2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市文路中学高三数学理期末试题含解析

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市文路中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若满足2x+=5,满足2x+2(x-1)=5,+=(

)（A）

(B)3

(C)

(D)4参考答案：C2.已知等差数列的前项和为，且，则A.

B.

C.

D.参考答案：B3.已知函数,则下列说法不正确的是

（

）A.当时，函数有零点B.若函数有零点，则C.存在，函数有唯一的零点D.若函数有唯一的零点，则参考答案：B略4.过点且垂直于直线的直线方程为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A略5.已知、为非零向量，则“”是“函数为一次函数”的A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件参考答案：B略6.锐角三角形中，若，则的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略7.若椭圆的左、右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成的两段，则此椭圆的离心率为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D8.过椭圆的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则椭圆的离心率等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.若函数的图象关于点对称，则函数的最大值等于（

）

A．1

B．

C．2

D．参考答案：B10.已知集合，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若的垂心恰好为抛物线的焦点，O为坐标原点，点A、B在此抛物线上，则此抛物线的方程是_______，面积是________。参考答案：、因为焦点为，所以抛物线的方程是。设，由抛物线的对称性可知，。又因为，得，解得（不妨取正值），从而可得。

12.若x，y满足约束条件，则的最大值为_____________．参考答案：6【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由，可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.13.已知cos=，coscos=，coscoscos=，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是_________．参考答案：14.观察下列等式：1=++；1=+++；1=++++；…，以此类推，1=++++++，其中m＜n，m，n∈N*，则m﹣n=．参考答案：﹣6【考点】类比推理．【分析】裂项相消，求出m，n，即可得出结论．【解答】解：1=++++++=++﹣+﹣+﹣++=++∴+=∵2＜m＜7，7＜n＜20，m，n∈N*，∴m=6，n=12．∴m﹣n=﹣6．故答案为：﹣6．15.已知六棱锥的底面是正六边形，平面.则下列结论不正确的序号是

①平面②平面③平面④平面参考答案：④16.如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为

.参考答案：考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。直线的方程为：；直线的方程为：。二者联立解得：，则在椭圆上，，解得：17.甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．参考答案：60【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，几何体中，四边形为菱形，，，面∥面,、、都垂直于面,且，为的中点，为的中点.（Ⅰ）求证：为等腰直角三角形；（Ⅱ）求二面角的余弦值.参考答案：解：（I）连接，交于，因为四边形为菱形，，所以因为、都垂直于面,，又面∥面,所以四边形为平行四边形,则……………2分因为、、都垂直于面,则…4分所以所以为等腰直角三角形

………………5分（II）取的中点，因为分别为的中点，所以∥以分别为轴建立坐标系，则所以

………………7分设面的法向量为，则，即且令，则

………………9分设面的法向量为，则即且令，则

……………………11分则,则二面角的余弦值为

…12分

略19.函数（1）求不等式的解集；（2）若f(x)的最小值为k，且实数a、b、c满足，求证：参考答案：（1）（2）证明见解析【分析】(1)分类去绝对值符号后解不等式，最后取并集；(2)求出函数的最小值k，根据基本不等式得出结论.【详解】（1）①当时，不等式即为，解得②当时，不等式即为，③当时，不等式即为，综上，的解集为（2）由当时，取最小值4，即，即当且仅当时等号成立【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题.20.（本小题满分12分）的角的对边分别为，已知.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，,求的值.参考答案：解：（1）根据正弦定理，原等式可转化为：

------------------------------------2分

------------------------------------4分∴

------------------------------------6分(Ⅱ)∴

------------------------------------8分

------------10分∴.

------------------------------------12分21.从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中以近似为样本平均数，近似为样本方差．（ⅰ）利用该正态分布，求；（ⅱ）某用户从该工厂购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求．附：．若，则，．参考答案：（1）平均数=140；（2）（ⅰ）0.3413（ⅱ）见解析【分析】（1）由频率分布直方图中的数据结合平均数和方差公式直接计算即可；（2）（ⅰ