高等数学重修串讲

高等数学重修串讲第一页，共六十八页，编辑于2023年，星期二一、映射与函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.1.基本初等函数2.初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合步骤所构成,并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.不能表示为一个式子的分段函数不是初等函数.见附录第二页，共六十八页，编辑于2023年，星期二附录定义叫做幂函数.函数由确定函数的定义域1.幂函数第三页，共六十八页，编辑于2023年，星期二2.指数函数定义叫做指数函数.函数由确定函数的单调性第四页，共六十八页，编辑于2023年，星期二3.对数函数定义叫做指数函数.指数函数的反函数,记作由确定函数的单调性第五页，共六十八页，编辑于2023年，星期二常用三角函数4.三角函数正弦函数余弦函数第六页，共六十八页，编辑于2023年，星期二正切函数余切函数第七页，共六十八页，编辑于2023年，星期二正割函数余割函数第八页，共六十八页，编辑于2023年，星期二反正弦函数反余弦函数5.反三角函数第九页，共六十八页，编辑于2023年，星期二反正切函数反余切函数五种基本初等函数第十页，共六十八页，编辑于2023年，星期二例1√P9例7P10例8第十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期二例2解第十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期二例3解相关练习题见P21T4及P22T15第十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期二简单函数是基本初等函数或基本初等函数和常数经过四则运算得到的函数.例4解第十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期二练习第十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期二二、数列的极限直观定义:

若当n

无限增大时,xn无限接近于某一确定的数值a，就称当n，{xn}的极限为a.第十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期二(1).有界性【定理1】P28

收敛的数列必定有界.注意：有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.(2).唯一性【定理2】每个收敛的数列只有一个极限.(3).保号性(4).保序性2.收敛数列的性质第十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期二三、函数的极限（一）自变量趋向无穷大时函数的极限第十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期二（二）自变量趋向有限值时函数的极限说明：左、右极限常用于考察分段函数在分段点处的极限.左极限:右极限:第十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期二

这是因为

例5

函数当x0时的极限不存在第二十页，共六十八页，编辑于2023年，星期二一、选择题练习第二十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期二（三）函数极限的性质1.局部有界性：2.唯一性：若存在,则极限唯一。即若且则a=b第二十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期二【定理3】(局部保号性)3.局部保号推论1(保序性)第二十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期二（四）曲线的渐近线(1)铅直渐近线例如有铅直渐近线:第二十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期二再如有铅直渐近线两条:第二十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期二(2)水平渐近线例如有水平渐近线两条:第二十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期二函数极限的统一定义(见下表)小结第二十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期二过程时刻从此时刻以后

过程时刻从此时刻以后

第二十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期二四、无穷小与无穷大极限为零的函数称为无穷小量；定理2在同一变化过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3

无穷小与有界量的乘积是无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.第二十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期二定理5

在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.第三十页，共六十八页，编辑于2023年，星期二五、极限四则运算法则定理1第三十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期二三、求极限例题分析类型一满足极限运算法则条件，可直接用法则；结论

当0)(0=xQ且0)(0¹xP时,

¥=®)()(lim0xQxPxx.

当Q(x0)P(x0)0时约去分子分母的公因式(xx0)第三十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期二例6解第三十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期二解例7(消去零因子法)消去零因子法:

通过恒等变形消去不为0的无穷小因子在求极限类型二不能直接用法则，但经适当变形处理后能用法则；第三十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期二例8解(无穷小因子分出法)无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子分母,以分出无穷小,然后再求极限.第三十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期二解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例9类型三不能直接用法则，变形处理后也不能用法则；须利用无穷大无穷小的性质求之。第三十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期二结论:注：结论中自变量的变化过程是趋向无穷大，而非趋于有限值x0.可当公式使用！第三十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期二例10解左右极限存在且相等,类型四分段函数分段点的极限第三十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期二以下做法正确如否？为什么？问答题第三十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期二1.两个准则:2.两个重要极限两边夹准则;单调有界准则

.六、极限存在准则、两个重要极限适用于由幂函数和三角函数构成的分式函数或三角函数的分式函数，且在同一变化过程中，分子、分母的极限均为零的类型.第四十页，共六十八页，编辑于2023年，星期二无穷小的具体形式可以千变万化！注：无穷小无穷小第四十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期二无穷小无穷小无穷大无穷大第四十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期二注：无穷小无穷小无穷大无穷大

做题时必须通过恒等变换或变量代换化成此种类型，才能利用结论。第四十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期二例11解第四十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期二例12

解：第四十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期二例13解:例14解:例15解：原式＝第四十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期二一个很有用的结论定义形如的函数称为幂指函数如何求幂指函数的极限呢？如果那么可以证明第四十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期二定义:七、无穷小的比较第四十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期二例16证常用等价无穷小:第四十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期二

等价无穷小代换定理意义

可以将式中复杂的无穷小因子代换成简单的等价无穷小第五十页，共六十八页，编辑于2023年，星期二例17解：!!!不能滥用等价无穷小代换.!!!对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意：第五十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期二例18解：错解：第五十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期二八、函数的连续性第五十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期二例19解:右连续但不左连续,第五十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期二第五十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期二1.跳跃间断点2.可去间断点第一类间断点

第五十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期二1.跳跃间断点例20解:第五十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期二2.可去间断点例21解:第五十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期二如例21中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点注意

可去间断点只要改变或者补充间断点处函数的定义,则可使其变为连续点.第五十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期二3.第二类间断点例22解:第六十页，共六十八页，编辑于2023年，星期二例23解:重要题型！第六十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期二初等函数的连续性连续函数做有限次的四则运算及复合运算依然连续，连续函数的反函数连续.定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.定理5基本初等函数在其定义域内是连续的.第六十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期二定理1(最大值最小值定理)

在闭区间上的连续函数有界且一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)

闭区间上的连续函数必有界.根的存在性定理定理4

在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.第六十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期二例24证：由零点定理,第六十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期二例25证：由零点定理,第六十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期二建议同学们做一下下列课后练习题第六十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期二1.多项式与某些分式函数代入法求极限;2.消去零因子法求极限;3.无