civil非线性分析手册典尚设计

概弹性分析中假设结构的位移与荷载成比例关系，这个假设只能用于荷载相对于结构刚度较小，结构发生的位移也较小，结构的几何形状没有发生明显改变，且结构材料的应力-应变处于线性状态的情况。大部分的结构的受力状态都处于线弹性状态，但是如大跨悬索桥、大跨斜拉桥等跨度较大的索结构在施工过程中会发生较大的变形，其应力也有可能超过弹性极限，此时必须要进行非线性分析。结构在较大荷载作用下会发生较大的应力，这时结构的应力-应变关系有可能变为非线-应变关系如图.所示。当结构发生比较大的几何变形时，结构的荷载-位移关系将呈非线性特性，弹性分析中忽略的变形高阶项的影响将变得重要，这样的特性称为几何非线性。几何非线性与材料的性质无关，是分析结构的形状变化对结构内力的影响。大位移分析和P-dla(参见图2.)。 yzeandDesignthe (b)P-delta分析(产生附加弯矩边界条件随荷载引起的结构变形而变化时，结构的荷载-位移会呈的非线性特性，这样的特性称为边界非线性。考虑模拟地基的只受压弹簧、隔震支座、消能减震装置的分析均属于边界非线性分析范畴。 yzeandDesignhe 线性分析中使用的小变形ij1(uu 2i, uui,j、uji8的时候，小应变就不能正确的反映结构的变形情况。大变形可以分为旋转和非旋转两个成F表示位移张量（eformaonTnor）,R表示旋转位移张量（RotaonTor）,U表示变形张量（StretchTensor）。在实际结构当中结构发生的变形是由UFRU，fU只有解除整体变形中的旋转成分，才能用上式解得正确的应变，所以当旋转很大的时候是无法获得正确的应变-位移关系。即应变随线性分析计算的位移变化，因此这时要考虑几何非线性效应。

程序中的几何非线性分析采用了共轭旋转法(roioa)，该方法是利用随单元旋转移动的共轭旋转坐标系的应变来考虑几何非线性效应的。共轭旋转坐标系的应变-))用式Bu表示，也可以性分析中的应变-位移关系式中加入几何非线性特性 u)fe,e,e,eˆ,eˆ,eˆ 共轭旋转坐标系的位 可用 1 31 3计算，位移的变化可用线性化的uˆTu表示。共轭旋转坐标系的单元内力pˆintpˆ yzeandDesignthepextpint0，则可以得到非线性平衡方程式：(KK)u解非线性方程式的方法有-森法(etRa)和弧长法(cent)。一般的非线性分析可使用-森法；对具有跳跃(aphru)或回跳(Sac)特性的非线性问题，可使用弧长法进行分析。程序中提供的单元中可考虑几何非线性特性的单元有桁架、梁、板单元，若同其他单元混合使用时，只能考虑其它单元的弹性刚度。在几何非线性分析中几何刚度是位移的函数，位移又受几何刚度的影响，所以需要用迭代法进行求解。-森法的迭代计算过程参见图.9，每步都要重新构成刚度矩阵，最后求得允许误差范围内的近似解。(KK)upKTKK

