数值分析第五章

数值分析课件第五章第一页，共三十三页，编辑于2023年，星期三复化梯形公式复化梯形公式的几何意义小梯形面积之和近似第二页，共三十三页，编辑于2023年，星期三复化梯形公式的余项设由介值定理余项估计式第三页，共三十三页，编辑于2023年，星期三复化梯形公式的余项设设，则复化梯形公式是收敛的，误差阶是，可以通过求出。若用复化梯形公式计算,要求误差不超过,利用余项公式估计，至少用多少个求积节点。问题：第四页，共三十三页，编辑于2023年，星期三复化梯形公式的收敛性其中定积分与区间分法和的取法无关设复化梯形公式是稳定的第五页，共三十三页，编辑于2023年，星期三二、复化Simpson公式：/*CompoundSimponFormula*/分点在区间上采用Simpson公式其中将积分区间n等分:第六页，共三十三页，编辑于2023年，星期三复化Simpson公式复化Simpson公式的几何意义小抛物面积之和近似第七页，共三十三页，编辑于2023年，星期三复化Simpson公式的余项设由介值定理余项估计式第八页，共三十三页，编辑于2023年，星期三复化Simpson公式的余项设设，则复化Simpson公式是收敛的，误差阶是，可以通过求出。问题：用复化Simpson公式计算,要求误差不超过,利用余项公式估计，至少用多少个求积节点。第九页，共三十三页，编辑于2023年，星期三课后习题复化Simpson公式的收敛性类似地可以得到复化Cotes公式第十页，共三十三页，编辑于2023年，星期三例2：选取5个等距节点，分别利用复化梯形公式、复化Simpson公式计算积分的近似值，要求小数点后保留4位

。解：将区间[0,1]4等分，计算各节点的函数值为：令

00.250.50.75100.06150.11760.16440.2第十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期三复化梯形公式(n=4,h=0.25)复化Simpson公式(n=2,h=0.5)第十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期三例3：分别利用复化梯形公式、复化Simpson公式计算积分的近似值，要求按复化Simpson公式计算时误差不超过。解：首先来确定步长复化Simpson公式的余项：其中补充定义：在处,第十三页，共三十三页，编辑于2023年，星期三本题的求法：由归纳法知第十四页，共三十三页，编辑于2023年，星期三解不等式得将区间8等分，分别采用复化Simpson、梯形公式

0

1/8

1/4

3/8

10.9973980.9896880.976727

1/2

5/8

6/8

7/8

10.9588510.9361560.9088580.8771930.841471第十五页，共三十三页，编辑于2023年，星期三复化梯形公式(n=8)复化Simpson公式(n=4)第十六页，共三十三页，编辑于2023年，星期三复化Simpson公式的算法

1.输入积分区间a,b,等分数n;2.令h=(b-a)/2n;3.令Y1=f(a)+f(b),Y2=0,Y3=0;4.对i=1,2,...2n-1令x=a+ih;如果i为偶数，则Y3=Y3+f(x);如果i为奇数，则Y2=Y2+f(x);5.令S=h(Y1+4Y2+2Y3)/3.Y1:端点的值Y2:半点值Y3:内部整节点值第十七页，共三十三页，编辑于2023年，星期三（1）使用复化梯形公式、Simpson公式，首先要确定步长；（2）而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数的估计；（3）高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大；（4）计算机上实现起来不方便，通常采用“事后估计法”。三、积分步长的自动选取：注意事项：基本思想：将积分区间逐次分半终止法则：前后两次近似值的误差小于已知精度第十八页，共三十三页，编辑于2023年，星期三具体过程（以复化梯形公式为例）1、首先将区间n等分：2、再将区间2n等分，即步长减半：第十九页，共三十三页，编辑于2023年，星期三上述条件满足，程序终止；否则，继续分半计算。3、终止条件：由复化梯形公式的余项知变化不大时由此得到近似关系式误差控制条件第二十页，共三十三页，编辑于2023年，星期三收敛速度慢对于复化Simpson公式、Cotes公式可以类似得到不足对于复化梯形公式第二十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期三

例4：用复化梯形公式和步长逐次减半法计算

要求误差不超过解：利用公式第二十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期三§5.4Romberg积分法

/*RombergIntegrationMethod*/Romberg积分思想由上节分析知，用复化梯形公式计算出的的近似值

的误差大约为：令由复化梯形公式知第二十三页，共三十三页，编辑于2023年，星期三第二十四页，共三十三页，编辑于2023年，星期三梯形加速公式：利用复化梯形公式前后两次积分近似值和，按照上式作出的线性组合得到了具有更高精度的积分值。上述公式说明：Romberg积分公式正是由此思想产生第二十五页，共三十三页，编辑于2023年，星期三Romberg

值序列Simpson加速公式：Cotes加速公式：类似于梯形加速公式的处理方法，得到：第二十六页，共三十三页，编辑于2023年，星期三所以有：第二十七页，共三十三页，编辑于2023年，星期三通过上述3个积分值序列求积分近似值的方法，称之为Romberg积分法。4个积分值序列：梯形值序列Simpson值序列Romberg值序列Cotes值序列第二十八页，共三十三页，编辑于2023年，星期三Romberg积分法的一般公式其中第二十九页，共三十三页，编辑于2023年，星期三Romberg积分表第三十页