大一学习概率论wf第四章

第四章 随机变量的数字特征§2

方差数学期望或均值是随机变量的统计特性之一，在许多实际问题中除了需要知道数学期望之外，往往还需要随机变量的另外一些统计特征。4.2.1

方差的定义例如：前面提到的检查灯泡的质量，我们不仅要知道某工厂生产的灯泡的平均寿命，并且希望对各个灯泡的寿命与平均寿命之偏差有一个总括的了解，这样的才能全面的评定该工厂产品的质量如何。若偏离程度较小，则表示质量比较稳定，从这个意义上来讲，我们认为质量较好。由此可见，研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的。那么。用怎样的量去度量这个偏离程度呢？我们可以采用随机变量

X

与其数学期望

E(X)的偏差

X

-

E(

X

)

的数学期望E{X

-

E(

X

)}，或者偏差来度量各随机变量可平方的数学期望E{[X

-E(X

)]2能偏离数学期望的程度。但是前者带有绝对值，运算不方便，所以我们采取后者运算。定义存在，设

X

是随机变量，若

E{[

X

-

E(

X

)]2为

X

的

方差(variance),则称E{[X

-E(X

)]2D(

X

)s

(

X

)

=记为

D(X)

或

Var(X).即

D(X)

=

Var(X)=

E{[

X

-

E(

X

)]2在应用上还引入与随机变量X

具有相同量纲的量，称为标准差（standard

deviation）或均方差（mean

squave

error）.按定义,D(X)表达了X

的取值与其期望的偏离程度.若X的取值比较集中,则较D(X)小,反之，若取值比较分散，则D(X)较大.因此，D(X)可视为用来刻画X的取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度.对于离散型随机变量，有{

}=

p

,

k

=

1,2,式中，

P X

=

xkk是X

的分布率。由定义知，方差实际上就是随机变量X

的函数g(X

)=(X

-E(X

))2

的数学期望，¥2k

=1k

k[x

-

E(

X

)]

pD(

X

)

=-¥对于连续型随机变量，有D(

X

)

=

[

x

-

E(

X

)]

f

(

x)dx¥

2式中，f

(x)是Ｘ的概率密度。计算随机变量X

的方差的一个常用的公式为D(

X

)

=

E(

X

2

)

-[E(

X

)]2D(

X

)

=

E{[

X

-

E(

X

)]2

}=

E{X

2

-

2

XE(

X

)

+[E(

X

)]2

}=

E(

X

2

)

-

2E(

X

)E(

X

)

+[E(

X

)]2=

E(

X

2

)

-[E(

X

)]2(4.2.1)例

1

设随机变量

X

具有（0

–

1）分布，其分布律为P{X

=

0

}=

1

-

p,

P{X

=

1

}=

p求D(X).解：(

1

-

p

)

+

1

p

=

pE(

X

)

=

0E(

X

2

)

=

02

(

1

-

p

)

+

12

p

=

pD(

X

)

=

E(

X

2

)

-

[E(

X

)]2

=

p

-

p2

=

p(1

-

p)例

2

随机变量

X具有概率密度1

+

x,

-1

£

x

<

0f

(

x)

=

1

-

x, 0

£

x

<

10,

其它求D(X).解：¥E(

X

)

=10-¥0=-1x(1

-

x)dx

=

0xf

(

x)dxx(1

+

x)dx

+16102022-1x

(1

-

x)dx

=x

(1

+

x)dx

+E(

X

)

=6D(

X

)

=

E(

X

2

)

-[E(

X

)]2

=

1于是4.2.2

方差的性质现在来证明方差的几个重要的性质（以下设所遇到的随机变量的方差都存在）设

c

是常数，则

D

(c)=

0

.设

X

是随机变量，c

是常数，

则有D(cX

)

=

c2

D(

X

)设X

、Y

是两个相互独立的随机变量，则有D(

X

+Y

)

=

D(

X

)

+

D(Y

)（4）D(X)=

0

的充要条件是

X

以概率

1

取常数，

即(c

=

E(X))P{X

=

c}=

1证明

（1）（、2）的证明读者自己完成，（4）略。下面我们来证（3）：证D(

X

+Y

)

=

E{[

(

X

+Y

)

-

E(

X

+Y

)]2

}=

E{[

(

X

-

E(

X

))

+

(Y

-

E(Y

))]2

}=

E{[

X

-

E(

X

)]2

+

E{[Y

-

E(Y

)]2

}+

2E{[

X

-

E(

X

)][Y

-

E(Y

)]}由于

X

、Y

是相互独立的，故

X-E(X)与

Y

-E(Y

)也是相互独立的，由数学期望的性质知道，有E{[

X

-

E(

X

)][Y

-

E(Y

)]}=

E[

X

-

E(

X

)]E[Y

-

E(Y

)]

