2022-2023学年山东省枣庄市高二年级上册学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山东省枣庄市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1.已知点©是点“（2,9,6）在坐标平面O切内的射影，则点H的坐标为（）

A.（2,0,0）B.（096）c.（2，°，6）D.（2,9,0）

【答案】D

【分析】根据空间中射影的定义即可得到答案.

【详解】因为点©是点“（2,9,6）在坐标平面。中内的射影，所以H的竖坐标为o,

横、纵坐标与Z点的横、纵坐标相同，所以点©的坐标为（2,9,0）,

故选：D

2,已知阳=（'，—2,5）,〃=（1,4,一10）,且加

,则x的值是（）

A.2B.-2C.2D.2

【答案】A

【分析】由前〃7直接列方程求解即可.

［详解］因为用=（占一2,5）,〃=（1,4,一10）且机〃”，

-x=—-2=5x=—1

所以14-10,解得2,

故选：A

3.如图，空间四边形W8C中，OA=aOB=h,OC=c点〃在OA上，且OM=2MAfN为

8c的中点，则（）

_2-11一

4+—78+―C

B.322

1-lr2-1-271-

—Cld—u—c—ci-\—b—c

C.223D.232

【答案】B

【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.

MN=ON-OM^-（0B+0CY-0A^--a+-b+-c

【详解】2、厂3322.

故选：B.

4.已知直线4：6X-J'T=°,若直线4与4垂直，则12的倾斜角为（）

A.30°B.60。C.120°D,'50°

【答案】D

【分析】由直线12与4垂直得到4的斜率再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.

__k__且

【详解】因为直线12与4垂直，且乙二13,所以4X网=T,解得"3,

设人的倾斜角为a,3,所以a=150".

故选：D

5.在棱长均为1的平行六面体中，乙&1£>=/诩4=/"14=60。，则

A.丛B.3C.网D.6

【答案】C

【分析】设施“，AD=b,AAy=c,利用I"，卜+结合数量积的运算即可得到答案.

［详解］设方=£,AD=b,/4=c,由已知，得<”］>=60。，<a,c>=60\<c,h>=6O\

IaH各1=1。卜1,所以a$=a,c=2,

—>2—+2—►—»—»—♦—»—»r—

+b+c+2。♦6+2。•c+2b・c=J6

mhA1西卜17^^F二百

故选：C

a\会，当为偶数时，

6,已知数列也｝满足q=2,t+1,当为奇数时，则％=（）

1

A.64B.1C.2D.4

【答案】B

【分析】根据递推式以及《=2迭代即可

a

z.__1_3_9/.__4_1

【详解】由q=2,得「2,%=3a2+1=4,"-2,，一2,

%=3%+1=4,%普=2,%吟=1

故选：B

7.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦

点.已知抛物线*二句，的焦点为尸，一条平行于v轴的光线从点”(1,2)射出，经过抛物线上的点

N反射后，再经抛物线上的另一点8射出，则经点8反射后的反射光线必过点()

A.(T2)B.(一2,4)C.(T6)D.(-4,8)

【答案】D

【分析】求出A、尸坐标可得直线/F的方程，与抛物线方程联立求出8,根据选项可得答案，

【详解】把》=1代入V=4y得'=所以"(0』)

143

y-1=——Xy=——x+i

所以直线力尸的方程为0T即4,

3,

y=——x+1(-

<4=A4

与抛物线方程联立卜=外解得1x=-4,所以8(-4,4),

因为反射光线平行于y轴，根据选项可得D正确，

故选:D.

土-二=1

8.已如双曲线/b2(«>0,b>0)的左、右焦点分别为6,乙，过心的直线交双曲线的右

支于48两点,若"J",且4回=3网,则该双曲线的离心率为()

回正

A.2B.C.2D.J5

【答案】A

【分析】先作辅助线，设出边长，结合题干条件得到»用=3。，以鸟|=。，利用勾股定理得到关于

凡。的等量关系，求出离心率.

【详解】连接片叽设明=3x,则根据4M=3|明可知，|明=4”,因为/1叫由勾股定

理得：四|=5》，由双曲线定义可知：所曰得=2"，|所H优|=巴解得：

用=3x-2“，周=5x-2a,从而3x-2a+5x-2a=4x,解得：x-af所以I"用=%,

二、多选题

9.圆，+丁=4与圆f+/-4x-2叩+/=°的位置关系可能是（）

A.外离B.外切C.相交D.内含

【答案】ABC

【分析】由圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系.

