高数课件第十二章

第二节常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛四、小结 思考题收敛正项级数 部分和数列有界.故有界.有界,故收敛,∴部分和数列收敛

,

从而”若”又已知单调递增,也收敛.【证】““¥n=12.正项级数收敛的充要条件:【基本定理1】一、正项级数及其审敛法1.【定义】

若

un

‡

0,

则称

un为正项级数.¥设s=vn

un

£

vn

,n=1且sn

=

u1

+

u2

+

+

un

£

v1

+

v2

+

+

vn

£

s,【证明】

(1)3.【定理2】比较审敛法¥

¥设

un和vn均为正项级数，且un

£

vnn=1

n=1(n

=

1,

2,)¥

¥¥则 (1)若

收vn敛，必有n=1(2)若

发un散，必有n=1¥收u敛n

.n=1发散vn.n=1则sn

‡

sn

fi¥

)

且un

£

vn

,设sn

fi+¥

(n

fi+¥无界¥\

vn发散.n=1(发散).

且¥【证毕】比较审敛法的不便:

须有参考级数（比较对象）.(2)¥【推论】

若

u收n敛n=1vn

£

kun

(n

‡N

,k

>0)（或vn

‡）kun则vn

收敛(发散).n=1即部分和数列Sn有界¥\

un收敛.n=1【例1】讨论P-级数1

+1

+1

+1

+

+1

+的收敛性.(p

>0)2

p

3

p

4

p

npnnp【解】

设

p

£

1,

\

np

<

n

1

‡

1

,设p

>1,由图可知oyxy

=

1

(

p

>

1)x

p1

234nxnp

pn-11

<

dxs

=

1

+

1

+

1

+

+

1n

2

p

3

p

np£

1

+n

x

ppxdx

dxn-121+

+P—级数发散=

1

+x

pn

dx1)1(1

-p

-

11=

1

+np-1p

-

11<

1

+即sn有界,则P

-级数收敛.当p

£

1时,当p

>

1时,

收敛发散【结论】P

-级数［重要参考级数］几何级数,P

—级数,调和级数.若存在

N˛

Z

+

,

对一切

n

‡

N

,【例2】证明级数¥n=11是发散的.n(n

+

1)【证明】因为1(n

+

1)21n(n

+

1)‡而级数¥k

=2=1k发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.n(n

+

1)

£

(n

+

1)24.【定理3】比较审敛法的极限形式¥

¥(3)

当

l

=

+¥

时,

若vn

发散,则

un

发散［同散］n=1

n=1unfi

¥

vn¥n=1¥n=1则(1)

当

0

<

l

<

+¥

时,

二级数有相同的敛散性［同敛散］(2)

当

l

=

0时，若

vn

收敛,则

un

收敛

［同敛］¥

¥n=1

n=1设

un

与vn

都是正项级数,如果

lim

n

=

l,nfi

¥

vn【证明】

(1)

由lim

un

=

l2对于e=

l

>

0,$

N

,当n

>N时,l<

l

+

2l

unl

-

2

<

vn2

2n

n

n<

3l

v即

l

v

<

u

(n

>

N

)即¥由定理2

知¥由比较审敛法的推论,得证.当l

=0时,若vn

收敛,n=1当l

=∞时,un

>vn由定理2可知,

若

vn

发散

,n=1是两个正项级数,(1)

当0

<

l

<

¥

时,

两个级数同时收敛或发散

;2)特别取,1npnv

=可得如下结论:

un

发散

un

收敛对正项级数nu

,nnfi

¥lim

u

=

lpn0

<

l

£

¥p

>

1

,

0

£

l

<

¥(2)当l

=0

且

vn收敛时,也收敛;也发散.(3)