KTupKf--

yzeandDesignhe my(xnh)y(xn)y(xn)hmK

u)K

dRTm

Tm

将 dRK )R RR代入上式，整理可得

Tm1 K )uR RR（RR：残余力Tm m分析过程如图2.9所示先计算um，然后

mum1

过程中要计算新的切线刚度KT(um)和不平衡力Rm1Rm，再计算修正位移um1通过反复迭代计算使一个时间步骤内的位移、能量、或者荷载的增量满足收敛控制范围时即可终止迭代计算。在荷载-位移曲线接近水平时在微小荷载作用下位移的增量值也会很大。荷载-位移曲线的形状为图.0所示的跳跃ahog)或回跳abc)情况时，一般的迭代计算将无法获得准确结果，此时可使用弧长法进行分析。弧长法迭代计算中增量的大小是变化，计算增量的方法如下(参见图.1())。增量开始时定义外力向量为Rm1，荷载向量的增量为if。每次迭代计算时的荷载系数i会不同。荷 荷位 位(a)跳跃(Snap- (b)回跳(Snap- yzeandDesignthe图2.10KT(ui1)uiRiuiKT(ui1)1(fint(um1)fint(ui上面的方程式的分为以下两个部分，且位移增量可以用以下方法计算 )uiIK(u)1(f )f(u IIK )Ti intm int Tiii荷载系数i可以用球面路径法(SphriclPh)求解，这个方法的约束条件方程式可以表示 uTul luiui1ui代入到上式，可以得到荷载系数i a2a aa24ai 1 yzeandDesignhe a(uII)T a2(uI)TuII2(u)T a3

)TuI(uI)TuI

)T

一般来说上式存在两个解，解为复数时选择球面路径法的线性同等解。对于两个实数解，需要计算前一步骤和当前步骤的位移增量向量的交角，以便确定使用哪一个解。cos

i-

Tii

ia3 yzeandDesigntheP-DeltaP-Delta(GeometricNonlinearity)问题。当结构的重力荷载较大且作用有水平力时，为了计算的准确性有些规范要求在结构分析中考虑aDa效应的流程图如下。判 yzeandDesignhe 在计算构件的几何刚度矩阵时拉力会增大柱构件对横向作用的刚度，而压力会起到减小刚度的效果。当压力增大到一定数值刚度减小值和该构件的弹性刚度相等时，这个构件将发(ilclingLoa。如图2.12(a)所示，受拉力和横向力的杆件不考虑P-DeltaM0，另MVLP，会使杆件的弯矩减小P，这和增大杆件侧向刚度的效果是相同的。P，这和减小杆件侧向刚度的效果是P-Delta效P-Delta效果变形 变形

P-Delta效果变形 变形

P-Delta效图2.12考虑屈曲效果(P-Delta)所以侧向位移实际与横向力和轴力相关，可以表示为下列V/K KKO yzeandDesigntheKoKG为由轴力引起的几何刚度。桁架、梁、板单元几何刚度在程序中只要定义了ea分析，程序就会根据按P-elta分析中选择的荷载工况构建结构的几何刚度矩阵，然后在静力分析和动力分析(包括反应谱分析)中将该几何刚度作为初始几何刚度使用。P-DeltaKuKGuKGPu以下是程序中使用P- 分析功能的几个假设计算中可以考虑ea效果生成几何刚度矩阵的单元为桁架单元，梁单元，墙单元。P-DeltaP-Delta yzeandDesignhe 8-4-非线性单元有：只受拉/只受压的桁架单元、钩单元、间隙单元、索单元、只受拉/只受压的弹性连接单元、多折线弹簧连接单元等。KKNU

8-4-2非线性单元的刚度KN非线性单元的刚度是由位移和构件内力所决定的。桁架、钩、间隙单元的刚度是由两端的位移和钩或间隙的间距所决定的，索单元刚度是由轴力所决定的。桁架、钩、间隙类型的只受拉、只受压单元的非线性刚度可以用式（2）表示。算索单元有刚可用)来计算。KNf(Dd D：初始状态的间距（钩或间隙的间距d

1/

1/

)

Ksag2L3

Kelastic yzeandDesigntheT量。反复步骤2和步骤3 yzeandDesignhe 边界非线性时程分析(BoundaryNonlinearTime 分析模型一般由弹性构件(弹性系)和非线性弹簧构件(非弹性系构成。mids(件)和边界的非线性(非线性弹簧)(非线性构件)和边界非线性(非线性弹簧。mids程序中的每个非线性连接单元由六个方向的弹簧个受弯方向)(在程序中称为一般连接中需要输入线性特性和非线性特性，其线性特性用于静力分析和线性动力分析应谱分析(非线性构件)通过定义“铰”的内力变形(刚度)+阻尼三种类型。“内力”类型的恢复力模型是通过定义内力与位移(内力) yzeandDesignthe图2.8.8 非线性振型叠加法时程分析方法仅用于边界非线性+ yzeandDesignhe Mu&&(t)Cu&(t)KKu(t)Bp(t)Bf(t)-f在此， :质量矩 :B,

