无限脉冲响应滤波器

无限脉冲响应滤波器第一页，共三十七页，编辑于2023年，星期三infiniteimpulseresponsefilter(IIR)无限脉冲响应滤波器bilineartransformation双线性变换prewarpingequation预扭曲方程Butterworthfilter巴特沃斯滤波器ChebyshevTypeIfilter切比雪夫I型滤波器ChebyshevTypeIIfilter切比雪夫II型滤波器ellipticfilter椭圆滤波器Impulseinvariancemethod脉冲响应不变法第二页，共三十七页，编辑于2023年，星期三10.1无限脉冲响应滤波器基础滤波器新的输出，和过去的输出及过去的输入和现在输入有关。差分方程∑aky[n-k]=∑bkx[n-k]

Nk=0

Mk=0若a0=1，则y[n]=-a1y[n-1]-…-aNy[n-N]+b0x[n]+b1[n-1]+…+bMx[n-M]传输函数H(z)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bMz-M1+a1z-1+a2z-2+…+aNz-N第三页，共三十七页，编辑于2023年，星期三

这种递归滤波器的极点由分母多项式确定，这就可能使滤波器不稳定，同时递归滤波器很难实现线性相位，也就是递归滤波器使相位失真，但实现某种性能要求时比非递归滤波器所需要的系数少。设计递归滤波器的方法是选择具有待求特性的原型模拟滤波器，然后将其转换为数字滤波器。返回第四页，共三十七页，编辑于2023年，星期三10.2低通模拟滤波器在连续域中，滤波器用S而不用Z来描述。简单低通模拟滤波器的传输函数为H(s)=

1s+1频率响应为H(ω)=s用jω代替

1jω+1幅度|H(ω)|=

1

√ω2+1ω↑↑|H(ω)|→0ω↓↓|H(ω)|→1具有低通特性Ω=1弧度/秒|H(ω)|=20log()=-3dB1√21√2第五页，共三十七页，编辑于2023年，星期三即f=ω/2π=1/2πHz为它的带宽为使滤波器更通用，传输函数变为H(s)=

ωp1s+ωp1H(ω)==

ωp1jω+ωp1

11+jω/ωp1其幅度|H(ω)|=

1

√(ω/ωp1)2+1Ω=ωp1时，出现–3dB图10.3第六页，共三十七页，编辑于2023年，星期三通常模拟滤波器类型包括：巴特沃斯、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和椭圆滤波器等。图10.4返回第七页，共三十七页，编辑于2023年，星期三10.3双线性变换它为模拟滤波器和数字滤波器之间的转换提供了一种方法。s2fs

z–1z+1z用ejΩ

代替可得到离散时间傅立叶变换2fs=2fs=2fs

ejΩ–1ejΩ+1

ejΩ/2(ejΩ/2-e-jΩ/2)ejΩ/2(ejΩ/2+e-jΩ/2)

ejΩ/2–e-jΩ/2ejΩ/2+e-jΩ/2sinθ=和cosθ=

ejθ–e-jθ

2j

ejθ+e-jθ

2将s变为jω则有ω2fstan(Ω/2)预扭曲方程数字频率Ω范围0~π弧度模拟频率ω范围0~∞弧度/秒第八页，共三十七页，编辑于2023年，星期三逆双线性变换Ω2tan-1(ω/2fs)图10.5给出了数字频率Ω和模拟频率ω之间的关系。第九页，共三十七页，编辑于2023年，星期三双线性变换建立了数学域和模拟域之间的另一种联系：数字滤波器的稳定区域是Z平面单位圆内，模拟滤波器的稳定区域在S复平面的左半部图10.6第十页，共三十七页，编辑于2023年，星期三例1：一阶模拟低通滤波器的传输函数H(s)=wp1/(s+wp1)。滤波器的-3dB频率是2000弧度/秒。求出与此模拟滤波器相对应的数字滤波器的传输函数H(z),采样频率为1500Hz.第十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期三预扭曲的数字滤波器幅度响应如图10.10所示，可看出预扭曲的滤波器的截止频率非常接近所要求的值318.3Hz。图10.10返回第十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期三10.4巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器是IIR无限脉冲响应滤波器中最简单的。它的传输函数H(s)=ωp1S+ωp1|H(ω)|=

