2021-2022学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1.直线x-y+l=0的倾斜角是（）

A.30。B.45。C.135。D.150°

【答案】B

【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解.

【详解】直线x-y+l=o的斜率氏=1,设其倾斜角为es°wevi8o0）,.•.tane=l,得

0=45°.

故选从

【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础的计算题.

2.在二项式（l+2x＞的展开式中，含4的项为（）

A.32x3B.16x3C.8x3D.4x3

【答案】A

【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的基指数等于3,求得r的值，即可

求得含X.，的项.

【详解】解：二项式（1+2x1的展开式的通项公式为T=Cr-2r-Xr,

r+14

令r=3,故开式中含xs项为。2.3=32x3,

4

故选：A

3.已知a,B是两个不同的平面，/,m,〃是三条不同的直线，下列一定能得到/，a

的是（）

A.I//m,m±aB./±/«,m//a

C.a1P,I//PD.IA.m,lln,mua,〃ua

【答案】A

【分析】根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定A正确，举反例可

判定BCD错误.

【详解】A.若mJ_a,则直线，"与平面a内的所有直线都垂直，又/〃〃7,.♦"与平面a

内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得/，a,故A正确；

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B.若〃?〃a,设过机的平面P与a交于"，则根据线面平行的性质定理可得相〃〃，在

平面a内，作直线则/_L〃?，而此时/在平面a内，故B错误；

C.若。，0,设anp=a,在平面a内作直线〃/八贝i"ap,由线面平行的判定定理

可得/〃B,而此时/在平面a内，故C错误；

D.若/_!_〃?，/In,mca,〃ua,当小，〃平行时，/与平面a可平行，可在内，也可

斜交，也可垂直，故D错误.

故选：A.

4.现从甲、乙等7名大学生中选出3人担任北京冬奥会的志愿者，要求甲、乙至少1

人入选，则不同的选法共有（）

A.10种B.20种C.25种D.35种

【答案】C

【分析】利用组合数计算总的选法种数和甲、乙都不入选的选法种数，作差即得所求

【详解】从7人中选3人，有C3=35种选法，其中甲、乙都不入选的有C?=10种选法，

75

所以要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有35-10=25种，

故选:C

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5.已知直线/］：("?+2)x-(w-2)y+2=0,.S^/2：3x+Gn+2)y-5=0,若I_L/,,贝1|加=

()

A.2或一5B.一2或一5C.2或5D.-2或5

【答案】D

【分析】直线Ax+Bv+C=0与直线Ax+By+C=0垂直的充要条件是A4+BB=0,

III2221212

根据题意即可得到：3(,"+2)-(相-2)。"+2)=0,然后解得结果即可

【详解】根据题意，由/1/，则有：33+2)-("-2)凉+2)=0

I2

解得：机=-2或m=5

故选：D

6.牙雕套球又称“鬼工球"，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高.现有

某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为6471cm2和36ncm2的同心球(球壁的厚度忽

略不计)，在外球表面上有一点A,在内球表面上有一点8,连接AB,则线段48长度

的最小值是()

A.1cmB.2cmC.3cmD.■TTicm

【答案】A

【分析】利用球的表面积公式分别求的外球和内球的半径，两半径之差即为所求

【详解】设外球和内球的半径分别为R和r,则4兀4=64兀,4兀厂2=36兀，解得R=4,r=3,

当B在大球的过A的半径上时AB的长最小，

.••AB长度的最小值是R-，=l(c”)，

故选：A

7.过等轴双曲线心-)，2="(〃>0)的右焦点尸作两条渐近线的垂线，垂足分别为

N,若AFMN的面积为2,则a的值为()

A.^2B.2C.2点D.4

【答案】B

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【分析】求出过右焦点F与y=x垂直的直线，然后与渐近线方程联立，求出点”的坐

标，根据对称性得点N的坐标，则可得表示出AFMN的面积，然后解方程即可.

【详解】双曲线为上-丝=i,右焦点尸g,。），

。2

由已知双曲线的一条渐近线方程为y=x,

则过右焦点F与'垂直的直线为y=-x+£/

x=----a

y=x2

联立f-,解得，

y=—x+72a近

y=~a

近

不妨取,则根据对称性得N------a

2

-''S^FMN2X~0+~

\

解得a=2

故选：B.