::u(t),u&(t,u&&(t):f(tf(t

: :方程右侧的fL(t)KN计算的节点力中内力类型非线性弹簧的非线性成分相抵，因此只有fN(t)对动力分析结果有影响。使用有效刚度矩阵KN的原因是因为非线性弹簧所处的位置当仅考虑结构构件的刚度矩阵KS时结构可能成为不稳定结构。有效刚度矩阵KN是由用户直接输入非线性弹簧刚度的线性特性值。质量矩阵可由一致质量法或集中质量法计算，结构的自振周期和振型可由结构的质量矩阵和刚度矩阵使用特征值向量法(子空间迭代法或兰佐斯法)或多重向量法计算。结构的阻尼矩阵使用振型阻尼方法计算。振型阻尼可使用由用户直接输入各振型阻尼的方法，也可使用质量和刚度因子计算各振型阻尼的瑞利阻尼法。程序还提供由各构件阻尼比通过应变能方法计算各振型阻尼的“应变能因子”法。Bp(t)Bf(t)Bfq&&(t)+2q&(t)q(t) yzeandDesignthe

i:第ii:第i:右侧的fNt)和f(t)由内力类型的非线性弹簧在单元坐标系下的实际变形和应变决定。因为单元的实际变形包含了所有振型的结果，所以上面基于振型的运动方程式中各振型间依然相互关联。为了利用振型叠加法的优点，可通过对各时间步骤的fN(t)和fL(t)进行一些假设获得相互独立的基于振型的运动方程。首先根据前步骤的分析结果假设当前步骤的广义的位移和速度，再计算本步骤的fN(t)和fL(t)。然后将本阶段的广义的位移和速度叠加计算内力类型非线性弹簧的变形和应变。程序将通过反复计算直到fN(t)和fL(t)、广义的位移和速度满足下列收敛误差要q(nΔt)q(nΔt)max q max f(nΔt)f(nΔt)max f

f(M

BfBf(nΔt)Δt: : : 最大迭代计算步骤数和收敛误差由用户直接输入，当不收敛时程序内部将重新缩短时间步长t进行分析。 yzeandDesignhe 考虑的振型数量较多时特征值分析的时间会较长。使用向量法可使用较少的振型数量可以使用较少的振型数量反映高阶振型的影响。但需要注意的是向量法有可能会 利用程序中的时变静力荷载在主菜单的荷载>时程分析数据> 在主菜单的荷载>时程分析数据>短分析时间可将阻尼比设置为0.99 在主菜单的荷载>时程分析数据> yzeandDesignthe在主菜单的荷载>时程分析数据>时程荷载工况中的“加载顺序”中选择“接续前次”，并在“荷载工况”中选择前面定义的时变静力荷载工况定义的时程荷载工况名称。程序中提供基于Newmrk-β在此，M: :K:u(t),u&(t,u&&(t): yzeandDesignhe p(tf(t:f(t):基于Newmark-β法计算的关于位移增量uKEffu在此， :有效刚度矩

M

CpEff: : :Newmark-β当不输入内力类型非线性弹簧的有效刚度造成结构成为非静定结构时，用户需要输入其有效刚度。有效刚度值一般大于零小于或等于初始刚度。用户可输入与粘弹性阻尼器的kb、间隙、钩以及滞回系统的k、铅芯橡胶支座和摩擦摆隔震装置的ky、kb值相当的值作为有效刚度。需要注意的是线性静力分析和线性动力分析时使用有效刚度值计算。如下图所示，非线性弹簧的有效刚度一般取原点与最大位移点的连线的斜率。 yzeandDesignthe程序中提供的内力类型的非线性弹簧有粘弹性阻尼器(ViscoelasticDamper)、间隙(Gap)、钩(Hook)、滞回系统(HystereticSystem)、铅芯橡胶支座(LeadRubberBearingIsolator)、摩擦摆隔震装置(FrictionPendulumSystemIsolator)等六种类型的非线性弹粘弹性阻尼器(Visco-elastic 如图..1()..1()Dsht)..1c)、() yzeandDesignhe f