1

√(ω/ωp1)2+1一阶模拟巴特沃斯滤波器n阶模拟巴特沃斯滤波器具有负责的传输函数H(s)，其滤波器形状|H(ω)|=，与一阶相似。

1

√(ω/ωp1)2n+1第十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期三阶数越高，滚降越陡，图10.12显示n=1,2,3,4时模拟巴特沃斯滤波器形状。图10.12第十四页，共三十七页，编辑于2023年，星期三描述数字IIR滤波器的术语：(由图10.13(a)、(b)看)图10.13第十五页，共三十七页，编辑于2023年，星期三

δp通带波纹：通带内最大和最小增益之差

δp取–3dB(巴特沃斯滤波器)1–δp:通带边缘增益（对应的频率fp1）(或20log(1–δp)dB)

δs：阻带波纹，对应的阻带边缘增益，对应频率fs1阻带边缘频率。阻带边缘的增益为20logδsdB第十六页，共三十七页，编辑于2023年，星期三设计时阻带边缘频率和阻带衰减（-20logδs）或阻带增益（20logδs）要给出。图10.14说明非线性相位响应，表明滤波后的信号在某种程度上有相位失真。对于n阶巴特沃斯滤波器，满足通带和阻带设计要求所需的阶数nn≥log(-1)2log()1δs2ωs1

ωp1ωs1

:模拟滤波器预扭曲阻带边缘频率。ωp1:模拟滤波器预扭曲通带边缘频率。第十七页，共三十七页，编辑于2023年，星期三设计低通巴特沃斯滤波器步骤：1)确定待求通带边缘频率fp1Hz、待求阻带边缘频率fs1Hz和待求阻带衰减-20logδsdB(或待求阻带增益20logδsdB)。通带边缘频率必须对应–3dB增益。4)由已给定的阻带衰减-20logδs(或增益-20logδs)确定阻带边缘增益δs。3)计算预扭曲模拟频率以避免双线性变化带来的失真。由ω=2fstan(Ω/2)求得ωp1和ωs1，单位是弧度/秒。2)用式Ω=2πf/fs把由Hz表示的待求边缘频率转成由弧度表示的数字频率，得到Ωp1

和Ωs1。第十八页，共三十七页，编辑于2023年，星期三5)用下式计算所需滤波器的阶数：n≥log(-1)2log()1δs2ωs1

ωp1n取整数把ωp1代入n阶模拟巴特沃斯滤波器传输函数H(s)中，并对H(s)进行双线性变换得到n阶数字传输函数H(z)。滤波器实现所需的差分方程可直接从传输函数H(s)求出。把ω=2fstan(Ω/2)代入：|H(ω)|=

1

√(ω/ωp1)2+1即可得滤波器形状|H(Ω)|第十九页，共三十七页，编辑于2023年，星期三例10.6设计具有巴特沃斯特性的低通IIR滤波器，-3dB频率为1200Hz。在1500Hz处增益降到–25dB。采样速率为8000Hz。选择合适的滤波器阶数并画出滤波器形状。解：1)fp1=1200Hz，fs1=1500HZ-20logδs=25，fs=8000Hz2)Ωp1=2πfp1/fs=0.3

π弧度

Ωs1=2πfs1/fs=0.375π弧度3)ωp1=2fstan(Ωp1/2)=8152.4弧度/秒

ωp1=2fstan(Ωs1/2)=10690.9弧度/秒第二十页，共三十七页，编辑于2023年，星期三4)20logδs=-25δs=10-25/20=0.05625)=10.6取n=11n≥log(-1)2log()1δs2ωs1

ωp16)模拟滤波器形状

1

√(ω/ωp1)2n+1|H(ω)|==

1

√(ω/8152.4)22+1|H(Ω)|=

1

√(16000tan(Ω/2)/8152.4)22+1返回第二十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期三10.5切比雪夫Ⅰ型滤波器设计切比雪夫滤波器传输函数非常复杂，但滤波器形状表达式非常简单，n阶切比雪夫Ⅰ型滤波器的形状定义为|H(ω)|=

