随机过程考试真题

1、设随机过程|X(t)=R.t+q，卜e(0,8)|,C为常数，因服从|[0,1]]区间上的均匀分布。(1)求|X(t)|的一维概率密度和一维分布函数；(2)求四£]的均值函数、相关函数和协方差函数。2、设加(t),_8<t<8)|是参数为621的维纳过程，R~N(1,4)是正态分布随机变量;且对任意的|一8<t<8，W(t)与因均独立。令|X(t)=W(t)+R，求随机过程{X(t),-8<t<8}|的均值函数、相关函数和协方差函数。3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即入二180；且每个顾客的消费额是服从参数为目的指数分布。求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：(0.30, 0]|P=00.20.8[0.700.3)(1)求两步转移概率矩阵匹及当初始分布为P{X=1}=1, P{X=2}=P{X=3}=00 0 0 时，经两步转移后处于状态2的概率。(2)求马尔可夫链的平稳分布。5设马尔可夫链的状态空间I={1,2,3,4,5}，转移概率矩阵为:(0.30.40.300)0.60.4000P=010000000.30.7[00010J求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。6、设但«匹叫是参数为囚的泊松过程，计算।eM(t)n«十§n。7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以回记在i第层进入电梯的人数。假定回相互独立，且园是均值为同的泊松变量。在第i层进入的各个人相互独立地以概率回在第j层离开电梯，,zpj=i。令o)^=在第团层离开电梯的人数。ji(1)计算E(O) j_i(2)0)的的分布是什么(3)o与on的联合分布是什么__u_8、一质点在1,2,3点上作随机游动。若在时刻0质点位于这三个点之一，则在|［t,t+h)|内，它都以概率|h+。(h)|分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率P(t)及平稳分布。ij 有随机过程｛m(t),-8Vt<8｝和｛H(t),-8vt<8｝,设m(t)=Asin®t+0),n(t)=Bsin(3t+@+。),其中A,B,3,。为实常数，⑹均匀分布于［0,2巩试求R*,t)(15分)随机过程己代尸Acos(3t+①),-8<t<+8,其中A,3,①是相互统计独立的随机变量，EA=2,DA=4,3是在［-5,5］上均匀分布的随机变量，①是在血式］上均匀分布的随机变量。试分析m(t)的平稳性和各态历经性。3某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9：00开门，试求：(1)在开门半小时中,无顾客到来的概率；(2)若已知开门半小时中无顾客到来,那么在未来半小时中,仍无顾客到来的概率。4设某厂的商品的销售状态(按一个月计)可分为三个状态：滞销(用1表示)、正常(用2表示)、畅销(用3表示)。若经过对历史资料的整理分析,其销售状态的变化(从这月到下月)与初始时刻无关，且其状态转移概率为P((pij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率)，一步转移开率矩阵为：

M=一11"——022115399121~~~L636」试对经过长时间后的销售状况进行分析。5设｛X(t),拦0｝是独立增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t),拦0｝是一个马尔科夫过程。6设｛N(t),t>o｝|是强度为因的泊松过程，｛丫,k=1,2,L｝|是一列独立同分布随机变量，且k与｛N(t),t>0｝|独立，令X(t)=圮Y,t>0，证明：若怛(丫2<8)，则Ie[x(t)]=XtE｛Y｝ k 1 LJ k=1 7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为叵]，而今天无雨明天有雨的概率为回；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设a=0.7,p=0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。8设国)8设国),-8-Y+8｝是平稳过程，Q)=g(t)cos加t+®)一8<t<+W0其中30是常数，@为均匀分布在[0,2网上的随机变量，且|£)-8<t 与®相互独立，Rg和S4(3)分别是|砥)-8<t<囚的相关函数与功率谱密度，试证:(1)的)一8<"小｝是平稳过程，且相关函数：RQ)=9已知随机过程m(t)的相关函数为:9已知随机过程m(t)的相关函数为:n2己 0一8<t<+^J的功率谱密度为:S0=1S(3-3)+S(3+3Vn4自0自0