f

= 粘弹性体(Maxwell Loading yzeandDesigntheMidas程序中的粘弹性阻尼器(ViscoelasticDamper)单元由具有粘弹性阻尼器特性的六具有代表性的粘弹性阻尼器的数学模型有Maxwll模型(线性弹簧和阻尼器串联)和Kelvin模型(线性弹簧和阻尼器并联)。Midas程序中提供MaxwellModel、KelvinModel以及DamperBraceAssemblyModel(在KelvinModel上串联了弹簧)等三种粘弹性阻尼器。DamperBraceAssemblyModel的力与变形的基本如下dddddbfkdcsignd&d&skdddddbddd其中， :粘弹性阻尼器的单元内 : : :粘弹性阻尼器的非线性阻尼指数d单元两点之间的变形dd粘弹性阻尼器的变形db:串联弹簧的变形如上所述粘性阻尼可以用于模拟线性阻尼(s1.0)和模拟非线性阻尼(0.0s1.0)。非线性特性指数s一般为0.35~1.00，midas程序中容许输入的s值范围为0.20~1.00ddd上 中csignd&ddd

sds1.0时阻尼力fDNmsecs1dcsignd&

s fDNm

m

Nmsec yzeandDesignhe 渡变量v0时阻尼力和粘弹性阻尼器的力与变形的关系如下。d fkdcsignd&d

kv bv0cdNmsecv0N、tonfv0一般输入1.0，当在程序中变换单位体系时程序会随着长度单位的变化自动转换v0的值，这点在使用程序中应注意。基于上面，粘弹性阻尼器的非线性特性的单位如下非线性特 单粘弹性阻尼器的单元内力 N,d粘弹性阻尼器的变形的变化 d

msec,cm参考速度 msec,cmd&

d粘弹性阻尼器的阻尼系数 N, yzeandDesignthe初始状态(单位系设置为kN,将上述单位系转换为N,cmkd10,000NC1100010Nsec skb10,000N采用参考速度v0Cd1kN1,v01msec100cm yzeandDesignhe Maxwell Kelvin DamperBraceAssemblyMaxwell如图2.8.12(a)所示，MaxwellModel由线性弹簧和和粘性阻尼串联而成，主要用于模拟MaxwellModeldd

yzeandDesigntheRung-KtaMthod计算粘弹性阻尼器的变形dd。Kelvin(Voigt)如图2.8.12(b)所示，KelvinModel由线性弹簧和粘性阻尼并联而成，用于模拟固体粘弹性装置(SolidViscoelasticDevice)。KelvinModel的力与变形的关系如下，右侧均为已知项所以可以直接获得阻尼器的

DamperBraceAssemblyDamperBraceAssemblyModel由KelvinModel与弹簧串联而成，如图2.8.12(c)所示一DamperrceAssemlyModl的力与变形的关系如下。与前面模型相同，为了解决常微分方程计算中的初始值问题，程序使用Rung-KtaMthod计算粘弹性阻尼的变形dd。dd

s为1时，即对线性阻尼(s1.0)的情况，为了提高分析效率，程序不是使用Runge-KuttaMethod，而是使用下面的简化方法计算粘弹性阻尼器的的变形dd。kd(tt)cd1d vtdd(tt) ;(skkcd且，MaxwellModel