【详解】/+/-4》-2畋+〃/=（）整理为：6-2）-+&-机）-=4,从而圆心为Q，机），半径为2,

而/+/=4的圆心为（0,0）,半径为2,从而两圆的圆心距为14+加2,

当"+苏>2+2,即机>2方或机<-26时，此时两圆外离；

当"+=2+2,止匕时机=±2百，此时两圆外切；

由于J4+痴±2恒成立,故当24"+〃/<2+2,即-26<“<26时，两圆相交；

且“+/22,故两圆不会内含或内切，综上：两圆得位置关系可能是外离，外切或相交.

故选：ABC

10.已知色为等差数列"J的前〃项和，且%=-7,$3=-15,则下列结论正确的是（）

A.4=2〃-9B.㈤｝为递减数列

C.”是包和晶的等比中项D.邑的最小值为76

【答案】AD

【分析】先由题干中条件得到公差d=2,从而求出通项公式，判断出AB选项；计算出包，

%发现如二%。，故判断C选项的正误；D选项"J为递增数列，且%=T<0,%=1>0,从

而得到$4最小，计算出结果即可判断.

【详解】由题意得：$3=3%+33=75,因为％=—7,所以"=2,所以也，｝通项公式为：

"”=-7+2（〃-1）=2〃-9,A选项正确；由于d=2>0,所以卜"｝为递增数列，B选项错误；通过

计算可得：%=-1,6=3,%=9,其中《'a/%,所以名不是4和%的等比中项，C选项错

误；因为｛%｝为递增数列，且％=T<°,4=1>°,故与在〃=4时取得最小值，

S4=4%+6d=-28+12=76,D选项正确

故选：AD

11.已知直线+=其中aeR,下列说法正确的是（）

A.若直线/与直线x->二°平行，则"=0

B.当。=1时，直线/与直线》+了=°垂直

C.直线/过定点9°）

D.当。=°时，直线/在两坐标轴上的截距相等

【答案】BC

【分析】根据直线方程的相关性质即可逐项求解.

0

【详解】对于A项，若直线/与直线方-夕=°平行，则°="或1,故A

错误；

对于B项，当。=1时，直线/为x-y-l=°,斜率为1,而直线x+y=°斜率为-1,...两条直线垂

直，故B正确;

对于C项，x-（/-a+l）V-l=°恒成立时，令y=0,得x=l,即直线过定点（1,0）,故C正确；

对于D项，当。=0时，直线/为x-yT=°,令x=0ny=-l,令y=°nx=l,所以横截距和纵

截距互为相反数，故D错误.

故选：BC.

12.如图，在边长为2的正方体"8C。-44cq中，P在线段8"上运动（包括端点），下列选项

正确的有（）

AAP1B.C

B.PDLBC

7t

c.直线与平面48cA所成角的最小值是7

D.尸。+尸。的最小值为2班

【答案】ACD

【分析】证明8c,平面得到A正确；取特殊点排除B；根据距离的最值得到C正确；确定

PC+PD=PC+PAl24c得至D正确，得到答案.

【详解】如图所示：连接DB,BC

451平面BCC/i,qCu平面3CGg,故

B£上BQ,BC"AD、,故qC，力。，

又因为"80"A=",故4CJ•平面力町,

又因为ZPu平面"8",故"尸_L8。，人正确；

当尸与B重合时，PB^BD,由于。8,8c不垂直，故B错误;

G到平面48cA的距离为5,°-°,

当PC'最大时，直线PC'与平面A'BCD\所成角度最小，

PG的最大值为8c=2血，

sin0=-j==—0,—O—-

故此处线面所成角的最小值。的正弦值为2J22,L2」，故6,c正确;

PC+PDPC+PA,>AtC=2^当4RC三点共线时等号成立，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13.若1=（1，°，一1）,不=（°，2，1）,。=（2,肛-1）为共面向量，则机的值为.

【答案】2

【分析】根据空间向量共面定理即可求解.

【详解】若"反）为共面向量，

则存在一组唯一的实数，使得工=筋+而,

即（2,加,-1）=和,0,-1）+〃（0,2,1）,

A=2A=2

<2从=mIm=2

即=解得l〃=i,

故答案为：2

14.已知数列"J中，。3=2,%=1,且数列为+1'为等差数列，贝lj%=.

7

【答案】与

1_____

J%+1%+1111/u257

d=--------——=—,----=-----+（5—3）4=—=%=一・

【详解】试题分析：由题意得：7-324牝+1%+1125

【解析】等差数列通项

15.在棱长为1的正方体'8co-48CA中，。为平面4力34的中心，E为8C的中点，则点

0到直线A'E的距离为.

