2021年黑龙江省哈尔滨市长岗中学高二数学文期末试卷含解析

2021年黑龙江省哈尔滨市长岗中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE,BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于C、D，若∠AEB=,则∠PCE等于(

)A

B

C

D参考答案：C2.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（

）A．6n－2

B．8n－2

C．6n+2

D．8n+2参考答案：C由题意得，第1个“金鱼”需要火柴棒的根数为a1=8；第2个“金鱼”需要火柴棒的根数为a2=14；第3个“金鱼”需要火柴棒的根数为a3=20，构成首项为8，公差为6的等差数列，所以第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为，故选C.

3.下列命题的叙述：①若p：?x＞0，x2﹣x+1＞0，则￢p：?x0≤0，x02﹣x0+1≤0；②三角形三边的比是3：5：7，则最大内角为π；③若?=?，则=；④ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件，其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据命题的否定的定义可知①错误；首先根据三角形大边对大角的性质，确定长度为7的边所对的角最大，再使用余弦定理求出该角即可判断②正确；将原式移项变形得到，根据向量数量积的定义可知此时有三种可能，故③错误；若ac2＜bc2，则a＜b，但反之不成立，故④正确．【解答】解：对于①：根据命题的否定的定义可知，￢p：?x0≤0，x02﹣x0+1≤0，故①错误；对于②：根据三角形大边对大角的性质，7所对的角最大，再由余弦定理，得cosα=，故，即最大内角为π，故②正确；对于③：若，则，此时，，或，有三种可能，故③错误；对于④：若ac2＜bc2，则a＜b，故ac2＜bc2是a＜b的充分条件；当a=﹣2，b=3，c=0时，a＜b，但ac2＜bc2不成立．所以ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件，故④正确；综上可知，真命题的个数为2个，故选：B．【点评】本题考查了命题的否定，余弦定理，向量的数量积以及不等式的基本性质，属于知识的简单综合应用．4.已知一个空间几何体的三视图如下左图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为A．

B．

C．

D．

参考答案：C5.已知函数在其定义域上单调递减，则函数的单调减区间是A．

B．

C． D．参考答案：B6.（

）A.3 B.2 C. D.参考答案：B【分析】由，根据微积分基本定理，即可求出结果.【详解】.故选B【点睛】本题主要考查定积分的计算，熟记微积分基本定理即可，属于基础题型.7.已知函数，若不等式对任意实数x恒成立，其中.则（

）A.m的最小值为 B.m的最大值为C.m的最小值为2 D.m的最大值为2参考答案：A【分析】求出，由，可得m的取值范围.【详解】解：由，当时，，当时，可得当时，可得函数有最小值，=，可得，解得：；当时，，由二次函数性质，可得，可得，可得；由不等式对任意实数恒成立，综合可得，故选A.【点睛】本题主要考查导数在研究函数极值的应用，不等式恒成立求参数等知识，综合性大，难度中等.8.在曲线上某一点A处作一切线使之与曲线以及轴所围的面积为，则这个切线方程是.(

)

A.y=-2x-1

B.y=-2x+1

C.y=2x-1

D.y=2x+1参考答案：C略9.如图，是直棱柱，，点，分别是，的中点.若，则与所成角的余弦值为A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.方程x3－6x2+9x－10=0的实根个数是

(

)

A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若椭圆+=1的离心率为，则m的值为

．参考答案：或18【考点】椭圆的简单性质．【分析】分当椭圆焦点在x轴上或焦点在y轴上进行讨论，根据椭圆的标准方程算出a、b、c值，由离心率为建立关于m的方程，解之即可得到实数m之值．【解答】解：∵椭圆方程为+=1，∴①当椭圆焦点在x轴上时，a2=16，b2=m，可得c==，离心率e=，化简得1﹣=，解得m=②当椭圆焦点在y轴上时，a2=m，b2=16，可得c==离心率e=，化简得1﹣=，解得m=18．综上所述m=或m=18故答案为：或1812.若随机变量服从正态分布，且，则

.参考答案：0.1587略13.已知，则函数的最大值是

．参考答案：14.下面的程序输出的结果=

参考答案：1715.已知，，，….，类比这些等式，若（均为正实数），则=

▲

．参考答案：41略16.若角为锐角，且则

．参考答案：17.把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则无空盒的概率为________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数(为实数)有极值，且在处的切线与直线平行．（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得函数的极小值为，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由；（3）设,的导数为,令求证：参考答案：(1)∵,∴，由题意∴，

①

……2分∵有极值，∴方程有两个不等实根．∴、

∴．

②由①、②可得，．

∴或．故实数的取值范围是

…2分(2)存在.……………1分

由(1)令，

∴时，取极小值，则=,∴……………………2分若，即则

(舍)．……1分若∴存在实数,使得函数的极小值为1

………1分(3)∵,

……．l分19.（本小题满分13分）设等差数列的前项和为，且（Ⅰ）求数列的通项公式（Ⅱ）设数列的前项和为，且（为常数）。令，求数列的前项和参考答案：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为.

由得

………3分

解得

因此

.…………5分

整理得

所以

数列的前项和

………13分20.(本题满分12分)已知两点，点在以为焦点的椭圆，且构成等差数列。（1）求椭圆的方程；（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，当最大时，求直线的方程参考答案：（Ⅰ）依题意，设椭圆的方程为．∵构成等差数列，，又∵c=1，，椭圆的方程为．

。。。。。。。。。4分（Ⅱ）将直线的方程代入椭圆的方程中，得．

由直线与椭圆仅有一个公共点知，，化简得：．

。。。。。。。。。6分设坐标原点到动直线的距离为，则

。。。。。。。。。8分时

最大此时故所求直线方程为或

。。。。。。。。。12分

21.

(12分)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长是2，侧棱长为4，M，N分别在AA1和CC1上，A1M=CN=1，P是BC中点．(1)求四面体A1-PMN的体积；(2)证明A1B∥平面PMN．

参考答案：22.已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数为0，求解极值点，然后判断求解极值即可．（2）利用导函数的符号，结合基本不等式或函数的导数求解函数的最值，推出结果即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx，x＞0∴，因为a=1，令=0得x=1或x=（舍去）…又因为，当0＜x＜1时，f'（