kd

v0 yzeandDesignhe ddfk在此，MaxwellModel

kkkb间隙间隙单元由六个方向的独立的线性弹簧构成，但是只有弹簧两端节点的相对距离减少量大于输入的初始间隙时弹簧的刚度才会被激活发挥作用。当只定义轴力成分时与只受压弹簧相同。也可以用于模拟接触问题。dk 图2.8.13间隙 yzeandDesignthekdoifdo<0f 其中， :弹簧刚o: 钩钩单元由六个方向的独立的线性弹簧构成，但是只有弹簧两端节点的相对距离增加量大于输入的初始间隙时弹簧的刚度才会被激活发挥作用。当只定义轴力成分时与只受拉弹簧相同。也可以用于模拟抗风支撑或钩单元。dk k(do)ifdof 其中， :弹簧刚o: yzeandDesignhe 滞回系统(Hysteretic滞回系统由相互独立的具有单轴塑性(uiaxilsticity)特性的六个弹簧构成，一般用于(enryissiationdvc)(mellicyilddampr)。金属屈服型阻尼器的刚度比主结构(rimrystructr)大但是强度较低，因此会早于周边构件进入塑性阶段，进而达到保护周边构件的目的。金属屈服型阻尼器在多次反复作用下也能保证稳定的性能且不依赖于振幅和频率。d rk 滞回系统的力与变形的关系采用Park,WenandAng(1986)建议的如下的frkd(1r)Fy其中， :初始刚Fy::屈服后刚度折减率d:两节点的相对变形z滞回响应内部参数 yzeandDesignthe 是反应滞回响应的内部参数，使用Wen(1976)Fz&k1zssgnd&zFy其中，, :决定滞回曲线形状的参数，需满足1:决定屈服点的转移区域(transitionregion) :α和β决定了屈服后的响应特性，当+β>0时为软化系统(steingsystem)；当α+β<0时为硬化系统(hrdeingsstem)。滞回系统中的耗能能力由滞回环的面积决定，面积越大耗能能力越强。在软化系统中(β-)值越小耗能能力越强。不同的α和β值的滞回形状参见图..16。s值决定了弹性阶段和塑性阶段之间的变化区域，即发生屈服的区段的形状的常数，该值越大屈服点越明显，滞回曲线越接近于理想双折线弹塑性系统。s值一般小于30，程序中输入的范围为.0~50.。不同s值对应的转移区域的变化参见图.8.17。 yzeandDesignhe 1f0f-2-1.5-1-0.500.511.5d

f0f-2-1.5-1-0.500.511.5d321f0f-2-1.5-1-0.500.511.5d

54321f0f-2-1.5-1-0.500.511.5dα=05,β=- (d)α=0.25,β=-图2.8.16滞回系统的力与变形的关系(r0kFys k

r·k

dff0

s=s=s=s00.20.40.60.81.01.21.41.61.8d yzeandDesignthe铅芯橡胶支座(LeadRubberBearingtype隔震装置通过将结构与地面的分隔以达到保护结构的目的，一般设置在桥墩和上部结构之间以及建筑的基础和上部结构之间。铅芯橡胶支座利用铅屈服后强度较低的特性通过调整结构的固有频率使其避免与动频率相同或接近达到隔震的目的，并通过滞回特性耗散动能量。ElasticAxialNonlinearShearf

d(Hysteretic d dfyrykydy(1ry)Fy,yzyfzrzkzdz(1rz)Fy,zzz其中，k, 单元坐标系y、z方向剪切成分的初始刚F,F:单元坐标系y、zr,d,z,

单元坐标系y、z 单元坐标系y、z 单元坐标系y、z yzeandDesignhe zyzzPark,Wen,andAng(1986)在Wen(1976)建议的单轴塑性基础上扩展的双轴塑性计算。