RG)=e一/2匕RG)=e一/2匕1、设随机过程X(t)=R-t+C1、设随机过程X(t)=R-t+C(1)求X(t)的一维概率密度和一维分布函数;(2)求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数。【理论基础】(1)F(x)」f(t)dt，则|f(t)|为密度函数; =8 f(x-11 ,八 ,a<x<bb一af(x-11 ,八 ,a<x<bb一a[0,其他，分布函数F(x)=\0,x<ax一a ,a<x<bb一a1,x>b，a+b(b一a)2D(x)=———212E(x)=(3)参数为囚的指数分布，概率密度函数f(x)=<入e-嬴,x>0[0,x<0，分布函数1一e-嬴,x>00,x<0(4)E(x)=从,(4)E(x)=从,D(x)=o2的正态分布，概率密度函数f(x)=1——^=eo工/2k(x一^202,一8<x<8分布函数F(x)= 1xeo72K一8■(t一m2202dt,一8<x<8若日=0,0=1时，其为标准正态分布。【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。f(x)=<1,C<x<C+1t…[0,其他 -(1)因R为叵可上的均匀分布，C为常数，故回)亦为均匀分布。由R -知，X(t)为［C,C+1］上的均匀分布，因此其一维概率密度0,x<C-x—C「维分布函数F(x)={ ,C<X<C+1t1,x>C+1TOC\o"1-5"\h\z(2)根据相关定义，均值函数m(t)=EX(t)=t+CX 2_ __ 1C一相关函数R(s,t)=E[X(s)X(t)]=st+-(s+1)+C2相关函数X 3 2n，、一，…，、 ，、、 ，、r、st 协方差函数B(s，t)=E{[X(s)-m(s)][X(t)-m(t)]}=—(当s=t时为方差函数)X X X12【注】D(X)=E(X2)-E2(X)；B(s,t)=R(s,t)-m(s)m(t) 1，__X X X X—求概率密度的通解公式f(x)=f(y)|y'(x)|=f(y)/|x,(y)| t 2、设加(t),-8<t<莉是参数为的维纳过程，R~N(1,4)是正态分布随机变量；且对任意的|-s<t<叫，|W(t)|与R均独立。令|X(t)=W(t)+R，求随机过程&(t),-8<t<莉的均值函数、相关函数和协方差函数。【解答】此题解法同1题。依题意，W(t)~N(0,02111)，R~N(1,4)，因此X(t)=W(t)+R服从于正态分布。故:均值函数m(t)=EX(t)=1_X 相关函数R(s,t)=E[X(s)X(t)]=5—X 协方差函数B(s,t)=E{[X(s)-m(s)][X(t)-m(t)]}=4(当[7^7]时为方差函数)X X X

3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即九二1801;且每个顾客的消费额是服从参数为目的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。【解答】此题可参见课本习题3.10题。由题意可知，每个顾客的消费额Y是服从参数为目的指数分布，由指数分布的性质可知：E(Y)=1E(Y)=1=,D(Y)=—S S2，故E（Y2）=—，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营S2业额的数学期望m（8）=8*180义E（Y）； X 一天内商场营业额的方差忖X（8）=8*180义E（Y2）。4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：(0.30.70)P=00.20.8、0.700.3)（1）求两步转移概率矩阵中及当初始分布为P{X=1}=1,P{X=2}=P{X=3}=0

0 0 0 时，经两步转移后处于状态2的概率。（2）求马尔可夫链的平稳分布。【解答】可参考教材例4.3题及4.16题（1）两步转移概率矩阵P(2)=PP="0.3 0.7 0、0 0.2 0.8、0.7 0 0.3,‘0.3 0.7 0'0 0.2 0.8、0.7 0 0.3,=‘0.090.350.56)0.560.040.4<0.420.490.09)当初始分布为P{X0=1}=1，P{X0=2}=P{X0=3}=0时，

(100:(0.090.350.56)0.560.040.4、0.420.490.09,=(0.090.350.56)故经两步转移后处于状态2的概率为0.35。(2)因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下方程组兀=0.3兀+0K+0.7兀TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1 2 3兀=0.7兀+0.2兀+0K<2 1 2 3k=0K+0.8k+0.3k\o"CurrentDocument"3 1 2 3K+K+K=1l12 3解上述方程组得平稳分布为8 7 8K=—,K=—,K=—1232233235、设马尔可夫链的状态空间I={1,2,3,4,5}，转移概率矩阵为:(0.30.40.300)0.60.4000P=010000000.30.7100010)求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。【解答】此题比较综合，可参加例4.13题和4.16题画出状态转移图如下：

画出状态转移图如下：(1)由上图可知，状态分类为叵={1,2,3};G2={4,5}(2)由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。A、对回常返闭集而言，解方程组兀=0.3兀+0.6兀+0KTOC\o"1-5"\h\z1 1 2 3兀=0.4兀+0.4兀+1兀< 2 1 2 3兀=0.3k+0k+0k3 1 2 3K+K+K=1I12 3解上述方程组得平稳分布为3725937K=—,K,K= 1 15 290 350TOC\o"1-5"\h\z则各状态的平均返回时间分别为1 50t1 50t= = ,3k37一= t= =,k372K2591 2 3B、对G常返闭集而言，解方程组K=0.3K+1K1 1 2<K=0.7K+0K\o"CurrentDocument"2 1 2K+K=1l1 2解上述方程组得平稳分布为10 7K=——,K=——1 17 2 171 17 1 17则各状态的平均返回时间分别为1 17 1 17t=—=—,t=——二—1K102K7