1

√1+ε2Cn2(ω/ωp1)Cn(x)=cos(ncos-1(x))对于|x|≤1cosh(ncosh-1(x))对于|x|>1参数ε取决与通带波纹第二十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期三滤波器阶数大于1，切比雪夫滤波器具有比巴特沃夫滤波器更陡峭的滚降特性。图10.17第二十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期三切比雪夫滤波器的参数示于图10.18图10.18第二十四页，共三十七页，编辑于2023年，星期三切比雪夫滤波器的阶数可由n≥cosh-1(δ/ε)

cosh-1(ωs1/ωp1)δ=√(1/δs2)–1第二十五页，共三十七页，编辑于2023年，星期三低通切比雪夫Ⅰ型滤波器的设计步骤：ε=√(1/(1–δp)2)–14）由指定的通带边缘增益20log(1-δp)，确定通带边缘增益1-δp。由下式计算参数ε：3）对数字频率采用预扭曲以避免双线性变换引起的误差。由ω=2fstan(Ω/2)得到ωp1和ωs1，单位是弧度/秒。2）用公式Ω=2πf/fs将待求的边缘频率转换为数字频率（用弧度表示），得到Ωp1

和Ωs1

。1）确定待求的通带与阻带边缘频率fp1和fs1、待求的通带边缘增益20log(1-δp)和待求的阻带衰减-20logδs（或待求的阻带增益20logδs）。第二十六页，共三十七页，编辑于2023年，星期三5）由指定的衰减-20logδs（或增益20logδs），确定阻带边缘增益δs。计算式如下：δ=√(1/δs2)–16）用下式计算所需的阶数：n≥，n取整数cosh-1(δ/ε)

cosh-1(ωs1/ωp1)7）将ωp1和δp代入n阶模拟切比雪夫Ⅰ型滤波器的传输函数H(s)，并对其进行双线性变换，得到n阶数字滤波器传输函数H(z)。实现滤波器所需的差分方程可由传输函数H(z)直接得到。将

ω=2fstan(Ω/2)代入下式可得滤波器的形状|H(Ω)||H(ω)|=

1

√1+ε2Cn2(ω/ωp1)第二十七页，共三十七页，编辑于2023年，星期三例10.9对于采样频率为20KHz的系统，设计具有切比雪夫Ⅰ型特性的IIR滤波器。通带最大增益为0dB，通带边缘在5kHz处，其增益为-1dB。阻带边缘在7.5kHz处，其增益为-32dB。解：fp1=5000Hz,fs1=7500Hz,20log(1-δp)=-1fs=20000Hz,20logδs=-32Ωp1

=2πfp1/fs=0.5π弧度

Ωs1

=2πfs1/fs=0.75π弧度第二十八页，共三十七页，编辑于2023年，星期三ωp1=2fstan(Ωp1/2)=40000弧度/秒ωs1=2fstan(Ωs1/2)=96568.5弧度/秒6)n≥=3.31n=4cosh-1(δ/ε)

cosh-1(ωs1/ωp1)4)20log(1-δp)=-11-δp=10-1/20=0.89125

ε=√(1/(1-δs2))–1=0.50885)20logδs=-32δs=10-32/20=0.0251

δ=√(1/δs2)–1=39.8第二十九页，共三十七页，编辑于2023年，星期三7)|H(ω)|=

1

√1+ε2Cn2(ω/ωp1)=

1

√1+0.2589C42(ω/40000)ω=2fstan(Ω/2)代入上式|H(Ω)|=

1

√1+0.2589C42(Ω/2)C4(x)=cos(4cos-1(x))对于|x|≤1cosh4(4cosh-1(x))对于|x|>1返回第三十页，共三十七页，编辑于2023年，星期三10.8带通、高通和带阻IIR滤波器带通和高通滤波器的阶数要通过对低通滤波器的原型的计算来选择。图10.22表明了设计步骤图10.22第三十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期三传输函数高通HH(s)=HL(ωpω’p/s)ωp为低通滤波器的截止频率

ω’p为高通滤波器的截止频率带通HBP(s)=HL(ωp(s2+ωlωu)/s(ωu-ωl))ωl：带通滤波器的低端截止频率ωlωu：带通滤波器的高端截止频率ωu带阻HBS(s)=HL(ωps(ωu-ωl)/(s2+ωuωl))从上的ωp，ω’p，ωl，ωu都要进行预扭曲计算，避免滤波器失真。ω=2fstan(Ω/2)*带通和带阻滤波器的阶数都为其低通原型的两倍。第三十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期三IIR滤波技术的一个应用就是产生和恢复用于按键电话机的双音多频信号（DTMF)第三十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期三FIGURE10-25Touch-T