1zsgndz

yzzzz yzz

yy&yyy&yy

yz&zzzsgndz1zsgndzz&yy y z

dz,,z,:单元坐标系y、zd&,d&单元坐标系y、z yzeandDesignthe摩擦摆隔震装置(FrictionPendulumSystemtype摩擦摆隔震装置是通过造成结构频移和滞回耗能来保护结构的。摩擦摆隔震装置的恢复力由摩擦面的曲率半径决定，可以通过调整曲率半径调整频移幅度。摩擦面的滑动形状决定了滞回系统的耗能情况。摩擦摆隔震装置的两个剪切成分互相关联且具有双轴塑性(biaxialsticity)特性。轴向P P Pμ P摩擦摆隔震装置的轴向成分与初始间隙为0fP

ifd : : :fPdP yfPdP zz yzeandDesignhe 其中， :摩擦摆隔震装置的轴R, d,z,

单元坐标系y、z 单元坐标系y、z 单元坐标系y、z 单元坐标系y、z

和

Constantinou,MokhaandReinhorn(1990)建议的 e 其中，vd2d ,r

y z

单元坐标系y、z 单元坐标系y、zr,:单元坐标系y、zd&, 单元坐标系y、zzPark,Wen,andAng(1986)在Wen(1976)建议的单轴塑性基础上扩展的双轴塑性计算。 y

y yz

&

ysgnd

zzsgndzz2

dy

zz其中，k,k 发生滑动前的单元坐标系y、z方向剪切成分的初始刚度(连接构件刚度:单元坐标系y、z摩擦摆隔振装置的双轴塑性内部参数中的屈服强度力的绝对值和摩擦系数相乘得外，其它项与铅芯橡胶支座相同，因此对其它常数的说明不再赘述。 yzeandDesigntheRunge-Kutta在边界非线性分析中作为常微分方程的数值分析方法采用Rung-KtaMthod。解常微分方程时需要定义步长，但是如图2.8.20所示结果变化较为剧烈的区段内采用等步长的分析很难获得准确的解。为了提高Runge-KuttaMethod的收敛性程序了重划时间步长t的技术，此处的重划不是在解运动方程时细分时间步长，而是利用既定的时间步长t解运动方程获得变形结果后再利用Rung-KttaMethod计算非线性边界单元的单元内力时再细分时间间隔t的方法。dy(x)f(x,y(x))y(x0) yzeandDesignhe Cash-Karp(AdaptiveStepsize使用不同阶数的Runge-Kutta法的预测值计算误差并自动调整步长的方法。自适应步长(AdaptiveStepsizeControl)的基本概念如图2.8.21所示，当误差较小时自动增大步长，图2.8.21Cash-Karp(AdaptiveStepsize步长计算采用Pressetal.(1992)建议的如下hnew

new

::: : yzeandDesignthepresentnew时:apresentnew时:a 容许误差准则越小计算误差越小，但是分析时间越长。考虑效率和准确性程序建议采用1.0e-8左右的值。Fehlberg(StepsizeSub-DivisionforNon-convergence该方法初始的时间间隔采用t，然后利用RungeKuttaMethod的四阶和五阶的预测值计算误差，当误差满足容许误差准则时将步长调整为原步长的1/2求解方1st tion 3rd tion4th tion图2.8.22Fehlberg(StepsizeSub-DivisionforNon-convergence yzeandDesignhe 材料非线性分析(Material 本构响应 response)与变形的速度无关弹性响应 response)不受塑性变形的影响e :%%%另 中将使用如下的基本概念判定屈服与否的屈服条件(yield计算塑性变形的流动法则(flow描述塑性变形时屈服面的变化的硬化法则

yzeandDesignthe定义弹性响应 response)边界的屈服函数(或加载函数)F如下(参见图2.8.23)F(,p,)(,p)() % e% %e:等效(equivalent)或有效(effective):硬化因子(p的函数p:等效(equivalent)在塑性理论中塑性函数值不存在负值，发生屈服时需要通过调整塑性应变将应力状态修正为屈服函数值为零的状态，这样的过程称为塑性修正(siccrrctr)阶段或称为回归映射(rtrnmap)。dp %a%