8.如图，某系统由A,B,C,。四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响,

且零件A,B,C,。正常工作的概率都为p(0<p<D,则该系统正常工作的概率为()

i-r-n—rn—1

——ID—

-------EZZI-

A.[l-(l-p)p2]pB.[l-pG-pzjp

C.[l-(l-p)G-p2)]pD.[l-(l-p)2p]p

【答案】C

【分析】要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，。必须正常，然后利用独

立事件，对立事件概率公式计算.

【详解】记零件或系统X能正常工作的概率为尸（X）,

该系统正常工作的概率为:pt（AB）uC]cZ）｝=p[（AB）uC]P（O）

\-P

=[1-(1-P(AB))(1一P(C))]P(O)=[1一(1-p2)(l-p)]p,

故选：C.

二、多选题

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9.已知圆。：心+>=1的半径为r圆。：x2+”-3x-4y+4=0的半径为贝lj()

1122

A.r>rB.r<r

12I2

C.圆。与圆。外切D.圆。与圆。外离

1212

【答案】BC

【分析】根据圆与圆的位置关系即可求解.

【详解】解：圆。“2+y2=l的半径为『=1,圆0：卜-3丫+6-2)=2的半径为

1I2I2)4

3

r0=-,故故B对，A错；

2212

圆心距d=J(T-oj+(2-o>=g={+q,故圆q与圆q外切，故C对，D错；

故选：BC.

2022

10.若(1-x)=a+ax+aX2+―+aX2022,则()

0122022

A.展开式中所有的二项式系数之和为22022

B.展开式中二项式系数最大的项为第1012项

C.a=\

o

D.a+a+…+。=0

I232022

【答案】ABC

【分析】利用二项式系数的性质可以判定AB;利用赋值法可以判定CD.

【详解】展开式中所有项的二项式系数和为C。+。+…+C2O22=22O22,故A正确；

202220222022

展开式中第1012项的二项式系数为。。“，是所有项的二项式系数中的最大值，故B正

2022

确；

在二项式展开式中，令x=0可得0=1,故C正确；

0

令x=1可得〃+。+...+a=0,.\。+...+。=—ci=-1,故D错误.

0I2022I20220

故选：ABC

11.如图，已知抛物线”=2px(p>0)的焦点为F,过点尸且斜率为行的直线与抛物

线交于两点A，B,与抛物线的准线交于点。，忸同=1,则()

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yt

A.\BD\=2B.p=|

C.点A到准线的距离为2D.点F为线段4?的中点

【答案】ABD

【分析】作AC_L准线/于点C,AM_Lx轴于M,BE_L准线/于点E.BH_Lx轴于M,

3

计算得到P=］，逐项分析，得到答案.

【详解】如图所示：作AC,准线/于点C，AMlx轴于M,准线/于点E.BHYx

轴于历，直线的斜率为6,

所以tanN”EB=£,.../“尸8=三，所以=巴，故I1=21BEI=218/1=2,故A

36

正确;

\HF\=^\HB\=^-,BU

31

代入抛物线，得〃=2（〃=-5舍去），故B正确；

对于C,由B选项得，直线A8方程为：y=gx-空,与抛物线方程联立得:

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故点A到准线的距离为4+3=3,故C错误；

24

对于D,由C选项得,|4目=3=|尸£>|,点F为线段A。的中点，故D正确.

故选：ABD.

12.如图，点P在棱长为1的正方体ABCO-ABCQ的对角线3。上运动，过点尸作

11111

垂直于平面的直线，与正方体表面相交于E,F两点.设=EF=f(x),

II

则()

A.动点E运动形成的轨迹长度为於

B.线段E尸运动形成的图形面积为直

2

肝

Cc・JI4J1---3-47~

D.当q<x<£时，/(x)=^C/T-x)

【答案】ABD

【分析】作出线段E尸运动形成的图形，根据图形特点对选项一一判断即可.