旦二母

【答案】6##6

【分析】建立空间坐标系，求解直线"£的单位方向向量〉，结合勾股定理进行求解.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

4(1,0,1),f4,1,0),0(1,

则222,

AE122、—11

乖=（-U，T）"=丽=（一茨,），。4=（0，-及）,

因为2

-----2

OA.•〃=——

所以3

_西奇率=也

所以点°到直线4"的距离为丫296

故答案为：6.

16.已知点“（2」）,80,4）,C（0,2）,直线/。=后。-1）,若直线/与线段ZB有公共点,则■的

最大值为;若直线/与线段8C有公共点，则％的取值范围是.

［答案］2（-8,-2卜［2,+8）

【分析】直线/表示过点0'°）的直线，在平面直角坐标系中作出线段当直线/过点8时，直

线/与线段相交且斜率最大，求出斜率；作出线段8C,直线/分别过点8和点C时，为斜率的

临界值，得到斜率的取值范围.

【详解】直线/表示过点°'°)的直线，在平面直角坐标系中作出线段48如图,

,4左-—0_____

当直线/过点8时，直线/与线段Z5相交且斜率最大，此时斜率'-3-1

在平面直角坐标系中作出线段8c如图，

k,2-02

直线/过点8时，斜率占=2,直线/过点c时，斜率2~0^",所以人的取值范围为

(-00,-2]U[2,+8)

故答案为：2；(7°L2]U[2,+OO)

四、解答题

17.（1）在等差数列“J中，邑为其前”项的和，若反=6,$8=20,求儿

（2）在等比数歹ij中｛4｝，&+a=60,=36,求4和公比q

【答案】（1）72；⑵4=2,4=3或4=-2应=-3

【分析】（1）利用等差数列前〃项和公式计算首项和公差，再代入计算E6：（2）利用等比中项的

性质求％,并结合4+4=60确定"的具体值，再代入等式计算可求出4,q.

【详解】解：（1）设数列S"｝的首项为4,公差为d,

4〃[+6d=6,

8q+28d=20

由题意，得

所以56=164+120d=72

（2）由等比数列的性质可得，晒=b；=36.

又与+仇=&a+g2)=60

所以1+/=10,

解得4=±3.

b=殳=2

当4=3时，'q.

4=%=-2

当夕=-3时，q

18.给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在夕轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点

尸的距离等于2；④抛物线的准线方程是x=-2.

（1）对于顶点在原点。的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方

程是V=4x,并说明理由；

（2）过点（4°）的任意一条直线/与C：V=4x交于A,8不同两点，试探究是否总有丽，丽？请

说明理由.

【答案】（I）选择条件①③;详见解析（2）总有场,赤，证明见解析

【解析】（1）通过焦点位置可判断条件①适合，条件②不适合，通过准线方程，可判断条件④不

适合，利用焦半径公式可判断条件③适合;

jy2=4x

（2）假设总有方,丽，设直线/的方程为x=W+4,联立[x=W+4,利用韦达定理计算

方•砺可得结果.

【详解】解：（1）因为抛物线C：V=4x的焦点,（1,0）在*轴上，所以条件①适合，条件②不适

合.

又因为抛物线C：y2=4x的准线方程为：X=-1,

所以条件④不适合题意，

当选择条件③时，M=M+1=1+1=2,

此时适合题意，

故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是好=4x；

（2）假设总有方,历，

由题意得直线/的斜率不为0,

设直线’的方程为》="+4,

y2=4x

<

由|x=q+4得y2_4伊_]6=0

设/（七,乂），8包,外）

所以4>0恒成立，乂+为=〃，M%=76,

则为七=（步+4）（叱+4）=/乂%+4/（必+%）+16=_16产+16『+16=16,

所以04-08=再》2+必力=16-16=0,

所以方_L砺，

综上所述，无论/如何变化，总有方工砺.

【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题.

19.如图，在四棱锥尸-158中，底面/8CZ）为正方形，AB=2,AP=3f直线尸4垂直于平面

ABCD'旦F分别为尸"，的中点，直线/C与3/相交于。点.

pt

⑴证明：与CO不垂直；

（2）求二面角B-PC-D^余弦值.

【答案】（1）证明见解析；

4

⑵13.

【分析】（1）以点A为坐标原点，4B、AD、"尸所在直线分别为x、夕、z轴建立空间直角坐标

系，求出点。的坐标，计算得出瓦,而力0,即可证得结论成立；或利用反证法；

（2）利用空间向量法即求.