sticpotential ,d % yzeandDesignhe 流动法则用于定义塑性变形的如下(图2.8.23)dpdg %其中，:%d:其中g为塑性势能(sticpotential)函数，一般由应力不变量(stressinvariant)定义。另外，当g=F时称为连续流动(associatedflow)g≠F时称为非关联流动(non-associatedflow)法则。目前程序中使用的材料本构均使用连续流动法则，即塑性应变的向量垂直于屈服面，因可上面()表现为如下形式。dpdF %在如图2.8.23的角点或平坦的面上不能确定塑性流动的方向(不具有唯一性)，即存在奇异点(singlrpoi)，分析过程中程序对这些点应进行特别处理。硬化法则(Hardening硬化法则根据定义有效塑性应变的方法分为应变硬化(strainhardening)和加工硬化hardening)、随动硬化(kinematichardening)、混合硬化(mixedhardening)。 yzeandDesignthe

F()22F() % %F%()2 yzeandDesignhe 本构矩阵(Constitutive 其中，De应力始终在屈服面上，所以满足下面的一致性条件 condition)dFFTdFdpFdaTDedaTDeahd %p % %% 其中，h是塑性硬化系数，因此可按下面计算应力的变化率 DeaaTDeTdDe%%%% % aTDeah%%在完全-森迭代过程中使用一致性(consistent)本构矩阵时，因为其二阶收敛特性可以让计算更快的收敛。 RaaTRT %%aRah%%RIdDea1DeIdDeA1De% %% % % yzeandDesignthe包含子增量的显式前进方法(ExplicitforwardEuleralgorithmwithsub-incrementation图2.8.25和图2.8.26)隐式后退方法(ImplicitbackwardEuleralgorithm)(图 AXX:A:B:交点AA

CC:D:图2.825显式前进方法 yzeandDesignhe B AEA,B,C,D:E:图2.8.26BCXxX:B:C:图2.827隐式后退方显式方法中的硬化和塑性流动的方向的计算基准位置为‘交叉点’，即弹性应力增量与屈服面的交点(图..25的)(图2..2的B)。显式方法计算相对简单，直接对应力进行积分，即不必在点(GaussPoint)重复计 yzeandDesignthe隐式方法不需要子增分或手动回归方法也能获得充分正确的解，并无条件稳定。但是对于一般的屈服准则需要在点反复计算。隐式方法可以构成具有关联性的切线刚度矩阵。当使用Newton-Raphson迭代计算方法时，在点进行迭代计算的效率也是较高的。显式前进方d %其中，B:应变-du: % 以上中的下标的意义参见图2.8.25测试应力在屈服面内时表示完成了应力修正，在屈服面以外时表示调整塑性应变进行应力修正。 yzeandDesignhe 交叉点应力计算如下FX1rd F

r FB增加的变形应使应力点在屈服面上移动，此时可将非容许应力增量 用m个的%力增量近似模拟(图2.8.26)。子增量的数量与设置的误差大小相关，按下面计算。 aTDea %C%%% % C%% yzeandDesignthe隐式后退方在隐式方法中使用下面计算最终应力 % % %%式中的下标的意义参见图2.8.27因为在式(6)中不知道C点的值，所以需要通过迭代计算求解，用向量r表示当前应力与后退应力间的差如下。rdDea % % %%迭代计算过程就是将r减少为0，最终的应力应满足屈服条件。使用下面计算新的余量。rr& %其中，&: 将上式设为0求解&%&r % %

%C yzeandDesignhe &% %%%特(Tresca)、(vonMises)：用于模拟象金属那样具有塑性非压

(Mohr-Coulomb)

格(Drucker-Prager)--、岩石、地基等具有体积塑性应变特性的材料(图--vonMisesyield图28.28特和屈服准 yzeandDesignthe 12----

特准特屈服准则适用于模拟延性材料，其屈服标准为材料的最大剪切应力达到规定限值时认为材料发生屈服。当主应力分别为1,2,3123时，屈服函数如F,13p%

应力状态处于屈服面上的奇异点时数值分析会发生问题，在特准则中一般发生在洛德角(lodeangl)值为30°附近位置，此时需要进行应力修正。在程序中当>29°时为了能计算流量自动适用准则。准F,%