当l

=

¥

且

vn

发散时,注:1)un

,vn均为无穷小时,l

的值反映了它们不同阶的比较.【教材定理6】【例3】判定下列级数的敛散性:(1)¥n=11nsin;(2)¥n=11n3

-

n；3n(2)

lim

3n

-

nnfi

¥

111=

limnfi

¥

1nsinn

=

1,原级数发散.nnfi

¥【解】(1)

lim

nsin

11=

limnfi

¥

1

-

n3n=

lim

n21¥n=1

3=

1,

n收敛,

故原级数收敛ln[1

+¥n=121(3)n(3)nfi

¥1n2nfi

¥=

1ln[1

+¥根据比较审敛法的极限形式知

n=11

]收敛.2nn2

lim

n2

ln[1

+

1设¥n=1nu

是正项级数,如果lim

n+1

=

r

(r为数或

+

¥

)nfi

¥unu则

(1)

r

<

1

时级数收敛;(2)

r

>

1

时级数发散;(3)r

=1时失效.【证明】当r为有限数时,对"e>0,$

N

,

当n

>N时,un有un+1

-r<e,un即r

-

e<

un+1

<

r

+

e

(n

>

N

)5.【定理4】比值审敛法(达朗贝尔判别法)：当r<1时,取适当小的正数ε使r+e=r

<1,u

<

rm-1u

,N

+m

N

+12uN

+3

<

ruN

+2

<

r uN

+1

,,是收敛的几何级数,m=1¥N

+1而

rm-1u¥

un收敛,n=N

+1¥\

uN

+m

=m=1故原级数收敛如图unuN

+2

<

ruN

+1

,由

un+1

<

r

+

e=

r

得

(n

>

N

时)当r>1时,取适当小的正数ε使r-e=r

>1,当n

>N时,un

,级数发散runnfi

¥lim

un

„

0.比值审敛法的优点:不必找参考级数.unun+1得(n

>N

)由r

=r

-e

<un+1nn2¥

¥【例】

级数

1

发散,

级数

1

收敛,n=1

n=1(r

=

1)事实上，对P—级数，1=

1lim

+1

=

limnfi

¥(n

+

1)

pnfi

¥

1npunun但p

>1,级数收敛;p

£

1,

级数发散.nfi

¥un【两点注意】1.当

lim

un+1

=

1

时,级数可能收敛也可能发散.【例4】(1)

¥n=1

n!1;

(2)

¥n=1

10n!n

;

(3)

¥n=1

(2n

-

1)

2n1.【解】

(1)n!1

un+1

=

(n

+

1)!1unn

+

11=fi

0

(n

fi

¥

),收敛.n!1故级数¥n=12.比值审敛法的条件是充分的，而非必要(逆命题不成立)不存在，级数unun+1lim即,nfi

¥¥n=1判别下列级数的收敛性:未必u发n

散。如¥n=13

+

(-1)n3nfi

¥

(n

fi

¥

),(2)n!10n+1uun

n+1

=10=(n

+

1)!

10n

n

+

1发散.10n!故级数¥n=1n(3)un

nfi

¥

(2n

+

1)

(2n

+

2)(2n

-

1)

2nnfi

¥

lim

un+1

=

lim=

1,比值审敛法失效,改用比较审敛法1(2n

-

1)

2n

<

1

,n211收敛,n2¥n=1级数收敛.2n

(2n

-

1)故级数¥n=1=

limnfi

¥［补例］

讨论级数的敛散性.【解】unun+1

limnfi

¥(n

+

1)

xnn

xn-1=

x根据定理4可知:当0

<x

<1

时,级数收敛;当x

>1时,级数发散;当x

=1时,6.根值审敛法【定理5】¥n=1nfi

¥设正项级数

un

,若lim

n

un

=

r(r为数或+¥

),则

(1)

r

<

1

时级数收敛;1

,n=1nn¥【例如】

设级数

nnn

n

u1=

nn=

1

fi

0

(n

fi

¥

)故级数收敛.(2)

r>1

时级数发散;(柯西判别法)：(3)

r=1时失效.【说明】根值法条件同样是充分条件，不必要.根值法常用于一般项un中含有指数为n次幂的级数的判别.比值法较根值法更常用.二、交错级数及其审敛法【定义】正、负项相间的级数称为交错级数.n