【详解】线段EF运动形成的图形如图所示：

动点、E运动形成的轨迹长度为BE+ED[==75,故A正确；

线段E尸运动形成的图形为平行四边行BE。F其面积为

1

11

5=25,„r,=2xEFBP=2x―,故B正确；

BEF2222

当8尸=也，则/向*,故C错误；

41口22

1-—X_EFr-/\

当它有时，有飞L=7?,则/(/)=即=任故D正确;

2—3

2

故选：ABD

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三、填空题

13.计算：A2+O=.

44

【答案】16

【分析】根据排列数和组合数的公式计算即可.

【详解】A2+G=4x3+4=16

44

故答案为：16.

14.已知向量£=（1,一2,3）,否=。一1,3-九,-6）,若£〃九则实数入=.

【答案】-1

【分析】由题意可知七==二==，解方程，即可求出结果.

X-l3-X-6

1-?3

【详解】因为£〃几所以「=丁丁=-7,所以九=T.

故答案为：-1.

15.甲、乙、丙、丁、戊五名学生参加劳动技术比赛”，决出第一名到第五名的名次，

甲、乙、丙去咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是亚军，乙不是五人中成绩最好的，

丙不是五人中成绩最差的，而且五人的成绩各不相同则他们五人不同的名次排列共

有种情况.（用数字填写作答）

【答案】14

【分析】由题意，可分两类，丙的成绩是最好的和丙的成绩不是最好的，根据分类分步

计数原理可得.

【详解】解：若丙的成绩是最好的，则有屈=6利I

3

若丙的成绩不是最好的，从甲乙丙之外的2人中选1人为成绩最好，再选一人为成绩最

差的，其它任意排，故有怦代=8种,

故共有6+8=14种,

故答案为：14.

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16.如图所示，底面半径为3,高为8的圆柱内放有一个半径为3的球，球与圆柱下底

面相切，作不与圆柱底面平行的平面a与球相切于点凡若平面a与圆柱侧面相交所得

曲线为封闭曲线C,且C是以尸为一个焦点的椭圆，则C的离心率的最大值为_____.

Q

【答案】-

【分析】根据题意，找到椭圆离心率最大的位置点是关键，要保证该椭圆是以切点尸为

焦点，则需要新加一个相同大小的球从圆柱上方放入，使得平静也与该球相切，最后

通过建立平面直角坐标系，求得椭圆的离心率

【详解】

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II

根据题意，可再新增一个半径为3的球从圆柱上方放入，设平面。分别交两个球于点。

和点尸，则可得：点尸和点尸是椭圆的两个焦点

212

当且仅当G2在圆柱上平面上时，此时椭圆的离心率取得最大值

如上图所示，G,C为圆柱的高，。尸为球的半径，则FF为2c,GG为方，然后建立

2111212

以4为坐标原点，以4E为x轴，以4G为丫轴的平面直角坐标系，

1I1I2

易知：GA=8—3=5,OF=3

2111

圆。।的方程为：（x-3>+/=9

设直线GG的斜率为％,则该直线的方程为：y=H+5

I2

根据相切可知：点。1到直线QG,的距离为3

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\3k+5\

则有：/—3

J1+&2

Q

解得：

Q

故直线GG的方程为：y^-x+5

1215

则有：^（6,||

则|GG|=2〃=?

因O£_LG£,则直线。f的方程为“与一

8<

>=廿5

联立直线Gg和直线。£的方程：

y=—G-3)

•8

可解得:椭制

9

则GF—a—c——

||5

Q

解得：C=|

CQ

故椭圆的最大离心率为：6=上=白

a17

Q

故答案为：—

【点睛】立体几何与圆锥曲线相结合的题目，难度较大，可先将立体几何转化为平面几

何进行分析，进而简化问题，然后运用平面几何的知识求解问题

四、解答题

17-已知双曲线C：十余（＞。）的左、右两个焦点分别为耳，为焦距为8,M是

双曲线上的一点.

（1）求C的离心率和渐近线方程;

(2)若网=5,求际J-

【答案】(l)e=2,y=±5/3.1-

⑵|”|=9

【分析】（1）由已知直接求。、b、c,再求离心率和渐近线方程；

（2）根据双曲线定义直接求解，注意双曲线上的点到焦点的最小距离为一.

