2022年安徽省芜湖市第三中学高三数学理模拟试题含解析

2022年安徽省芜湖市第三中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.向量满足||=，||=2，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为（）A．45° B．60° C．90° D．120°参考答案：C【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】可由得出，根据进行数量积的运算即可得出，从而便可得出向量与的夹角．【解答】解：；∴===0；∴；∴；∴向量夹角为90°．故选C．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的概念．2.

若二项式的展开式中的系数是84，则实数＝(

)A.2

B.

C.1

D.参考答案：选C.因为，令，得，所以，解得a＝1.3.圆与直线的位置关系是（

）

A．相离

B．相交或相切

C．相交

D．相交，相切或相离参考答案：B

考点：直线与圆的位置关系.【一题多解】也可以利用圆心到直线的距离与半径比较，结合不等式可得结果；将圆化为标准方程得，故表示圆心为，半径的圆，则圆心到直线的距离为，故可得直线与圆的位置关系可得，直线与圆相交或相切，故选项为B.4.在△ABC中，，，点D，E分别是边AB，AC上的点，且，记，四边形BCED的面积分别为，，则的最大值为（

）A． B． C． D．参考答案：C设，，因为，所以，所以，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，故选C．

5.下列说法中，正确的是（）A.命题“若，则”的逆命题是真命题B.命题“存在”的否定是：“任意”C.命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D.已知，则“”是“”的充分不必要条件参考答案：B试题分析：A．原命题的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，由于m=0时不成立；B．利用“全称命题”的否定是“特称命题”即可判断出正误；C．由“p或q”为真命题，可知：命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，即可判断出正误；D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，即可判断出正误．解：A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，m=0时不成立；B．命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意x∈R，x2﹣x≤0”，正确；C．“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，因此不正确；D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，因此不正确．故选：B．考点：命题的真假判断与应用．6.已知抛物线C：y2＝2x，过定点M(a，0)的直线与抛物线C相交于点P，Q，若为常数，则实数a的值为A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：A7.已知数列，则是它的第(

)项．A．19 B．20 C．21 D．22参考答案：C【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】计算题．【分析】根据数列的前几项找规律，归纳出数列的通项公式，再令an=，解方程即可【解答】解：数列，中的各项可变形为：，，，，，…，∴通项公式为an==，令=，得，n=21故选C【点评】本题考察了观察法求数列的通项公式，以及利用通项公式计算数列的项的方法．8.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输

出的值为

A.

B.

C.

D.参考答案：C【考点】算法和程序框图【试题解析】由题知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是，则输出的a为3．9.定义为n个正数的“均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，且，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A10.已知双曲线过点（2，3），渐进线方程为y=±x，则双曲线的标准方程是（）A． B．C． D．参考答案：C【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为﹣x2=λ，将点（2，3）代入其中可得﹣22=λ，解可得λ的值，变形即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的渐进线方程为y=±x，则可以设其方程为﹣x2=λ，（λ≠0）又由其过点（2，3），则有﹣22=λ，解可得：λ=﹣1，则双曲线的标准方程为：x2﹣=1；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是由渐近线方程设出双曲线的方程．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设（e为自然对数的底数），则的值

．参考答案：【考点】定积分；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题．【分析】根据定积分的定义，找出分段函数各自区间的原函数然后代入计算即可．【解答】解：∵，∴=∫01f（x）dx+∫1ef（x）dx=（x3）|01+（lnx）|1e=+1=，故答案为．【点评】此题考查定积分的定义及其计算，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数．12.已知角α的顶点在坐原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为A，则=

（用数值表示）参考答案：13.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，,，则此球的表面积等于

参考答案：14.在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥外接球的表面积为____

_.参考答案：15.若满足约束条件则的取值范围为

．参考答案：(0,2]

16.在△ABC中，点D是BC的中点，若AB⊥AD，∠CAD=30°，BC=2，则△ABC的面积为．参考答案：2【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由题意画出图形并求出角A的值，根据正弦、余弦定理分别列出方程，化简后求出边AC、AB，由三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：如图：设AB=c、AC=b，且BD=DC=，∵AD⊥AB，∠CAD=30°，∴AD2=7﹣c2，∠BAC=120°，在△ABC中，由正弦定理得，∴sinB===，在RT△ABD中，sinB===，∴AC=b=，在△ADC中，由余弦定理得，CD2=AD2+AC2﹣2?AD?AC?cos∠DAC，则7=7﹣c2+﹣2×××，化简得，c2=4，则c=2，代入b=得，b=4，∴△ABC的面积S===2，故答案为：2．【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角形的面积公式，考查了方程思想，以及化简、计算能力，属于中档题．17.已知且，则的值为________。参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某商场的销售部经过市场调查发现，该商场的某种商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大.参考答案：（Ⅰ）2；（Ⅱ）当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.试题分析：（Ⅰ）由题意可得时，，代入函数解析式可得的值；（Ⅱ）根据利润等于销量乘以销售价格与成本的差，列函数关系式（三次函数），利用导数研究函数单调性变化规律，确定函数最值.试题解析：解：（Ⅰ）因为时，，所以，故（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而于是，当变化时，的变化情况如下表：由上表可得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点.所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.19.在平面直角坐标系中，直线l的方程为x+y+3=0，以直角坐标系中x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆M的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出圆M的直角坐标方程及过点P（2，0）且平行于l的直线l1的参数方程；（Ⅱ）设l1与圆M的两个交点为A，B，求+的值．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）极坐标方程ρ=2sinθ两边同乘ρ，得ρ2=2ρsinθ，从而能求出⊙M的直角坐标方程，直线x+y+3=0的倾斜角为，由此能求出过点P（2，0）且平行于x+y+3=0的直线的参数方程．（Ⅱ）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，由参数t的几何意义能求出+的值．【解答】解：（Ⅰ）极坐标方程ρ=2sinθ两边同乘ρ，得ρ2=2ρsinθ（1分）其中ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，x=ρcosθ（2分）所以⊙M的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0…①（3分）又直线x+y+3=0的倾斜角为，所以过点P（2，0）且平行于x+y+3=0的直线的参数方程为即，（t为参数）…②直线的参数方程不唯一，只要正确给分（Ⅱ）把（Ⅰ）中的②代入①整理得（6分）设方程的两根为t1，t2，则有（7分）由参数t的几何意义知PA+PB=t1+t2，PA*PB=t1t2（8分）所以（10分）若直线的参数方程不是标准型，没有利用几何意义，但通过其他方法得出结论的给分【点评】本题考查圆的直角坐标方程和直线的参数方程的求法，考查代数式的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的性质及互化公式的合理运用．20.（12分）

已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.

（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.参考答案：解析：(Ⅰ)由题意得：2a2=a1+a2,即2a2q2=a1+a1q,,∵a1≠0,∴2q2-q-1=0,∴q=1或q=(Ⅱ)若q=1,则.当n≥2时,,故若q=,则,当n≥2时,,故对于n∈N+,当2≤n≤9时,Sn>bn；当n=10时,Sn=bn；当n≥11时,Sn<bn21.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为.（为参数）（Ⅰ）写出直线与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）过点且平行于直线的直线与曲线交于两点，若，

求点轨迹的直角坐标方程.参考答案：