第7章热传导课件

有内热源存在时的热传导方程为式(6-27a)在不同坐标系的一般形式如下：直角坐标系：柱坐标系：球坐标系：求解热传导的规律问题，即解出上述微分方程，获得温度

t与时间θ及位置(

x,y,z)的函数关系，即不同时刻温度在空间的分布(温度场)。所得的解为t=

f(θ,x,y,z)，它不但要满足式(7-1)或式(7-2)、式(7-3)，而且要满足每一问题的初始条件与边界条件。第一节

稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导对于无内热源的一维稳态热传导，已知条件又设沿

x或

r方向进行一维导热，则代入热传导方程式(7-1)～式(7-1)，可简化为一维的Laplace方程，直角坐标系柱坐标系球坐标系(一)单层平壁一维稳态热传导单层平壁一维稳态热传导，当热导率

k为常数时，式(7-4)即为描述该导热过程的微分方程，即设边界条件为将式(7-4)积分两次，可得代入边界条件，可得将C1、C2代入式(7-7)，得温度分布方程，即由式(7-8)可知，平壁稳态热传导过程的温度分布为一直线。根据Fourier定律，通过x处的导热通量将式(7-8)对

x求导，得代入式(7-9)，得或由式(7-10)可知，热通量q/A和传热速率

q是与x

无关是常量。(二)单层筒壁的稳态热传导若筒壁很长，即

L>>r，则沿轴向的导热可忽略不计，且温度分布沿轴向对称，可认为温度仅沿径向变化。对于无内热源的单层筒壁的一维稳态热传导，可用式(7-5)表征热传导方程，即设边界条件为对式(7-5)积分两次，可得代入边界条件，可得将C1、C2代入式(7-11)，得温度分布方程，即式(7-12)表明，通过筒壁进行径向一维稳态热传导时，温度分布是半径r的对数函数。通过半径为

r的筒壁处的传热速率或热通量的计算柱坐标系的

Fourier定律，即q

—半径r处的导热速率；q/Ar—半径r处的热通量；r—径向坐标；dt/dr—r处的温度梯度；L—筒壁长度；Ar—半径r处导热面积，

。导热面积Ar

是半径r的函数。将式(7-12)对

r求导,得：代入式(7-13)，得即式(7-14)即为单层筒壁的导热速率方程。传热速率

q与半径

r无关，是常量。由式(7-14)可得单位筒长导热速率，即单位筒长导热速率与半径

r无关，是常量。代入式(7-13a),得即由式(7-14a)可知，热通量q/Ar

随半径

r而变。由式(7-14)，即可知，传热速率

q与半径

r无关，是常量，亦即或式(7-14)亦可写成与平壁导热速率方程式(7-10)相类似的形式，即式(7-17)与式(7-14)对比可知或

式中

rm—筒壁的对数平均半径；Am—筒壁的对数平均面积。当时，对数平均值近似等于算术平均值，即二、有内热源的一维稳态热传导若柱体很长，即

L>>r，则沿轴向的导热可忽略不计，且温度分布沿轴向对称，可认为温度仅沿径向变化。对于有内热源的柱体沿径向的一维稳态热传导，柱坐标系的能量方程式(7-2)，即可简化为式(7-19)为具有内热源、沿径向做一维稳态热传导的能量方程。若内热源均匀，则为常数。对式(7-19)进行一次积分，得再积分一次，得由边界条件可确定积分常数C1、C2，代入式(7-21)求得柱体内的温度分布。[例7-4]有一半径为R、长度为L的实心圆柱体，其发热速率为，圆柱体的表面温度为

ts

，L>>

R，温度仅为径向距离的函数。设热传导是稳态的，圆柱体的热导率

k为常数，试求圆柱体内的温度分布及最高温度处的温度值。解：柱体内一维径向稳态热传导时的温度分布方程为依题意，设边界条件为由边界条件(2)可得将上式代入式(7-20)，即并取r=R，即得故将及边界条件(1)代入式(7-21)，得最后得到温度分布方程为由于圆柱体向外导热，最高温度应在圆柱体中心处，即上两式联立得温度分布方程，无量纲形式为三、二维稳态热传导对于无内热源的二维稳态热传导，已知条件为代入热传导的基本微分方程式(7-1),即得该式为无内热源的二维稳态热传导微分方程(二维Laplace方程)。根据式(7-22)求出的温度分布

t=f(x,y)为一连续曲面，若将连续变化的偏微分方程用差分方程近似表达，则可通过数值计算法求出温度分布。(一)物体内部的结点温度方程将物体分割成若干个由组成的小方格，分割线的交点称为结点。及的长度根据计算精度的要求选取。将式(7-22)近似地写成差分形式，即令，则有该式称为物体内部的结点温度分布方程，它表示任一结点(i,j)的温度

ti,j

与邻近

4个结点温度之间的关系，即为邻近

4个结点温度的算术平均值。(二)物体边界上的结点温度方程处于物体表面的结点，由于外界的影响，其温度不能用式(7-23)来表达，需要根据具体情况来建立。1.绝热边界取垂直纸面的距离为单位长度。对虚线包围的微元作热量衡算，得