【详解】（1）方法一：如图以点A为坐标原点，AB、4D、4P所在直线分别为x、卜、z轴建立

如下图所示的空间直角坐标系，

则C（2,2,0）、£＞（0,2,0）尸（0,0,3）、4°，°，｛|、F（1,0,0）

设0（50）,因为闲=（14,0）,丽=（-1,2,0）,

因为FOHFD,所以一12,得3,即点（33人

2_23A

OE=

3，--3,2jc5=(-2,0,0)

因为

_______4

OECD=-^0

所以3

故°£与。不垂直.

方法二：假设与CD垂直，又直线4_L平面平面“8CO,

所以而R4与OE相交，

所以CO1平面P/C

又C/u平面PZC,

从而CD上C4

又已知/8C。是正方形，

所以。与C4不垂直，这产生矛盾，所以假设不成立，

即OE与。不垂直得证.

（2）设平面P8C的法向量为"1=（%，必，4）,又。（0,2,0）,尸（0,0,3）,8（2,0,。），C（2,2,0）

因为丽=（-2,0,3）,就=（0,2,0）,

BP-m=-2xt+3Z]=0

所以[直同=2%=0,令％=3,得由=（3,0,2）

设平面PC。的法向量为江=（孙力，Z?）,

\CDn=-2X2=0

因为丽=（-2,0,0）,历=（0,2,-3）,所以j苏•历=2%-3%=0,

令8=3,得万=（°，3,2）

因为小㈤卜邪用

显然二面角8-PC-O为钝二面角，

_4_

所以二面角8-PC-。的余弦值是一百.

20.已知数列m｝的前n项和S"=2勺-2.

（1）证明｛""｝是等比数列，并求｛“"｝的通项公式；

U'.

（2）在%和“向之间插入"个数，使这〃+2个数组成一个公差为“，，的等差数列，求数列的前”

项和4.

【答案】（1）证明见解析，%=2”

〃+3

3-----

⑵2"

【分析】（1）利用""=5"一5，1（"*2）及已知即可得到证明，从而求得通项公式;

1

—n=+--\-

（2）先求出通项4，2”,再利用错位相减法求和即可.

【详解】（1）因为S"=2a“-2,

当〃22时，=2at]_｝-2,

所以,当〃22时,。“=2加，又％=2%-2,解得4=2,

所以｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

故%=2”

-2"1〃+1

da=""+1a=乙—=---

(2)因为%=2",所以«+1-〃+1,4t2“

.111r-1/I、1

T=——+—+…+—=2x—+3x—1+•••+(«+l)x—

4%d„22'2"f

510T=2'r齐1+3'r尹1+...+(/〃+i1、)、尹1

—1TT=l]+i—+—1+--+-1--(〃/+lI)、x——1-

所以2”22232"2M+I

_3〃+3

~2~2M+1,

北=3_上也

所以2"

21.某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一

条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离

10米.在建筑物底面中心。的东北方向2。五米的点/处，有一360。全景摄像头，其安装高度低

于建筑物的高度.

•A

摄像头

西辅道东辅道

景熊物光景直道东

西M

（1）在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？

（2）求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度.

【答案】（1）不在

（2）17.5米

【分析】（1）以。为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程,

判断直线48与圆。的位置关系即可；

（2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点A的直线/与圆O相切时的直线方程即可.

【详解】（1）以。为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系

则°（0,0）,420,20）,观景直道所在直线的方程为y=-i°

依题意得：游客所在点为8（-5,0）

y_x+5

则直线AB的方程为20一2075,化简得4x-5y+20=0,

,|20|204

d=-I----=='=,I—•<4

所以圆心。到直线N8的距离,4?+5?V41,

故直线Z8与圆O相交，

所以游客不在该摄像头监控范围内.

（2）由图易知：过点/的直线/与圆。相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡,

所以设直线I过A且恰与圆O相切，

①若直线/垂直于x轴，则/不可能与圆O相切；

②若直线/不垂直于x轴，设/：'-20=4-20),整理得h_y_20/+20=0

小-204+20|”卜二k-i

所以圆心。到直线/的距离为炉力,解得一1或一§,

34

v-20=-(x-20)y-20=-(x-20)

所以直线/的方程为4或3,

即3x-4y+20=0或4%-3y-20=0,

设这两条直线与y=-i°交于。，E

[y=-10Jj=-10

由13x-4y+20=0,解得》=一20,由〔4x-3y-20=0,解得》=一2.5,

所以阿