3.1.2 椭圆的几何性质 课件（共15张PPT）

3.1.2椭圆的几何性质

1．椭圆的定义：平面内到两定点距离之和（2a）大于定长（2c）的点的轨迹（2a＞2c）．

2．椭圆的标准方程．（1）（2）情境设置3．椭圆中a、b、c的关系：b2＝a2－c2．情境设置在建立了椭圆的标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质．那么椭圆有哪些几何性质呢？（1）方程16x2＋25y2＝400表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？（2）与直线方程和圆的方程相对比，椭圆标准方程有什么特点？学生活动

阅读课本，回答问题：问题1：椭圆的范围是指椭圆的标准方程

中x，y的范围，可以用哪些方法推导？问题2：借助椭圆的图形容易发现椭圆的对称性，能否借助标准方程用代数方法推导？问题3：椭圆的顶点是最左或最右边的点吗？学生活动

问题4：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画板的F1和F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．若细绳的长度固定不变，将焦距分别增大和缩小，想象椭圆的“扁”的程度的变化规律．问题5：在椭圆标准方程的推导过程中令能使方程简单整齐，其几何意义是什么？数学建构

1．范围：由方程可知，椭圆上点的坐标（x，y）都适合不等式≤1，即x2≤a2，所以|x|≤a．同理可得|y|≤b．这说明椭圆位于直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形内．xyA1A2B2B1F1F2

2．对称性：从图形上看：椭圆关于x轴、y轴、原点对称．从方程上看：（1）把x换成－x，方程不变，说明当点P（x，y）在椭圆上时，点P关于y轴的对称点P＇（－x，y）也在椭圆上，所以椭圆的图象关于y轴对称；（2）把y换成－y，方程不变，所以椭圆的图象关于x轴对称；（3）把x换成－x，同时把y换成－y，方程不变，所以椭圆的图象关于原点成中心对称．综上：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫作椭圆的中心．数学建构

3．顶点：在方程中，令x＝0，得y＝±b，说明点B1（0，－b），B2（0，b）是椭圆与y轴的两个交点．同理A1（－a，0），A2（a，0）是椭圆与轴的两个交点．（1）顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫作椭圆的顶点；（2）长轴、短轴：线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；（3）a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长．数学建构

4．离心率：椭圆的焦距与长轴长的比

，叫作椭圆的离心率．说明：（1）因为a＞c＞0，所以0＜e＜1．（2）e越接近1，则c越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就接近于圆；（3）当且仅当a＝b时，c＝0，这时两焦点重合，图形变为圆，但本教材规定圆与椭圆是不同的曲线，有些书将圆看成特殊的椭圆；（4）试让学生通过探究大小变化来发现“扁”的程度．数学建构

例1求椭圆

的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．

分析：由椭圆的标准方程，可知a＝5，b＝3，则椭圆位于四条直线x＝±5，y＝±3所围成的矩形内．又椭圆以两坐标轴为对称轴，所以只要画出第一象限的图形就可以画出整个图象．数学运用解根据椭圆的方程

，得a＝5，b＝3，．因此，长轴长2a＝10，短轴2b＝6．焦点为F1（－4，0）和F2（4，0），顶点为A1（－5，0），A2（5，0），B1（0，－3），B2（0，3）．离心率

．将方程变形为

，根据

算出椭圆在第一象限的几个点的坐标：

x012345y32.942.752.41.80数学运用xyA1A2B2B1F1F2

例2求符合下列条件的椭圆标准方程：（1）焦距为8，离心率为0.8．（2）焦点与长轴较接近的端点的距离为，焦点与短轴两端点的连线互相垂直．（3）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），求椭圆的方程．数学运用

例3

将圆x2＋y2＝4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，并说明它是什么曲线？yxO数学运用

1．基本元素：

（