（1）

由题知：b=20。=4

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所以a=Jc2-62--2

所以双曲线C的离心率e=2,渐近线方程为y=±£x.

(2)

由双曲线定义知：||M4|-W1||=2a=4

•.•|MF|=5

明=9,或附=1

又l<c—a=2,故=1不满足

,I明=9.

71

18.如图所示，在Rt/XAOB中，NOAB=—,斜边A8=4.现将Rt/XAOB以直角边A。

6

为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且ZBOC=2，点。是线

2

段A8的中点.

(1)求直线CD与OA所成角的余弦值；

(2)求点B到平面的距离.

【答案】⑴手

⑵石

【分析】(1)取08中点连接则可得NCDM为直线CQ与04所成角或其补

角，在中计算其余弦值即可；

(2)过B作BN10D交0D于N,通过证明8N，面。C。可得线段BN的长即为点B

到平面0CD的距离，在△OZ)M中计算8N的长度即可.

(1)

取08中点用，连接。M,CM,

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因为£>,M分别为氏4,8。的中点，则。M〃AO

则NCDM为直线CD与0A所成角或其补角，

因为40_L面。。，则DWJL面。。，

又C/u面。。，则。

:ZBOC=­,..CM=JOC2+OM2=&2+T=B

又DM」A0=，x4x3=6

222

CD=4CM2+DMZ=*

DM甘_瓜

cosZCDM示一衣一彳

即直线8与。A所成角的余弦值衅;

⑵

过8作BN_L。。交。。于N,

■：C01OB,CO1OA,OBHOA=0,

.1COJ■面048,又BNu面。AB,

COA.BN,又而VJ_OQ,COnOO=。，

8NJ_面OCD,

则线段8N的长即为点B到平面OCD的距离,

\-S八CX6=2BN，

PBD▼

:.BN=下.

即点B到平面0CD的距离为JT

【点睛】19.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1,2,3,其中1号箱装有1

个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除

颜色外完全相同.小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事

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件AG=1,2,3）表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”.

•O•••

OOOO••

⑴分别求P（84）,P（BA）,P（A4）和p（B）的值;

123

（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由.

【答案】⑴「（BA）=-!-,P（BA）=-,P（&4）=?，P（B）=—.

112263312

（2）来自3号箱的概率最大,理由见解析.

【分析】（1）利用条件概率公式「（84）=人4）尸（814）,计算即可求得月（84）,P（BA）,

iii12

P（BA）.三式求和即得户（B）；

（2）利用条件概率公式分别计算P（A"）,P（ALB）,尸（A山），最大者即为所求箱号.

123

（1）

由已知可得P（A）=P（A）=P（A）=1,

1233

P（BL4）=、尸（BIA）=2,P（B\A）=%

I42433

二P（BA）=P（A）P（BIA）=-x-=—,

।।i3412

101

P（BA）=P（A）P（BIA）=-x-=-,

222346

P（BA）=P（A）P（BIA）=1x3」，

333，333

...P（B）=P（BA）+P（BA）+P（8A）=-L+_L+_L=2_.

'23126312

（2）

1

尸（A8）尸（A8）_e_2

P（A山）=4

=尸曲=7=7"4出）=，器）=;

1尸而一7r"坐）=7

121212

P（AJB）最大,即若小明取出的球是黑球,该黑球来自3号箱的概率最大.

20.己知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F,点M（p-l,p）在抛物线C上.

（1）求抛物线C的方程及其准线方程；

（2）过点〃的直线/与抛物线C相交于M,N两点，且△MFN的面积为3,求直线/的方

程.

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【答案】⑴y2=4x；x=-l

⑵2x-3y+4=0或2x+y-4=0

【分析】(1)将点”代入计算即可；

(2)设直线/的方程为x=k(y-2)+l,N(x,y),与抛物线方程联立，消去X,可求

00

出再求出直线与X轴交点坐标，再利用S,=；|2-八||/°|列方程求解即可.

(1)

由已知得p2=2p(p-l),解得p=2.

