(t),y(t)各自的相对增长率,两种群模型常用的形式是第十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期三伏特拉模型假设函数f1(x),f(x),g1(ｙ),g2(ｙ)都是线性的.互惠共存型:

每一种群的存在,都对对方有利,对对方的数量增长起促进作用,这时c１≥０，b2≥０．(2)

捕食与被捕食型:

种群y以种群x为食物来源(或相反),这时种群x的存在对种群y的增长有利,而种群y的存在对种群x不利.因而c1≤0,b2≥0．(3)相互竞争型:

两种群或者互相残杀,或者竞争同一食物资源,各自的存在对对方的增长都是不利的,因而ｃ1≤０，ｂ2≤０．第十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期三定性分析相互竞争型:记根据x,y的不同位置，可以得到两种群变化趋势。第十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期三2三种群模型例1

一个捕食者，两个食饵:

种群z是捕食者，不受密度制约；

x，y为食饵，受密度制约，且相互竞争。第十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期三例2

捕食链种群z是y的捕食者，种群y是x的捕食者.

均受密度制约。第十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期三三地中海鲨鱼问题意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra，希望建立一个食饵—捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题.第十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期三记x(t)——食饵在t时刻的数量；y(t)——捕食者在t时刻的数量；a——食饵独立生存时的增长率；b——食饵对捕食者的供养能力;c——捕食者独自存在时的死亡率；d——捕食者掠取食饵的能力；h——捕获强度系数2．基本假设：

1)

食饵由于捕食者的存在使增长率降低，假设降低的程度与捕食者数量成正比；

2)捕食者由于食饵为它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增长，假定增长的程度与食饵数量成正比。第十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期三

该模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型.3．模型建立与求解

（一）不考虑人工捕获第十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期三

得首次积分求解方程有两个平衡点两方程相除得根据微分方程的理论,是闭曲线.第二十页，共三十八页，编辑于2023年，星期三故x(t)与y(t)都是周期函数.该闭曲线就给出了生态学解释.第二十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期三所以同样得求平均值由方程解得第二十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期三（二）考虑人工捕获设捕获强度系数为h相当于食饵的自然增长率由a

降为a-h，捕食者的死亡率由c

增为c+h.此时,同样得所以捕获强度h减小,将使食饵的平均值减少,捕食者的平均值增加第二十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期三数值求解a=1,b=0.1,c=0.5,d=0.02x(0)=25,y(0)=2无人工捕获时,对方程组求解得解曲线与相曲线为

x为实线，y为“*”线.

第二十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期三考虑人工捕获设战前捕获强度系数为h=0.3,战争中降为h=0.1a=1,b=0.1,c=0.5,d=0.02x(0)=25,y(0)=2对方程组求数值解得解曲线为

实线为战前的鲨鱼比例，“*”线为战争中的鲨鱼比例第二十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期三最优捕鱼策略

为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度.一种合理、简化的策略是,在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最佳效益.考虑对某种鱼的最优捕捞策略.

假设这种鱼分4个年龄组,称1龄鱼,…,4龄鱼.各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07克,11.55克,17.86克,22.99克,各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8/年,这种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105个,3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2龄鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率(1龄鱼条数与产卵总量n之比)为1.22×１011／(１.2２×1011＋n).

渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力(如渔船数、下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13ｍｍ网眼的拉网,第二十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期三这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数之比042:1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.(1)建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量).(2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏.已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为:122×109条,29.7×109条,10.1×109条,3.29×109条,如果仍用固定努力量的捕捞方式,该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高.第二十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期三这是一个典型的可再生资源开发的问题参考解答模型假设(1)鱼分为1、2、3、4龄鱼,4龄鱼存活一年后仍划为4龄鱼.(2)各年龄组鱼的自然死亡率为0.8／年,且死亡是一连续过程,

不是在某一时刻突发.(3)3、4龄鱼在一年的最后4个月集中产卵,且在该4个月的开始时刻进行;3龄鱼产卵量为0.5×1.109×105个／条,4龄鱼产卵量为1.109×105个／条;卵孵化成活为1龄鱼,成活率为

1.22×１011／(１.2２×1011＋n).(4)捕捞在产卵孵化前8个月进行,且捕捞是一连续过程,不是在某一时刻发生;捕捞强度系数固定,只能捕捞3、4龄鱼,它们的捕捞强度系数之比为0.42∶1(5)经济效益以捕捞总量来衡量.第二十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期三2.模型的建立及求解引入记号

T---年份(0,1,2,…).t---时间.

ｔ---间隔时间.Ni---ｉ龄鱼的数量.r---自然死亡率(0.8／年).n---年产卵数量.E3---3龄鱼捕捞强度系数.E4---4龄鱼捕捞强度系数.3---3龄鱼每年产卵量.4---4龄鱼每年产卵量.第二十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期三(1).模型的建立考察1、2龄鱼的生长过程,则有其解为为每年年初的ｉ龄鱼总数。T年初的ｉ龄鱼在T＋1年初变为ｉ＋１龄鱼,所以有第三十页，共三十八页，编辑于2023年，星期三考察3、4龄鱼的生长过程,在前8个月,由于捕捞与死亡均影响鱼的变化,因而模型为其解为为每年年初的ｉ龄鱼总数。故第8个月末时的i(i=3，4)龄鱼总数为在后4个月,只有死亡率起作用,因而模型为第三十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期三其解为为第8个月末时的i龄鱼总数.故第T年末(T+1年初)i龄鱼总数为第T+1年初的1龄鱼由3、4龄鱼产卵而来,产卵总数为故第T+1年初的1龄鱼总数为第三十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期三总结以上结果,得出整个生存过程中满足的关系为其中（1）第三十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期三(2).模型的求解在可持续捕捞情况下,Ni(T)趋于平衡,因而Ni(T)与T无关,可得以下方程组:（2）第三十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期三求解得其中（3）（4）第三十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期三方程（4）的解为:由方程组（1）求得所以当k