¥

¥n=1

n=1n-1

n(-1)

u

或n

n(-1)

u

(其中u

>

0)【定理7】（莱布尼兹定理）(Leibnitz

交错级数

判别法

)

若交错级数满足条件:则级数un

‡

un+11) (

n

=

1,

2,

);2)nfi

¥lim

un

=

0,¥n-1(-1)

unn=11收敛,且其和S

£

u

,其余项满足rn

£

un+1

.【证明】

un-1

-

un

‡

0,

s2n

=

(u1

-

u2

)

+

(u3

-

u4

)

+

+

(u2n-1

-

u2n

)数列s2n是单调增加的,又

s2n

=

u1

-

(u2

-

u3

)

-

-

(u2n-2

-

u2n-1

)

-

u2n£

u1\

lim

s2n

=

s

£

u1

.nfi

¥nfi

¥

lim

u2n+1

=

0,数列s2n是有界的,nfi

¥

nfi

¥\

lim

s2n+1

=

lim(s2n

+

u2n+1

)

=

s,\

级数收敛于和

s,

且s

£

u1

.余项

rn

=

–(un+1

-

un+2

+

),rn

=

un+1

-

un+2

+

,满足收敛的两个条件,\

rn

£

un+1

.【证毕】【例

5

】判别级数¥n=2n

-

1(-1)n

n的收敛性.【解】

此为交错级数2

x(

x

-

1)2-

(1

+

x)x

-

1

(

x

)¢=<

0 (

x

‡

2)x

-

1故函数

x

单调递减,n+1n\

u

>

u

,nnfi

¥

n

-

1nnfi

¥又

lim

u

=

lim=

0.原级数收敛.【快速练习】用Leibnitz

判别法判别下列级数的敛散性:收敛收敛2

3

4

n1)

1

-

1

+

1

-

1

+

+

(-1)n-1

1

+

2)

1

-

1

+

1

-

1

+

+

(-1)n-1

1

+

2!

3!

4!

n!+

收敛1

-

2

3

-

4+

+

+

(-1)n-110

102

103

104

10nn3)上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;

2)1n1)¥n=1n!n=1;

3).10¥

¥n=11

nn发散收敛收敛三、绝对收敛与条件收敛【定义】正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.¥

¥【定理】若

un

收敛,则

un

收敛.n=1

n=1【证明】2nn

n令

v

=

1

(u

+

u

)

(n

=

1,2,),显然

vn

‡

0,

且

vn

£

un

,¥\vn收敛,n=1¥

¥又

un

=

(2vn

-

un

),n=1

n=1¥\un

收敛.n=1【定义】¥

¥若

un

收敛,则称

un

为绝对收敛.nfi

0

n=1¥

¥

¥n=1若

un

发散,而

un

收敛,则称

un

为条件收敛.n=1【例如】¥n=1n-1

1n为条件收敛¥1(-1)n=1(-1)n=1n-1n2为绝对收敛¥n=110n(-1)n-1n均为绝对收敛.【说明】（1）上定理的作用：任意项级数正项级数（2）逆命题不成立.(-1)n-1

1n¥如

n=1收敛，¥n=11n但发散此为变号级数（任意项级数）【例6】证明下列级数绝对收敛:(-1)

.;

(2)¥n=1¥(1)

n=1n4sin

nanen

n2【证】(1)4n£

4

,sin

na

1n¥而

n=1n41

收敛,¥n=1\n4sin

na收敛¥因此n=1n4sin

na绝对收敛.(2)

令unnfi

¥

lim

un+1=

limnfi

¥(n

+

1)2en+1enn2=

lim1

n

+

12nfi

¥

e

=n<

11e因此¥n=1(-1)n

n2ne¥\

(-1)nn=1n2ne收敛,绝对收敛.四、小结常数项级数审敛利用部分和数列的极限判别级数的敛散性(定义)利用正项级数审敛法任意项级数审敛法绝对收敛 条件收敛Leibniz判别法:数项级数的审敛法利用部分和数列的极限判别级数的敛散性