2022-2023学年浙江省丽水市平原中学高二数学理联考试题含解析

2022-2023学年浙江省丽水市平原中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若f（x）=xsinx，则函数f（x）的导函数f′（x）等于（）A．1﹣sinx B．x﹣sinx C．sinx+xcosx D．cosx﹣xsinx参考答案：C【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，即可得到结论．【解答】解：函数的导数为f′（x）=sinx+x?cosx，故选：C【点评】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．2.“a＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：当a=b=1时，满足a＞0，b＞0，曲线方程ax2+by2=1为x2+y2=1为圆，不是椭圆，充分性不成立．若ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0且a≠b，即a＞0，b＞0，必要性成立，即“a＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的必要不充分条件，故选：B．3.任何一个算法都离不开的基本结构为（

）A．逻辑结构

B．条件结构

C．

循环结构

D．顺序结构参考答案：D4.下列命题中正确命题的个数为

(

)

（1）平面内有且仅有一条直线和这个平面外的一条直线垂直

（2）经过一点和已知直线垂直的平面有且仅有一个

（3）经过平面外一点和这个平面平行的直线有且仅有一条

（4）经过平面外一点有且仅有一条直线和这个平面垂直

A、3

B、2

C、1

D、0参考答案：B略5.曲线y=x3﹣4x2+4在点（1，1）处的切线方程为（）A．y=﹣x+2 B．y=5x﹣4 C．y=﹣5x+6 D．y=x﹣1参考答案：C【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数y=x3﹣4x2+4在x=1处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解即可．【解答】解：由曲线y=x3﹣4x2+4，所以y′=3x2﹣8x，曲线y=x3﹣4x2+4点（1，1）处的切线的斜率为：y′|x=1=3﹣8=﹣5．此处的切线方程为：y﹣1=﹣5（x﹣1），即y=﹣5x+6．故选：C．6.曲线y＝x3＋x在点（1,）处的切线与坐标轴围成的三角面积为()参考答案：A7.过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A8.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(

)A．恰有1个黑球与恰有2个黑球

B．至少有1个黑球与至少有1个红球C．至少有1个黑球与都是黑球

D．至少有1个黑球与都是红球

参考答案：A略9.函数在上零点的个数为

（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B10.若不等式的解集则a－b值是（

）A．－10

B.－14

C.10

D.14参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有

．参考答案：960【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】第一步将5名志愿者先排成一排，有A55种方法，第二步将2位老人作一组插入其中，有2×4种方法，故不同的排法共有2?4?A55种，运算求得结果．【解答】解：5名志愿者先排成一排，有A55种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有2?4?A55=960种不同的排法，故答案为：960．12.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P、Q分别是B1C1、CC1的中点，则直线A1P与DQ的位置关系是．（填“平行”、“相交”或“异面”）参考答案：相交【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知得PQ∥A1D，PQ=A1D，从而四边形A1DQP是梯形，进而直线A1P与DQ相交．【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P、Q分别是B1C1、CC1的中点，∴PQ∥A1D，∵直线A1P与DQ共面，∴PQ=A1D，∴四边形A1DQP是梯形，∴直线A1P与DQ相交．故答案为：相交．【点评】本题考查两直线位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13.右图程序运行后输出的结果为

▲

．参考答案：略14.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1.在三角形内挖去半圆(圆心O在边AC上，半圆分别与BC、AB相切于点C、M，与AC交于点N)，则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为______．参考答案：

15.如图，AO⊥平面，O为垂足，B∈α，BC⊥BO，BC与平面所成的角为，AO=BO=BC=1，则AC的长等于

▲

.参考答案：

略16.已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X≤4）=0.84，则P（X≤0）等于

．参考答案：0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到p（X≤0）=p（X≥4）=1﹣p（X≤4），得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），μ=2，∴p（X≤0）=p（X≥4）=1﹣p（X≤4）=0.16．故答案为：0.1617.已知函数，若存在常数，对任意存在唯一的，使得，则称常数是函数在上的“湖中平均数”．若已知函数，则在上的“湖中平均数”是

▲

．参考答案：试题分析：函数在定义域内是单调递减函数，若函数在区间存在“湖中平均数”，那么一定是最大值和最小值的几何平均数，即,并且满足在定义域内的任意一个，总存在定义域内的，满足，所以在上的“湖中平均数”是.考点：新定义三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）已知正三棱柱中，，求证：参考答案：已知正三棱柱中，，求证：。（12分）解法一:取,,,建立基底。则，，，，由解法二：根据题意，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设，，则，，，，，，，，由，即略19.（本小题满分12分）

某风景区为提高经济效益，现对某一景点改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x（）万元之间满足：

为常数，当时，；当时，（参考数据：）（1）求的解析式；（2）求该景点改造升级后旅游利润的最大值，（利润=旅游收入-投入）参考答案：20.（本小题满分12分）在中，已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若求的面积.参考答案：（Ⅰ）且，．

．………………6分（Ⅱ）由正弦定理得，即，解得．

…………10分则的面积

………………12分略21.已知抛物线，焦点为F，准线为l，线段OF的中点为G.点P是C上在x轴上方的一点，且点P到l的距离等于它到原点O的距离.（1）求P点的坐标；（2）过点作一条斜率为正数的直线与抛物线C从左向右依次交于A、B两点，求证：.参考答案：（1）；（2）详见解析.【分析】（1）由点到的距离等于它到原点的距离，得，又为线段的中点，所以，设点的坐标为，代入抛物线的方程，解得，即可得到点坐标.（2）设直线的方程为，代入抛物线的方程，根据根与系数的关系，求得，，进而得到，进而得到直线和的倾斜角互补，即可作出证明.【详解】（1）根据抛物线的定义，点到的距离等于，因为点到的距离等于它到原点的距离，所以，从而为等腰三角形，又为线段的中点，所以，设点的坐标为，代入，解得，故点的坐标为.（2）设直线的方程为，代入，并整理得，由直线与抛物线交于、两点，得，结合，解得，由韦达定理，得，，，所以直线和的倾斜角互补，从而，结合轴，得，故.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线与抛物线的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22.已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=n?（an﹣1），求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（I）数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣1．变形为：an+1﹣1=2（an﹣1）．利用等比数列的通项公式即可得出．（II）bn=n?（an﹣1）=n?2n﹣1，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣1