系统工程课件

系统工程第四章

系统仿真及SD方法2023/6/71引例第一节系统仿真概述第二节系统动力学概述第三节基本反馈回路的DYNAMO仿真分析第四节DYNAMO函数第五节Vensim_PLE仿真软件使用简介第四章系统仿真及SD方法2023/6/72反馈回路图1、故事演绎：假如你给老鼠一块曲奇饼2023/6/73要一块曲奇饼，充饥吃饼口渴，要一杯牛奶精神抖擞，翻箱倒柜吃饱喝足，要剪刀和刷子打扮自己耗尽全力，口干舌燥饥饿的小老鼠2023/6/74思考1、在这个故事里，发生了什么？2、试举一个类似的例子，说明一件事影响另一件事，另一件事又影响其他事，最后你转了一圈，又返回到开始的地方。3、用一个故事或画一幅画，讲述因果回路。2023/6/752023/6/76第一节系统仿真

所谓系统仿真，就是根据系统分析的目的，在分析系统各要素性质及其相互关系的基础上，建立能描述系统结构或行为过程的、且具有一定逻辑关系或数量关系的仿真模型，据此进行试验或定量分析，以获得正确决策所需的各种信息。

这是近30年来发展起来的一门新兴技术学科。研究对象通常是社会、经济、军事等复杂系统，一般都不能通过真实的实验来进行分析、研究。因此，系统模拟仿真技术就成为十分重要甚至必不可少的工具。

一、系统仿真的概念、实质及作用1.基本概念2023/6/772、系统仿真的实质(1)它是一种对系统问题求数值解的计算技术。尤其当系统无法通过建立数学模型求解时，仿真技术能有效地来处理。(2)仿真是一种人为的试验手段。它和现实系统实验的差别在于，仿真实验不是依据实际环境，而是作为实际系统映象的系统模型以及相应的“人造”环境下进行的。这是仿真的主要功能。(3)仿真可以比较真实地描述系统的运行、演变及其发展过程。2023/6/783、系统仿真的作用(1)仿真的过程也是实验的过程，而且还是系统地收集和积累信息的过程。尤其是对一些复杂的随机问题，应用仿真技术是提供所需信息的唯一令人满意的方法。(2)对一些难以建立物理模型和数学模型的对象系统，可通过仿真模型来顺利地解决预测、分析和评价等系统问题。2023/6/79(3)通过系统仿真，可以把一个复杂系统降阶成若干子系统以便于分析。(4)通过系统仿真，能启发新的思想或产生新的策略，还能暴露出原系统中隐藏着的一些问题，以便及时解决。2023/6/710二、系统仿真方法系统仿真的基本方法是建立系统的结构模型和量化分析模型，并将其转换为适合在计算机上编程的仿真模型，然后对模型进行仿真实验。由于连续系统和离散(事件)系统的数学模型有很大差别，所以系统仿真方法基本上分为两大类，即连续系统仿真方法和离散系统仿真方法。2023/6/711在以上两类基本方法的基础上，还有一些用于系统(特别是社会经济和管理系统)仿真的特殊而有效的方法，如系统动力学方法、蒙特卡洛法等。系统动力学方法通过建立系统动力学模型(流图等)、利用DYNAMO仿真语言在计算机上实现对真实系统的仿真实验，从而研究系统结构、功能和行为之间的动态关系。2023/6/7121、由来与发展SystemsDynamics,SD/J.W.Forrester(美国麻省理工学院弗雷斯特(MIT)IndustridlDynamics(ID),1959PrinciplesofSystems,1968UrbanDynamics(UD),1969WorldDynamics(WD),1971SD,1972

50年代末到70年代初，是ＳＤ成长的重要时期。之后经历了两次严峻的挑战，进入蓬勃发展时期。2023/6/7131.系统动力学发展历程Systemdynamicswascreatedduringthemid-1950sbyProfessorJayW.ForresteroftheMassachusettsInstituteofTechnology.三、系统动力学的发展及特点2023/6/7141.系统动力学发展历程J.W.Forrester等教授在系统动力学的主要成果：1958年发表著名论文《工业动力学——决策的一个重要突破口》，首次介绍工业动力学的概念与方法。1961年出版《工业动力学》(IndustrialDynamics)一书，该书代表了系统动力学的早期成果。1968年出版《系统原理》(PrinciplesofSystems)一书，论述了系统动力学的基本原理和方法。1969年出版《城市动力学》(UrbanDynamics)，研究波士顿市的各种问题。1971年进一步把研究对象扩大到世界范围，出版《世界动力学》(WorldDynamics)一书，提出了“世界模型II”。2023/6/7151.系统动力学发展历程1972年他的学生梅多斯教授等出版了《增长的极限》(TheLimitstoGrowth)一书，提出了更为细致的“世界模型III”。这个由罗马俱乐部主持的世界模型的研究报告已被翻译成34种语言，在世界上发行了600多万册。两个世界模型在国际上引起强烈的反响。1972年Forrester领导MIT小组，在政府与企业的资助下花费10年的时间完成国家模型的研究，该模型揭示了美国与西方国家的经济长波的内在机制，成功解释了美国70年代以来的通货膨胀、失业率和实际利率同时增长的经济问题。(经济长波通常是指经济发展过程中存在的持续时间为50年左右的周期波动

)2023/6/7161.系统动力学发展历程系统动力学的发展过程大致可分为三个阶段：(1)系统动力学的诞生—20世纪50-60年代 由于SD这种方法早期研究对象是以企业为中心的工业系统，初名也就叫工业动力学。这阶段主要是以福雷斯特教授在哈佛商业评论发表的《工业动力学》作为奠基之作，之后他又讲述了系统动力学的方法论和原理，系统产生动态行为的基本原理。后来，以福雷斯特教授对城市的兴衰问题进行深入的研究，提出了城市模型。2023/6/7171.系统动力学发展历程(2)系统动力学发展成熟—20世纪70-80年代这阶段主要的标准性成果是系统动力学世界模型与美国国家模型的研究成功。这两个模型的研究成功地解决了困扰经济学界长波问题，因此吸引了世界范围内学者的关注，促进它在世界范围内的传播与发展,确立了在社会经济问题研究中的学科地位。2023/6/7181.系统动力学发展历程(3)系统动力学广泛运用与传播—20世纪90年代-至今在这一阶段,SD在世界范围内得到广泛的传播,其应用范围更广泛,并且获得新的发展.系统动力学正加强与控制理论、系统科学、突变理论、耗散结构与分叉、结构稳定性分析、灵敏度分析、统计分析、参数估计、最优化技术应用、类属结构研究、专家系统等方面的联系。许多学者纷纷采用系统动力学方法来研究各自的社会经济问题，涉及到经济、能源、交通、环境、生态、生物、医学、工业、城市等广泛的领域。2023/6/7191.系统动力学发展历程国内系统动力学发展状况

20世纪70年代末系统动力学引入我国，其中杨通谊，王其藩，许庆瑞，陶在朴，胡玉奎等专家学者是先驱和积极倡导者。二十多年来，系统动力学研究和应用在我国取得飞跃发展。我国成立国内系统动力学学会，国际系统动力学学会中国分会，主持了多次国际系统动力学大会和有关会议。目前我国SD学者和研究人员在区域和城市规划、企业管理、产业研究、科技管理、生态环保、海洋经济等应用研究领域都取得了巨大的成绩。2023/6/720Forrester教授与王其藩在其MIT办公室2023/6/7212.研究对象（1）研究对象——社会系统（2）社会经济系统的突出的特点

①抉择性——具有决策环节（人、信息）②自律性——具有反馈环节③非线性——具有延迟环节（3）SD将社会系统当作非线性(多重)信息反馈系统来研究2023/6/7223.模型特点（1）多变量（2）定性分析与定量分析相结合（3）以仿真实验为基本手段和以计算机为工具（4）可处理高阶次、多回路、非线性的时变复杂系统问题2023/6/723系统动力学一个突出的优点在于它能处理高阶次、非线性、多重反馈复杂时变系统的问题。高阶次：系统阶数在四阶或五阶以上者称为高阶次系统。典型的社会一经济系统的系统动力学模型阶数则约在十至数百之间。如美国国家模型的阶数在两百以上。多重回路：复杂系统内部相互作用的回路数目一般在三个或四个以上。诸回路中通常存在一个或一个以上起主导作用的回路，称为主回路。主回路的性质主要地决定了系统内部反馈结构的性质及其相应的系统动态行为的特性，2023/6/724

而且，主回路并非固定不变，它们往在在诸回路之间随时间而转移，结果导致变化多端的系统动态行为。非线性：线性指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。线性关系是互不相干的独立关系，而非线性则是相互作用，而正是这种相互作用，使得整体不再是简单地等于部分之和，而可能出现不同于“线性叠加”的增益或亏损。实际生活中的过程与系统几乎毫无例外地带有非线性的特征。正是这些非线性关系的耦合导致主回路转移，系统表现出多变的动态行为。2023/6/725认识问题界定系统要素及其因果关系分析建立结构模型建立数学模型仿真分析比较与评价政策分析（因果关系图）（流图）（DYNAMOY方程）

4.工作程序2023/6/72627一、系统动力学的基本原理四个基本要素状态或水准信息决策与或速率行动或实物流两个基本变量水准变量速率变量一个基本思想反馈控制第二节系统动力学结构模型化原理

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系统与反馈：系统:一个由相互区别、相互作用的各部分(即单元或要素)有机地联结在一起，为同一目的完成某种功能的集合体。

反馈:系统内同一单元或同一子块其输出与输入间的关系。对整个系统而言，“反馈”则指系统输出与来自外部环境的输入的关系。2023/6/728反馈系统：反馈系统就是包含有反馈环节与其作用的系统。它要受系统本身的历史行为的影响，把历史行为的后果回授给系统本身，以影响未来的行为。如库存订货控制系统。反馈回路：反馈回路就是由一系列的因果与相互作用链组成的闭合回路或者说是由信息与动作构成的闭合路径。2023/6/729因果回路图(CLD):表示系统反馈结构的重要工具，因果图包含多个变量，变量之间由标出因果关系的箭头所连接。变量是由因果链所联系，因果链由箭头所表示。因果链极性：每条因果链都具有极性，或者为正(+)或者为负（-）。极性是指当箭尾端变量变化时，箭头端变量会如何变化。极性为正是指两个变量的变化趋势相同，极性为负指两个变量的变化趋势相反。期望水位水位差决定添水斟水速率杯中水位++-++2023/6/730反馈回路的极性：反馈回路的极性取决于回路中各因果链符号。回路极性也分为正反馈和负反馈，正反馈回路的作用是使回路中变量的偏离增强，而负反馈回路则力图控制回路的变量趋于稳定。确定回路极性的方法若反馈回路包含偶数个负的因果链，则其极性为正；若反馈回路包含奇数个负的因果链，则其极性为负。2023/6/731系统流图：表示反馈回路中的各水平变量和各速率变量相互联系形式及反馈系统中各回路之间互连关系的图示模型。

水平变量：也被称作状态变量或流量，代表事物(包括物质和非物质的)的积累。其数值大小是表示某一系统变量在某一特定时刻的状况。可以说是系统过去累积的结果，它是流入率与流出率的净差额。它必须由速率变量的作用才能由某一个数值状态改变另一数值状态。

速率变量：又称变化率，随着时间的推移，使水平变量的值增加或减少。速率变量表示某个水平变量变化的快慢。2023/6/732水平变量和速率变量的符号标识：

水平变量用矩形表示，具体符号中应包括有描述输入与输出流速率的流线、变量名称等。速率变量用阀门符号表示，应包括变量名称、速率变量控制的流的流线和其所依赖的信息输入量。

2023/6/733延迟：延迟现象在系统内无处不在。如货物需要运输，决策需要时间。延迟会对系统的行为有很大的影响，因此必须要刻画延迟机制。延迟包括物质延迟与信息延迟。系统动力学通过延迟函数来刻画延迟现象。如物质延迟中DELAY1，DELAY3函数；信息延迟的DLINF3函数。平滑：平滑是指从信息中排除随机因素，找出事物的真实的趋势，如一般决策者不会直接根据销售信息制定决策，而是对销售信息求出一段时间内的平均值。系统动力学提供SMOOTH函数来表示平滑。

2023/6/7342、负反馈系统与正反馈系统室温高，则热风量应减小，可在室温对热风调节影响的箭头上加一个负号。反之，热风量大，则室温增加，可在热风调节对室温影响的箭头上加一个正号。从整体上看，室温影响热风量，热风量又影响了室温。从室温回到了室温，这就是一个反馈关系。另一方面；这些互相影响是相互制约的。因为温度高，则热风量减小，使室温降低。反之，室温低，则增大热风量，使室温升高。这种关系称为负反馈。图6—3中用一个带负号的环来表示，这个环称为负反馈环，此处，负反馈环的目的是使室温接近恒定的温度。2023/6/735相反，正反馈环总是加大环内的偏差或扰动，它具有不平衡、不断增长的特性。例如在人口系统中，人口数增加了，每年所出生的人就增加，这就使人口数按指数规律很快地增长下去。这样，从“人口数”到“每年出生的人”又返回到“人口数”之间就存在一个正反馈（如图6—4）。增强而不是抵消环中某个元素的变化是所有正反馈环的共同特征。2023/6/7363、负反馈与正反馈系统的特征比较负反馈环的稳定性与正反馈环的不稳定性这两个特征的区别，可以通过一个正确地和一个错误地安装电热毯控制的故事来加以说明。一对夫妇有两条电热毯，两条毯子分别装有两个独立的温度调节装置：一个是丈夫的，一个是妻子的。正确连接时，应该构成两”“独立的负反馈系统，各自控制着自己那一块毯子的温度，使每个人都得到满足，如图6—5（A）。但是这对夫妇却把两块毯子的温度调节装置装错了。丈夫的温度调节装置接到了妻子的一端，妻子的却接到了丈夫的一端。结果就出现了如图6——5（B）所示的令人讨厌的正反馈。妻子觉得冷，就将她的控制器温度调高，致使丈夫一边的温度过高。丈夫却觉得热，于是将他的控制器温度调低，从而使的妻子一端的温度变低。因此，妻子再次把装置温度调高，如此下去，形成一种戏剧性的局面。2023/6/7372023/6/738例如，多建公路与立交桥并不一定就能够缓解交通拥挤，反而有可能刺激消费者购车的需求，进一步加重交通拥挤的情况。由此可见，反馈观点经常夸大反馈行为的某一影响，而忽略了其他影响。因而，完全依照反馈观点建立的模型很容易陷人简单片面的因果决定陷队也正是由此，建立在反馈观点之上的系统动力学与DYNAMO建模方法，不能不分场合地滥用，只有在诸多变量之间的关系可以比较确凿的认识时，系统动力学的建模方法才可能发挥较大的作用。表6—1列举了日常生活中常见的“反馈问题”及其对策。2023/6/7392023/6/740

系统动力学的反馈观点有一个潜在的假设：系统都是反馈系统，要解决这些系统中的复杂问题，就得逐个找出反馈结构与观察到的疑难问题之间的关系。但人们面临复杂问题时，却总是希望能将其归咎过于简化了的负反馈系统中，利用单一的针锋相对的行动对系统加以有效控制。事实上，现实中的系统通常情况下并不是依照直接的因果关系连接而成的，而是非线性的、动态的和层次的。与大多数人所期望的恰恰相反，只在很少的情况下，我们对于复杂系统中的问题才可能只采取相应的单一行动就可以解决。2023/6/741因果关系图因果环图主要用于模型概念化的前期阶段以及后来为非技术性文献所准备的关于模型结构的直观描述；

因果环图中的每一个影响关系都有正负之分，根据影响关系的积累效果就可以知道该环的特性。如图6—8所示，将酒倒人酒杯的决定会增加倒酒的速率，从而增加酒杯的存量，于是就减少了杯中酒的存量与期望存量的差距，从而削弱向酒杯中倒酒的决定倾向。很明显，这一反馈环是自行削弱的，因而是个负反馈环，这保证了倒酒的动作最终将停止。

2023/6/742由这个例子可以归纳出下列两条定理：（1）反馈环为正，如果它有偶数个负因果链；（2）反馈环为负，如果它有奇数个负因果链。因此，反馈环的极性实际上是组成环的所有影响关系符号的代数和。最后需要提醒读者的是，不要将开环误认为是反馈环。图6—9就不是一个反馈环。2023/6/7432023/6/744四、SD结构模型原理（1）常用要素流：是系统中的活动和行为。速率：系统中流的活动状态，是流的时间变化。水平变量：是系统中子系统的状态，是实物流的积累。源与汇参数：系统中的各种常数，或者说是在一次运行中保持不变的量。实物流信息流

L1R1R1辅助变量：作用在于简化R的表示，使复杂的决策函数易于理解。A1。(

)。2023/6/745①明确问题及其构成要素；②绘制要素间相互作用关系的因果关系图。注意一定要形成回路；③确定变量类型（L变量、R变量和A变量）。将要素转化为变量，是建模的关键一步。在此，应考虑以下几个具体原则：（２）建立ＳＤ结构模型或得到流图绘制程序和方法2023/6/746

a.水准（L）变量是积累变量，可定义在任何时点；而速率（R)变量只在一个时段才有意义。

b.决策者最为关注和需要输出的要素一般被处理成L变量。

c.在反馈控制回路中，两个L变量或两个R变量不能直接相连。

d.为降低系统的阶次，应尽可能减少回路中L变量的个数。故在实际系统描述中，辅助（A）变量在数量上一般是较多的。

④绘制SD流图。2023/6/747（３）举例

L1R1（利息1）C1(利率)IR1(订货量)库存量DY(期望库存)（库存差额）PR1R2(出生人口)(人口总量)(死亡人口)C1（出生率）C2（死亡率）组织改善组织绩效组织缺陷。

2023/6/748（４）注意事项此外，还有几个问题需要明确；（1）系统的动态变化是指系统状态随时间的变化，即自变量是时间。（2）系统的状态可用系统的一组指标表示，一个指标是一个量，只有确定了单位才可用一个数值来表示一个量。例如，室温是一个表示室内状态的量，以℃为单位，那么数值10表示室温10t的量。（3）控制指标的速率也具有相应的单位。它的单位应是每鱼位时间的单位系统状态量。此例中时间单位如果是小时，那么调节室温的风量单位应该是使室温每小时升高l度的风量。2023/6/749（4）图形的结构要反映这些概念，用实线连接的速率和存量是相互依存和相互对应的。速率是指单位时间存量的变化，存量指速率的积累。因此设时间为t，存量为L，速率为R，那么dL／dt=R或L=R或dt。为了计算出状态值随时间的变化，在从因果关系图转换成流图时，必须用实物流把速率与其相对应的存量（状态值）相连。实物流只能用来连接存量与速率，不能连接两个存量或两个速率。当然，速率与相应的存量相连不仅有上述一种形式。一个存量还可以对应多个与之有关的速率。2023/6/7503．反馈的形式上述简单的系统内只有一个存量，称为一阶系统。一阶系统有多种多样的变化模式。如果一阶系统中有负反馈，称为一阶负反馈系统。前述的调温系统是典型的一阶负反馈系统。如果一阶系统中有正反馈，此系统就称为一阶正反馈系统。细菌生长是一种典型的一阶正反馈系统。典型的连接关系，例如，一阶正反馈、一阶负反馈、二阶负反馈。这些反馈环进一步交织在一起形成一个网。在分析时常采用自顶向下的方法，抓实质、忽略次要成分，得到一个很粗的模式。这种粗糙的模式若不能满足需求，则一步步地细化下去。

2023/6/751（5）流图中区分了实物和信息。存量是实物的积累；速率是事物随时间变化的规律；实物流是实物积散的途径；源和汇是实物的来源和去向。用信息控制速率变动的规律，信息来自系统外部变量或系统内部存量；信息流是从信息源到速率的路径。2023/6/752

所谓模型化，是一个将上述流图的模型结构编写成DYNAMO方程的过程，也是一个由非正式的概念认识向正式的定量表达式转换的过程。通过在计算机上运行DYNAMO方程确切地描述的模型可以模拟系统的动态行为。

DYNAMO模型主要采用差分方程式描述有反馈的社会系统的宏观动态行为，并通过对差分及代数方程式的求解（简单迭代）进行计算仿真的专用语言。仿真的时间步长记为DT。第三节基本反馈回路的DYNAMO仿真分析2023/6/753用K表示现在时刻，即现时的DT中正在计算的时点；J表示前一个DT中已计算过的时间点；L表示下一个DT中下次计算的时间点；JK表示从J到K的时间间隔；KL表示从K到L的时间间隔。

DTDTJJKKLLK2023/6/754一、基本DYNAMO方程(DYNAmicModel)水准方程（L方程）

LL1·K=L1·J+DT*(RI·JK-RO·JK)速率方程（R方程）

RR1·KL=f(L1·K,A1·K,…)辅助方程（A方程）AA1·K=g(L1·K,A2·K,R1·JK,…)赋初值方程（N方程）

NL1=数值或L1=L10

L10=数值常量方程（C方程）

CC1=数值式中L为水平变量；L1.K为对现时刻K计算出的水平变量的新值；L.J为前时刻J的水平变量的值；DT是在时刻J和时刻K之间求解时间间隔的长度；RI.JK在JK时间间隔（区间）中流入水平变量L的流速；RO.JK是在JK时间间隔（区间）中流出水平变量L的流速。式中，水平变量L的量纲是单位，L.K、L.J的量纲是单位，DT的量纲是时间度量单位，RI.JK、RO.JK的量纲是单位/时间度量单位。

2023/6/755a．水平（积累、状态）level

水平(积累)是系统的流的积累。例如，库存量、存款、人口、资源等都可作为水平变量。一个水平方程相当于—个容器，它积累变化的流速率。其流速有输入流速和输出流速，容器内的水平正是其输入流速与输出流速的差量的积累。

库存LRIRO2023/6/756b．速率(Rate)变量

速率(流速)(Rate)仍是系统中的流的流动速度，即系统中水平变量变化的强度。水平变量是系统活动结果的状态变量，而速率则是对水平变量变化过程及其控制的描述。速率的基本形式有两种，流入速率和流出速率。

2023/6/757从速率的控制作用上说，速率变量，又可叫“控制变量”，“决策函数”、“政策变量”。从流体力学的角度看，它是控制水流的“阀门”（Valve）。因此，在流图上，“速率”用阀门符号表示。

2023/6/758速率是流入或者流出水平变量（容器）的流的瞬时速度，用微分形式可以表示为：速率方程的一般形式是：这个方程的右边表示与水平变量和常量有关的任何一种函数或者一种关系，它描述了控制速率变量的决策（政策）。

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如何区别水平变量和速率变量？同一个变量在系统动力学模型中往往可设为水平变量，也可设为速率变量，区别它们的原则是什么?显然，它们的量纲不同，水平变量的量纲是某物流或信息流的某种度量“单位”；速率的量纲是“水平变量的单位／时间单位”。但是，这不是识别它们的原则。识别它们要靠它们的本质上的区别。速率是控制变量，当抑制作用不存在时，速率就不存在(为零)了。水平变量(积累变量)是流的积累，是过去速率控制作用结果的积累，是连续存在的，即使没有现时速率的控制作用，速率为零，也能观测到它们。例如，一个人虽然停止了生长，但他的高度、重量等水平变量并不会消失。—个工厂的各项活动虽然停止了，但工厂里工人、设备、资金等水平变量仍然存在，仍可观测到。

2023/6/760一个计算复利的存钱系统2023/6/761钱数的变化要用下边的存量方程表示：钱．K=钱．J＋DT*钱的增加速率．JK或MONEY．K=MONEY．J＋DT*RAM．JK其中，钱或MONEY为钱数的变量名，变量名由建模者任意规定，但它们应该有比较清晰明确的含义。钱的增加率或RAM是钱数变化的速率的变量名。

钱数等于过去的钱数加上流逝的时间乘以这段时间内的钱数增加的速率。对这个记复利的存钱系统，钱的增加速率是很明显的。在DYNAMO中用一个速率方程表示：钱的增加速率．KL=钱．K*利率或RAM．KL=MONEY．K*CRATE2023/6/762除上述两方程，还有表示钱的初值大小的方程及利率大小的方程。这样，一个存钱系统的DYNAMO模型就构成了。它主要包括四个方程，每个方程钱都用一个字母标识方程的类别，即LMONEY．K=MONEY．J＋DT*RAM．JKRRAM．KL=MONEY*CRATE．KCCRATE=0．01NMONEY=100虽然方程中没有明显地指出一个量的单位，但是量的单位是事先约定的。方程中的数值与约定好的单位结合，才能正确地反映量的大小。在这个存钱的系统中，我们约定钱用“元”作单位，时间用“月”作单位，利率是指每元钱存一个月会增加0．01元。2023/6/763从流图转化到DYNAMO方程并不困难。存量方程反映了存量总是总流速的积分的过程。存量方程很容易从流图中得到，因为在流图中已明显地标出流人及流出的速率。速率方程反映了每个速率变动的规律，指向速率的信息链暗示了速率是由哪几个变量决定的。但这些变量如何具体地构成流率方程，从流图中上不可得出。例如钱数及利率决定了钱的增加，但钱数乘以利率是钱数的增加，并没有明显地表现在流图里。相乘的关系是从对存钱系统的研究得到的，并由DYNAMO方程表示。2023/6/764