振动之阻尼弹簧振子的受迫振动

振动之阻尼弹簧振子的受迫振动第一页，共十三页，编辑于2023年，星期三特解也用复数表示代入微分方程得解得复振幅为特解用复数的实部表示为x2=Acos(Ωt+Φ)为了简单地求特解，将驱动力用复数表示其中*{范例5.8}阻尼弹簧振子的受迫振动取齐次式微分方程的解为x1=e-βt(Ccosωt+C'sinωt)，其中阻尼圆频率为C和C'是常数。第二页，共十三页，编辑于2023年，星期三v=-βe-βt(Ccosωt+C'sinωt)+e-βt(-ωCsinωt+ωC'cosωt)-ΩAsin(Ωt+Φ)当物体从静止开始运动时，即当t=0时，有x=0，v=0，可得0=C+AcosΦ，解得C=-AcosΦ，速度为通解为通解为可表示为x1=A1e-βtcos(ωt+φ),x=x1+x2=e-βt(Ccosωt+C'sinωt)+Acos(Ωt+Φ)0=-βC+ωC'-ΩAsinΦ振幅和初相分别为x1是减幅振动，x2是等幅振动，物体的振动是两个振动的合成。*{范例5.8}阻尼弹簧振子的受迫振动第三页，共十三页，编辑于2023年，星期三物体在作受迫振动时，减幅振动的位移随时间逐渐衰减为零，如果约化阻尼因子β/ω0为0.1，约化驱动力圆频率Ω/ω0为2，两个振动叠加之后，开始时的位移比较复杂，经过一定的时间，减幅振动衰减之后，物体作等幅振动，其圆频率等于驱动力的圆频率。等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率大，第四页，共十三页，编辑于2023年，星期三如果约化阻尼因子不变，约化驱动力圆频率Ω/ω0为6，受迫振动的振幅随着减幅振动起伏，最后成为等幅振动。等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率更大，因而振动得更快。第五页，共十三页，编辑于2023年，星期三等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率小，因而振动得比较慢。约化阻尼因子不变，如果约化驱动力圆频率Ω/ω0取0.6，受迫振动开始时受到减幅振动的扭曲，最后成为等幅振动。第六页，共十三页，编辑于2023年，星期三等幅振动的圆频率与固有圆频率相等，与减幅振动的圆频率相近，因而振幅比较大。约化阻尼因子不变，如果约化驱动力圆频率Ω/ω0取1，受迫振动的振幅随时间不断增加，最后成为等幅振动。当驱动力的圆频率等于减幅振动的圆频率时，物体受迫振动达到稳定后的振幅最大。第七页，共十三页，编辑于2023年，星期三*{范例5.8}阻尼弹簧振子的受迫振动一弹簧振子的质量为m，劲度系数为k，振子除了受到阻力f=-γx之外，还受到周期性的外力的作用F=F0cosΩt，其中是F0驱动力的幅值，Ω是驱动力的圆频率。(2)受迫振动达到稳态时，讨论位移振幅和速度振幅与驱动力频率的关系，并讨论振子产生共振的条件。当系统的阻尼因子一定时，振子的振幅由驱动力的圆频率决定；振子的位移与驱动力并不同相。通常β≠0，当Ω→0时，A→F0/mω02，Φ→0；当Ω→∞时，A→0，Φ→-π。[解析](2)振子在作受迫振动时，经过一定的时间，x1→0，x→x2=Acos(Ωt+Φ)，振子的运动达到稳态。第八页，共十三页，编辑于2023年，星期三这种位移振幅达到最大值的现象称为位移共振。最大位移振幅的圆频率范围在0到ω0之间，而最大位移振幅可以从F0/mω02达到无穷大。在位移共振时，初相为可见：位移共振的初相小于零。x=Acos(Ωt+Φ),*{范例5.8}阻尼弹簧振子的受迫振动为了计算最大振幅，设A的分母的平方为令dy/dΩ=0，可得容易验证，这就是振幅取极大值的条件，当然要求极大值为第九页，共十三页，编辑于2023年，星期三物体的速度为其中速度振幅为可见：当Ω→0时，速度振幅vm→0。由于x=Acos(Ωt+Φ),可知：当Ω→∞时，速度振幅也有vm→0。当Ω=ω0时，速度振幅最大，最大值为这种速度振幅达到最大值的现象称为速度共振。当发生速度共振时，初相Φ=-π/2；速度和驱动力是同相的，即速度的方向与驱动力的方向总是保持一致的。*{范例5.8}阻尼弹簧振子的受迫振动第十页，共十三页，编辑于2023年，星期三当β<0.707ω0时，物体的位移振幅随外力圆频率的增加先增后减。当β≥0.707ω0时，物体的位移振幅随外力圆频率的增加而减小。不论阻尼因子是多少，所有曲线的起点和终点都相同。位移振幅的峰值随阻尼因子的减小而增加，或者随外力的圆频率的增加而增加，峰值分布在0到ω0之间。第十一页，共十三页，编辑于2023年，星期三不论阻尼因子是多少，当驱动力的圆频率很低时，位移与驱动力就接近同步；位移初相就是位移与驱动力的相差，相差都小于零，表示位移滞后驱动力。当驱动力圆频率很大时，位移的初相趋于-π，位移与驱动力反相。随着驱动力圆频率增加，位移越来越滞后驱动力，当驱动力圆频率等于自由振动圆频率时，位移比驱动力滞后π/2；位移振幅的峰值所对应的初相在-π/2到0之间。第十二页，共十三页，编辑于