令，则有2.一般对流边界设周围流体的主体温度为

tb，且维持不变，微元体表面与流体之间的对流传热系数为

h，亦维持不变，对虚线包围的微元作热量衡算，得令，则有

即3.对流边界上的外角对虚线包围的微元作热量衡算，得令，则有

整理得4.对流边界上的内角对虚线包围的微元作热量衡算，得

令，则有整理得(三)二维稳态温度场的结点温度方程组式(7-23)、式(7-24)表示无内热源二维稳态温度场中各结点温度之间的关系，各式均为线性代数方程。求解温度场时，可根据物体内部及边界情况，并考虑精度要求，将物体分割成若干个等边的小方格，将分割线的交点统一编号(i=1,2,…,n)，然后根据每个结点所在的位置分别写出相应的结点温度方程，从而得到整个温度场的结点温度方程组，即ai,j

和

bi(i

=1,2,…,n)均为常数，ti

(i=1,2,…,n)为未知温度。式(7-25)为线性方程组，共有

n个方程，未知温度亦为

n个，求解此方程组即可求出

ti

(i=1,2,…,n)的数值，于是整个温度场即可求出。

第二节不稳态热传导物体内任一点的温度均随时间而变化的导热称为不稳态导热。求解不稳态导热问题时，需要应用热传导方程式(7-1)、式(7-2)或式(7-3)，并须满足具体的初始条件和边界条件。通过求解满足这些定解条件的微分方程，求得温度分布随时间的变化关系，从而求得特定时刻的传热速率。初始条件是指在导热过程开始的瞬时物体内部的温度分布情况。边界条件视具体情况一般可分为3类：第一类边界条件是给出任何时刻物体端面的温度分布；第二类边界条件是给出所有时刻物体端面处的导热通量；第三类边界条件是物体端面与周围流体介质进行热交换，端面处的导热速率等于端面与流体之间的对流传热速率。

不稳态导热过程中传热速率取决于介质内部热阻和表面热阻。一、忽略内部热阻的不稳态导热—集总热容法有一热的金属小球，浸泡在冷流体中。不稳态导热过程中，传热速率取决于固体内部热阻和表面热阻。亦即小球内部的温度分布除与材料的热导率有关外，还与小球表面和周围流体的对流传热系数有关。若固体的热导率很大或内热阻很小，而环境流体与固体表面之间的对流传热系数很小或对流传热热阻较大，便可忽略内热阻，即认为在任一时刻固体内部各处的温度均匀一致，温度梯度主要产生于小球表面的流体层内。设金属球密度ρ，比热容cp，体积V

，表面积A，初使温度均匀为t0

，环境流体的主体温度恒定为tb，流体与金属球表面的对流传热系数为

h，且不随时间变化。球坐标系的热传导方程为由于金属球的内热阻可忽略，温度与位置无关，即故式(7-3)简化为因，金属球发热速率等于表面对流传热速率，即代入式(7-26)，得因故上式应为初始条件为由于物体的温度仅随时间改变而与位置无关，不存在边界条件。令，则式(7-26a)可化为初始条件为积分式(7-27)，得或该式即为忽略物体内热阻情况下物体温度与时间的定量关系式。指数中的量可整理如下：令

Fo

称为Fourier数，其物理意义表示时间之比，即无量纲时间。令

Bi

称为

Biot

数，其物理意义为

Bi表示物体内部的导热热阻与表面对流热阻之比。当Bi大时，表示传热过程中物体内部的导热热阻起控制作用，物体内部存在较大的温度梯度。不能采用集总热容法。当Bi小时，表示物体内部的热阻很小，表面对流传热的热阻起控制作用，在起控制作用，物体内部的温度梯度很小，在同一瞬时各处温度较为均匀。

将式(7-30)、式(7-31)代入式(7-28)得研究表明，当Bi<0.1时，系统的传热可用集总热容法处理，此时可用式(7-28)或式(7-32)计算物体温度与时间的关系，其结果与实际比较不超过5％。二、忽略表面热阻的不稳态导热忽略表面热阻的不稳态导热过程发生在表面热阻比内阻很小的情况，即Bi