6、设而7迥是参数为囚的泊松过程，计算怛山()N(+S)]【解答】E[n(t)N(t+s)]=E[N(t)(N(t+s)-N(t)+N(t))一=E[N(t)(N(t+s)-N(t))]+E[N(t)2一=E[N(t)]E[N(t+s)-N(t)]+E[N(t)2=Xt♦入s+入t+(入t)2=Xt(1+Xt+Xs)7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以同记在回第层进入电梯的人数。假定回相互独立，且回是均值为匕]的泊松变量。在第0层进入的各个人相互独立地以概率回在第j层离开电梯,1zpj=i。令o)^=在第j层离开电梯的人数。j (1)计算E(O) LJ(2)0^的的分布是什么(3)o与on的联合分布是什么__jj_LJ【解答】此题与本书联系不大，据有关方面信息，此次考试此题不考。以^^记在第0层乘上电梯，在第j层离去的人数，则Nj2是均值为X^pij2的泊松变量，且全部N(i>o,j>i)相互独立。因此：ij(1)E[O]=E[EN]=ZXp(1)j ij iij i i (2)⑶因o与o独立、,(2)⑶因o与o独立、,ik P(OO)=P(O)P(O)=XiXkXk+i—e-x•——e-x= e-2Xik i ki!k!i!k!由泊松变量的性质知，O=ZN是均值为ZXp的泊松变量j ij iij i i 则,囚为期望。8、一质点在1,2,3点上作随机游动。若在时刻旧质点位于这三个点之一，则在［［，t+h)|内，它都以概率|h+o(h)|分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率P(t)及平稳分布。l_Li 【解答】参见教材习题5.2题依题意,.p(At) . . ;——71依题意,由limjA,~=q(i丰j)得，q=1(i丰j)，柯尔莫哥洛夫向前方程为A八At j j At-0m J —L P'=—2p(t)+p (t)+p (t)，j j i，/-1 i,j+1由于状态空间I={1,2,3}，故p(t)+p(t)+p (t)=1j i,jT i,j+1所以p'=-2p(t)+1-p(t)=—3p(t)+1，TOC\o"1-5"\h\zij ij ij ij解上述一阶线性微分方程得：小 -111p(t)=ce3+-j 3由初始条件确定常数c，得1 21t一+-e3,i=jp(t)=<33j111---e-3t,i丰j133

故其平稳分布故其平稳分布K=limp(t)=(,j=1,2,3

ij3J t-81、有随机过程｛m(t),-8<t<8｝和｛”(t),-8<t<8｝,设m(t)=Asin(3t+0),H(t)=Bsin(3t+@+。),其中A,B，3,。为实常数，⑹均匀分布于[0，2巩试求R&“(s,t)△0)，—,0<0<2K2K、0,其它1.解:[式s)q(t)]=于Asin(3s+0)Bsin(31+0d0+中埠d00d0=—ABf「cos(3(t-s)+①)-cos(3(t+s)+20+中)4Kd00=2ABcos(3(t-s)+①)，-8<s,t<+82、随机过程己(t尸Acos(3t+①)，-8<t<+8,其中A,3,①是相互统计独立的随机变量，EA=2,DA=4,3是在［-5,5］上均匀分布的随机变量，①是在［-K，K］上均匀分布的随机变量。试分析己(t)的平稳性和各态历经性。2、解:()=E )]=ELcos(3t+①)]=EAEIcosJt+①)]=2. fd3fcos(3t+^)d①20K-5 -K=0defm,-8<t<+8&

,t+T)=EEAcos(tot+O)4cos(©(t+,t+T)=E=EA2E[osCot+0)cosCoG+t)+0)]fd3fcosCot+①)cosCoG+T)+①》中-5 -K-d—fd3fIcosWT+cos(2wt+3T40k-5 -K85 7 4sin5tdef()= cos3Td3= =R(T)20 5t自-5所以具有平稳性。故均值具有各态历经性。故均值具有各态历经性。.=lim—!—fAcos(3t+O)Acos(3(t+t)+0)dtf2TTfy乙》-T=lim段fcos(3t+o)cos(3(t+T)+o)dti2T-T故相关函数不具有各态历经性。3、某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9：00开门，试求:(1)在开门半小时中，无顾客到来的概率；(2)若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。3、解：设顾客到来过程为｛N(t),t>=0｝，依题意N(t)是参数为九的Poisson过程。⑴在开门半小时中，无顾客到来的概率为:-4x1=e2=e-2

,在未来半小时仍无顾客到来可表,在未来半小时仍无顾客到来可表4、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为修（/表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率），一步转移开率矩阵为：””2131试对经过长时间后的销售状况进行分析。4、解答：由一步转移概率矩阵可知状态互通，且pii>0，从而所有状态都是遍历状态，于是极限分布就是平稳分布。设平稳分布为汽二｛汽1，兀2，%｝，求解方程组：汽』P,汽1+%+%=1即:TOC\o"1-5"\h\z1 1 1一兀+—兀+—兀=兀2 1 3 2 6 3 11 1 2—兀+-71+—兀=兀12 1 9 2 3 3 25 1_兀 +_兀 =79 2 6 3 3\o"CurrentDocument"兀+7 +7 =1【 1 2 3得：

896兀=——,兀=——,兀=——1232 233 23I8 9 6即极限分布为:兀=〈 ， ， 即极限分布为:123 23 23由计算结果可以看出：经过相当长时间后，正常销售状态的可能性最大，而畅销状态的可能性最小。5、试对以下列矩阵为一步转移概率矩阵的齐次马尔可夫链的状态空间进行分解。14120014120013412000001130000000-0300一0.700.300