所以抛物线C的方程为W=4x,其准线方程为x=-l；

(2)

由(1)得M(l,2),F(1,O),

设直线/的方程为x=My—2)+1,N(x,y),

00

[y2=4x

联立__2)+]，消去X得》2_46+8攵_4=0,

2+y=4k,则y=4k—2

oo

又直线/与X轴交点坐标为Q(-2k+1.0),

••^=1|2->JN=1|2-(4Z:-2^|-2ZC+1-1|=3

解得&=2或忆=-!

22

所以直线/的方程为x=；(y-2)+l或x=-；(y-2)+l,

即2%-3)，+4=0或2工+丫-4=0.

21.如图，在多面体ABCDE/中，平面ACE/U平面ABC£>,ADIIBC,AB1ADAD=2,

AB=BC=1.

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（1）求证：CD_L4F；

⑵若四边形ACEF为矩形，且/EDC=30。，求直线。尸与平面。CE所成角的正弦值；

（3）若四边形ACE尸为正方形，在线段4尸上是否存在点尸，使得二面角P-BO-A的余

弦值为（？若存在，请求出线段4尸的长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析

⑵巨

7

⑶存在，AP=\

【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理经过计算可证得ACJ-CD,

然后根据已知条件，利用面面垂直的性质定理可证得C£>1平面ACEF,从而证得结论；

（2）根据已知条件利用面面垂直的性质定理可证得AFHBAD两两垂直，以A为原点，

以射线A3、AD.AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.然后利用空间向量运算求得；

（3）与（2）同样建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解

（1）

VADIIBC,二四边形ABCC为直角梯形，

又；AB=BC=1,ZBAC=45°,AC=Q,：.ZCAD=45°,

又,：AD=2,：.CD=yjADi+AC2-2AD^CcosACAD=卜+2-2乂2*壶*孝=日

/.AC2+CD2=AD2,：.ACLCD,

又平面ACEF_L平面ABCD,平面ACE/TYF面ABC£>=AC,COu平面ABCD,

.•・CO1平面ACEF,

又YAFu平面4CEF,

:.CD1AF

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⑵

;四边形ACEF为矩形，.•.4F_LAC,

又・平面4CEF_L平面ABCD,平面ACEFCl平面ABCD=4C4Fu平面ACEF,

."尸"1_平面A8C2CEJ"平面ABCD

."凡48工。两两垂直，

以A为原点，以射线AB、A。、4F为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图所示

♦；4F_L平面ABCDMHCE,：.CE±5F®ABCD,

又NEDC=30°,：.CE^CDtan300=石x如=遍，

33

.”(0,0,0),B(0,1,0),C(l,1,0),。(2,0,0).(0,0,旦),E(1,1逸)，

33

DF=-2,0,,由AC_LC£>lC_LC2CEnCf)=C,，4C_L平面CDE,

二平面COE的法向量为衣=(1,1,0),

ACDF2

二直线。尸与平面C0E所成的角的正弦值为向前7

(3)

若ACE尸为正方形，则与(2)同理可得AAAB4。两两垂直，以A为原点，以射线48、

AD,AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.

.M(0,0,0)Q(0,1,0),C(1,l,0),D(2,0,0),F(0,0,五),E(1,1,后，

设P(0,0,f)(0<f<£，平面PBD的法向量为n=G,%Z)

PD=(2QT),BD=(2,T,0),则?T'=，,令x=f,则y=2f,z=2,万=G,2r,2),

=0

平面AB。的法向量为行=(0,0,1),

22

.•Jcosm,n|=/~=-，解得f=1,

*+4/2+4x15

2

在线段AF上存在点P,使得二面角尸-BO-A的余弦值为线段A尸的长为1.

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22.如图，已知圆F:（x-3>+y2=100,动圆P过点尸（-3,0）且与圆片内切于点N,

I2I

记动圆圆心P的轨迹为E.

（1）求E的方程；

⑵过点时（见0）（m>5）的直线/（不与x轴重合）与E交于A,B两点,点C与点B关

于x轴对称，直线AC与x轴交于点°,已知点。（5,0）,试问篇得L是否为定值？

若是，请