>>

0.1时，由于表面热阻可忽略，表面温度

ts

在

θ′>0

的所有时间内均为一个常数,其数值基本等于环境温度。(一)半无限大固体的不稳态导热半无限大固体是指从

x

=

0

的界面开始向正的

x方向及其它两个坐标(y,z)方向无限延伸的物体。在导热开始时，物体的初始温度为

t0，然后突然将左端面的温度变为

ts，且维持不变。假设除物体的左右两端面外，其它表面均绝热。由于右端面在无限远处，其温度在整个过程中均维持导热开

始时的初始温度t0不变。

这类导热问题可视为沿

x

方向的无内热源的一维导热问

题。柱坐标系的热传导方程为对于沿

x方向的无内热源的一维导热，即式(7-2)化简为(用

θ

表示时间)初始条件和边界条件为采用合成变量法求解式(7-33)引入变量η，即令于是有

将式(7-35)、式(7-36)代入式(7-33)，整理得式(7-37)中的自变量仅为η，故可写成常微分方程，即式(7-38)对应的定界条件为令将式(7-39)代入式(7-38)，得将式(7-40)分离变量并积分，得将式(7-41)积分，得将定解条件(2)代入式(7-42)，得故得再将定解条件(1)代入式(7-42)，得故得将C1、C2代入式(7-42)，得或式中误差函数为式(7-44)即为半无限大固体在加热或冷却过程中不同时刻的温度分布表达式。式中可视为在

θ

瞬时物体某一位置x处的温度t同左端面温度ts

之差与最大温度差之比。当时，表示物体某位置x处的温度已经冷却或加热到了左端面的温度ts

，此时由式(7-44)知查得由于

x

为一有限值，所以

θ=

∞，即需要无限长时间物体各处(除左端面外)才能达到左端面的温度

ts

。但实际情况是，经过某一足够长的时间之后，t即开始以渐进的方式趋近于ts

。半无限大物体不稳态导热时的热流速率半无限大物体的初始温度为t0，当其左端面温度突然变为

ts

且维持不变时，单位时间经左端面流入物体或自物体流出的热量可由Fourier定律计算。设左端面的面积为A，则瞬时的导热通量为由式(7-43)求得由式(7-34)求得故上式代入式(7-45)，得即式(7-46)即为半无限大物体不稳态导热过程中,瞬时通过

x

=

0

平面的热通量表达式。在0～θ

时间内通过x

=

0平面的总热量为积分得(二)两个端面均维持恒定温度的大平板的不稳态导热假定除垂直于平板两端面的方向外，其它侧面上所传导的热量均可忽略不计，在此情况下，具有两个平行端面的大平板中的导热问题，可视为一维导热问题处理。两个端面相互平行，设其间距为

2l，平板的初始温度

t0

各处均匀。现令两个端面的温度突然变为

ts，且在整个导热过程中维持不变。热传导方程仍为式(7-33)

，即初始条件平板两端面维持恒定条件，即第一类边界条件采用分离变量法求解热传导方程，并满足初始条件和边界条件。引入无量纲数无量纲温度无量纲长度无量纲时间依式(7-48)～式(7-50)，可求得将上述结果代入式(7-33)

，得相应的定界条件变为式(7-51)中的L*和Fo

为自变量，而T*为函数。为线性齐次偏微分方程，可采用分离变量法求解。因令于是有将上述结果代入式(7-51)

，得分离变量，得固有只有当上式中的常数小于零时，该式才可能有满足定解条件的非零解，所以设λ

称为特征值。由式(7-54)

，可得分别对上两式求解，得将式(7-57)、式(7-58)

代入式(7-52)，得或积分常数A、B可有定解条件(1)、(2)、(3)确定。

应用边界条件(3)，即将式(7-59)对L*求导数，即将边界条件(3)代入式(7-60)，得因，故于是式(7-59)变为应用边界条件(2)，即将边界条件(2)代入式(7-62)，得由于A=0，故B≠0，则由式(7-63)可得由式(7-64)可知，特征值λ

可以有无限多个，即将式(7-65)中的λi值代入式(7-62)，得式(7-66)为式(7-51)的一个特解。线性齐次方程式(7-51)的通解为应用边界条件(1)，即将边界条件(1)代入式(7-67)，得该式为Fourier级数，Bi为Fourier级数的系数，由正交性原理得积分得解得或将Bi

值代入式(7-67)，最后得T*的表达式为式(7-70)即为式(7-33)的解。该式表示平板两个平行端面维持恒温情况下进行导热时某瞬间板内的温度分布。由给定的时间和位置定出Fo