=

0D(

X

+

Y

)

=

D(

X

)

+

D(Y

)故有（1）此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量的和的情况。即若X、Y

、Z

相互独立，则有D(

X

+Y

+

Z

)

=

D(

X

)

+

D(Y

)

+

D(

Z

)（2）若X

、Y

相互独立，则有D(aX

+

bY

)

=

a2

D(

X

)

+

b2

D(Y

)D(

X

-Y

)

=

D(

X

)

+

D(Y

)相互独立，且服从同一例

3

设

X1

,

X2

,,

Xn(

i

=

1

,

2

,

n

)P{Xi

=

1

}=

p,(0-1)分布，分布律为P{Xi

=

0

}=

1

-

p,服从

b(n,p)

;证明

X

=

X

1

+

X

2

+

Xn求E(X)和D(X).解

(1)易见

X

所有可能取的值为0，1，，n

.由

独立性知

X

以特定的方式取

k

(

0

£

k

£

n)

的概率为pk

(

1

-

p

)n-k

而

X

取

k

的两两互不相容的方式共有

k

种，故知

n,

k

=

0

,

1

,

,

n}

n=

p

(1

-

p)P{X

=

kk

n-k

k

即Ｘ服从参数为ｎ、ｐ的二项分布。（2）由例1

知E

(

Xi

)

=

p

,

D

(

Xi

)

=

p

(

1

-

p

)

,

i

=

1

,

2

,

,

nn

n故

E

(

X

)

=

E(

Xi

)

=

E(

Xi

)

=

npi

=1

i

=1相互独立，得由于

X

,

X

,

,

X1

2

nn

nD

(

X

)

=

D

(

Xi

)

=

D

(Xi

)

=

np

(

1

-

p

)i

=1

i

=1E

(

X

)

=

np

,

D

(

X

)

=

np

(1

-

p)即s

(X)D

(

X

)X

*

=

X

-

E

(

X

)=

X

-

E

(

X

)4.2.3

随机变量的标准化设随机变量

X

的数学期望为

E(X)

,

方差为D(X)>0,标准差s

(X

)>0，引入新的随机变量s

(X)D(

X

)有E

(X

*

)=0,D

(X

*

)=1.则称X

*为随机变量X

的标准化随机变量。事实上，E(

X

*

)

=

E[

X

-

E

(

X

)]

=

E(

X

)

-

E

(

X

)

=

0D

(X)D(

X

*

)

=

D[

X

-

E

(

X

)]

=

D[

X

-

E

(

X

)]s

(X)1D(

X

){E[

X

-

E(

X

)]2

-

{E[

X

-

E(

X

)]}2

}=1=E{[

X

-

E(

X

)]2

}=

D(

X

)

=

1D(

X

)

D(

X

)当随机变量

X

被标准化后，为研究随机变量的

性质、计算及其在数理统计中的运用都带来很大方便。1、设离散型随机变量X

仅取两个值：x1

和x2

，而且，x2

>x1

，X取x1

的概率为0.6，又已知E（X）=1.4，D（X）=0.24，则X

的分布律为ABDCX

0

1p

0.6

0.4X

n n-1p

0.6

0.4X

1

2p

0.6

0.4X

a

bp

0.6

0.4习题2、某流水生产线上每个产品不合格的概率为

p(0<p<1),各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修，设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为

X，则

E（X）=

，D（X）=3、证明在一次试验中，A

发生的次数X

的方差4D(X

)£

1

。4、已知随机变量X

的概率密度为f

(

x)

=

1

-

1

-

x

,0

<

x

<

20,

其他D(

X

)求X

*的概率密度（其中X

*

=X

-E(X

)）5、设X

为随机变量，c是常数，证明：D(X

)£

E{(X

-c)2

}，其中c

„E(X

)，这个不等式说明了什么？6、设随机变量X

服从指数分布，其概率密度为,

l

>

0,

x

<

0f

(

x)

=

0le-lx

,

x

‡

0求E（X），D（X）7、设随机变量X

服从几何分布，其分布律为P{

X

=

k}

=

p(1

-

p)k

-1

,

k

=

1,2,其中0<p<1

是常数，求E（X），D（X）8、某人用n把钥匙开门，只有一把能打开，设抽取钥匙是相互独立的、等可能性的，今逐个任取一把试开，假设：（1）打不开的钥匙不放回；（2）打不开的钥匙仍放回，求打开此门所需开门次数X

的均值及方差。9、设X1

,X

2

,,