高考全国乙卷：《理科数学》2022年考试真题与答案解析

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高考全国乙卷：2022年《理科数学》考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集，集合M满足，则（）A．B．C．D．[答案]A2．已知，且，其中a，b为实数，则（）A．B．C．D．[答案]A3．已知向量满足，则（）A．B．C．1D．2[答案]C4．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（）A．B．C．D．[答案]D5．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（）A．2B．C．3D．[答案]B6．执行下边的程序框图，输出的（）A．3B．4C．5D．6[答案]B7．在正方体中，E，F分别为的中点，则（）A．平面平面B．平面平面C．平面平面D．平面平面[答案]A8．已知等比数列的前3项和为168，，则（）A．14B．12C．6D．3[答案]D9．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．B．C．D．[答案]C10．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大[答案]C11．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（）A．B．C．D．[答案]C12．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（）A．B．C．D．[答案]D

二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分．13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_______．[答案]314．过四点中的三点的一个圆的方程为_______．[答案](x-2)2+(y-3)或(x-4315．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为_______．[答案]316．己知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是_______．[答案](三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17﹣21题为必考题，每题12分，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，每题10分，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分．17．记的内角的对边分别为，已知．（1）证明：；（2）若，求的周长．[答案]（1）证明过程如下：已知sinC·sin(A﹣B)=sinB·sin(C﹣A)化简得：SinC·SinA·cosB﹣SinC·cosA·sinB=SinB·SinC·cosA﹣SinB·cosC·sinA由正弦定理可得：ac·cosB﹣bc·cosA=bc·cosA﹣ab·cosC即ac·cosB=2bc·cosA﹣ab·cosC由余弦定理可得：aca2（2）证明过程如下：由（1）可知；b2+c所以2bc=31因为b所以b+c=9，a+b+c=14所以△ABC的周长为14。18．如图，四面体中，，E为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．[答案]（1）证明过程如下：因为AD=CD，∠ADB=∠BDC且BD为公共边，所以△ADB与△BDC全等，有AB=BC。因为E是AC中点，且AD=CD，所以DE⊥AC，同理EB⊥AC。又因为DE∩BE=E，且均内含于平面BED，所以AC⊥平面BED。又因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD（2）证明过程如下：在△ABC中，AB=2，∠ACB=60°，AB=BC，所以AC=2，BE=3在△ACD中，AD⊥CD，AD=CD，AC=2，E为AC中点，所以DE⊥AC，DE=1又因为DE=2，所以DE2+BE2=BD2，即DE⊥BE所以直线AC、ED和EB两两相互垂直。由点F在BD上，且△ADB与△BDC全等，所以AF=FC。由于E为AC中点，所以EF⊥AC。当△AFC的面积最小时，EF⊥BD。在Rt△DEB中，因为BE=3，DE=1，所以EF=32，BF=3如图所示，以点E位坐标原点，直线AC、EB、ED分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。C(﹣1,0,0)、A(1,0,0)、B(0,3,0)、D(0,0,1)、F(0,34,3BD=(0,-3,1)，AD=(﹣1,0,1)，BC=(﹣1,-3因为CF=BF-BC=34BD-BC设平面ABD的法向量为m=(x,y,z)可得BD·m=0AD·m=0，设y=1，所以m=(设m与CF所成的角为α，CF与平面ABD所成的角为θ。得sinθ=cosα=m∙CFm所以，CF与平面ABD所成的角的正弦值为4319．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数．[答案]（1）设这种树木平均一棵的根部横截面积为x，平均一个的材积量为y，则x=y=（2）r=（3）设从根部面积总和为X，总材积量为Y，则XY故Y=3.90.6×186=1209（20．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．[答案]（1）设E的方程为x2将A、B两点代入得：4解得a2=3，b2=4。故E的方程为：x2（2）证明过程如下：由点A、B，可得直线AB：y=2①若过P(1,2)的直线的斜率不存在，直线为x=1。代入x23+y24=1，可得M(1,26将y=263代入AB：y=23x-2，可得T由MT=TH，得H(26+5,故直线HN为：y=2-26②若过P(1,﹣2)的直线的斜率存在，设kx－y－(k+2)=0，M(x1,y1)，N(x2,y2)。联立kx得(3k2+4)x2﹣6k(2+k)x+3k(k+4)=0。故有x1+x2=联立y=y1y=23x-2，可得T(3y12+3，y1)，H(3解得HN：y-将（*）代入，得24k+12k2+96+48k﹣24k﹣48﹣48k+24k2﹣36k2﹣48=0。显然成立。综上，可得直线HN过定点(0,﹣2)。21．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．[答案]（1）y=2x；（2）a＜﹣1。解析过程：略。（二）选考题22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．[答案]（1）由ρsin(θ+π3)+m=0ρ(sinθcosπ3+cosθsinπ3即ρ(12sinθ+32cosθ)+m=0，12y+3故I的方程为：3（2）证明过程如下因为x=3得x=3联立x=3-32y23x+y+2m=0