和L*

，然后通过该式计算

T*

，最后即可得到给定的时间和位置条件下的温度t值。式(7-70)还可以用于平板一个端面绝热，另一个端面骤然升温至

ts

情况下的导热计算。由于大平板的温度分布在中心面两侧完全对称，因此中心面的温度梯度为零，即这也是绝热情况下的边界条件，因此一个端面绝热平板的不稳态导热问题完全可以用式(7-70)计算。关于防火墙问题墙的一面骤然被加热至ts，热流不稳定地通入墙壁，墙的另一面绝热，绝热面的温度为tc。因将上式代入式(7-70)，得即式(7-71)表明：(1)防火墙材料的热导率应越小越好,而比热容和密度应越大越好。假定，代入式(7-71)并取级数的第一项，得可知，绝热面温度

tc

随

α

的减小而减小，亦即

k

减小或

ρcp增大均会使

α

减小，从而使

tc

降低。(2)绝热面温度升高到某一定值所需的时间与墙壁厚度的平方成正比。由式(7-71)可知而所以，当

θ

和

l2

做同样程度的改变时将不影响绝热面温度的变化，亦即绝热面温度升高到某一定值所需的时间与墙壁厚度的平方成正比。三、内部热阻和表面热阻均不能忽略时的大平板的不稳态导热假定大平板的厚度为2l，其初始温度t0均匀，然后突然将其置于主体温度为tb

的流体中，两端面与流体之间的对流传热系数h为已知。热流沿x方向亦即垂直于两端面的方向流动。在此情况下热传导方程仍为式(7-33)

，即初始条件两平板端面与周围介质有热交换，即第三类边界条件

ts(θ)为任一瞬时平板表面的温度，此温度随时间而变；tb

为流体介质的主体温度，假定为恒定值。采用分离变量法对式(7-33)求解，并使其满足定界条件(1)、(2)、(3)，结果为式中

λi为特征值，通过下式确定通常将特征值

λi表示为将式(7-74)代入式(7-72)，最后得温度分布方程为式(7-75)表述了大平板两端面与周围介质有热交换时平板内部的温度随时间的变化规律，式中δi值通过式(7-73)和式(7-74)确定。由于应用式(7-75)计算

t与

x、θ

的关系相当麻烦，在工程实际中，将式(7-75)无量纲化后，绘制成算图，采用图算法。无量纲温度；无量纲时间相对热阻；相对位置t0—物体的初始温度；tb—周围流体介质的温度，为恒定值；t—某一瞬时、某一位置处的温度；h—物体表面与周围流体介质之间的对流传热系数；k,α

—分别为物体的热导率和热扩散系数；x1—平板的半厚度或由绝热面算起的厚度；x—由平板中心面或绝热面至某点的距离。图7-8的适用条件：无限大平板(一维)不稳态导热；物体内部无热源；物体的初始温度均匀，为t0；第三类边界条件；物体表面的温度随时间而变，但流体介质的主体温度tb为恒定值。图7-9的适用条件：无限长圆柱(一维)不稳态导热；物体内部无热源；物体的初始温度均匀，为t0；第三类边界条件；物体表面的温度随时间而变，但流体介质的主体温度tb为恒定值。图7-10的适用条件：球体的不稳态导热；物体内部无热源；物体的初始温度均匀，为t0；第三类边界条件；物体表面的温度随时间而变，但流体介质的主体温度tb为恒定值。四、多维不稳态导热将一维分析解推广到二维和三维导热问题中的

Newman法则。一平板，其

z

方向为无限大，x和y方向上的长度分别为

2x1、2y1。物体的热导率为

k，初始温度均匀，为

t0。现骤然将其置于主体温度为

tb

的流体介质中，物体各表面与介质间的对流传热系数为。此情况的导热为二维(

x,y方向

)的不稳态导热，并属于第三类边界条件。该物体在时间θ、位置(x,y)处的无量纲温度为分别为沿x和y方向进行一维不稳态导热时的无量纲温度。式(7-80)表明，二维不稳态导热问题，可化为两个一维不稳态导热问题处理，二维不稳态导热时的无量纲温度可以用两个一维不稳态导热的无量纲温度的乘积表示。可由式(7-75)或由算图得出。其他形状的简单物体，亦可视为由无限平面和无限长圆柱等适当组合而成。然后将物体的二维或三维导热问题化为2个或3个一维导热问题处理，而这些一维导热的解的乘积即为该物体多维导热问题的解。如图，边长为2x1、2y1、2z1的长方体，即可视为，各为2x1、

2y1、2z1的大平板相互切割而成。沿

x、y、z各个方向的不稳态导热，在某时刻θ，某位置(

x,y,z

)处的温度可采用下式计算，即又如图，半径为

r1、高度为

2x1

的短圆柱体，可视为由无限长圆柱和无限大平板垂直切割而成。在某时刻

θ，某位置(x,y,z)处的温度可采用下式计算，即五、一维不稳态导热的数值解对于非规则的边界