其中，J2为第二偏差应力常量(seconddeviatoricstressinvariant) yzeandDesignhe -准--准则用于模拟混凝土、地基、岩石等具有体积塑性应变特性的材料。-库伦屈服准则的屈服函数如下。F,cntan%

c:粘聚力c和内摩擦角与应变硬化因子-与特准则类似，-准则在奇异点也会发生数值计算的问题。当洛德角-29°时，程序为了计算流量自动采

----格准则也是用于模拟混凝土、地基、岩石等具有体积塑性变形的材料。-准则与-相似，是准则的扩展。压力(hydrostaticstress)的影响，其如下。

F, IJ (4 33sin 33sin其中，I为第一应力常量(firststressinvariant) yzeandDesignthe按有效塑性应变(effectivesticstrain)定义的硬应变硬化(strain使用应变硬化可将有效塑性应变定义为如下d2dpTdp2 3%该有效塑性应变的定义是假设没有体积塑性变形的情况下将塑性应变的范数(norm)按单轴应变进行调整而得的。因此原则上应使用或准则中，但是因为其数值计算较为方便在其它准则中使用也较多。加工硬化(work加工硬化的增量如下

Tdp %

单轴时加工硬化的增量如下dWp1d1ed 因此，使用加工硬化定义的有效塑性应变如下dp%%e

yzeandDesignhe 完全塑性(perfectly完全塑性(或称为理想塑性)材料当发生塑性后屈服面将不再变化，因此屈服函数可表示如下。F,e 其中

各向同性硬化(isotropic各向同性硬化如图2.8.30(a)所示，屈服面在各方向上均匀膨胀，其屈服函数如下F,ep

随动硬化(kinematic随动硬化的屈服面如图..3()所示大小不变，只有位置发生移动。其屈服函数如下：F,,e% 其中，:%:在随动硬化中需要决定屈服面中心坐标%

，决定屈服坐标的方法一般有两个，一个是ager的硬化法则，一个是Ziegler的硬化法则。Prager的硬化法则如下dCdpC p p其中Cp为Prager yzeandDesignthe (a)各向同性硬 (b)随动硬图28.30Ziegler的硬化法则假设中心坐标的移动变化量d量的方向相同，其硬化法则 如下

的方向与应力(reduced-stress)

其中Cz是Ziegler混合型硬化(mixed混合型硬化是各向同性硬化和随动硬化的组合，用下面表示F,,ep%

yzeandDesignhe vonMses、resca、Mor-Colomb、Drckr-rager四种。四个模型都可以定义为各向同性硬化和随动硬化特性。但是随动硬化特性一般用于钢材等延性材料上，voniss、resca本构模型中，在Mohr-Coulomb、ruckr-Pragr等脆性本构模型中很少使用。虽然钢材一般采用如下图所示的完全塑性本构模型，但是要注意屈服后刚度为零容易造成不收敛。 yzeandDesignthe如下图所示，混凝土等脆性材料的受拉和受压特性不同，一般受拉区段应使用裂缝模型。目前midasCivil和midasGe程序中没有提供裂缝模型和混凝土受压时非线性硬化模型。用户可使用idasFEA等midas yzeandDesignhe Mor-Colomb和Druckr-Prager本构模型在三维主应力空间中具有如下图所示的六棱锥和圆柱形破坏面。-σ-σ-σ

Mohr-Coulombfailure θ=–

hydrostatic

deviatoricdeviatoric

2√6ccosø3+sinø

=√3c=r=2√6c3-6θ=6- (c)meridian图2.834Mohr-CoulombyieldsurfaceinΠ-ne&meridian yzeandDesignthe-σ-σDrucker-Pragerfailure6θ=–6θ

deviatoric deviatoric

k√hydrostaticr6θ=6

- (c)meridian图28.35Drucker-PrageryieldsurfaceinΠ-ne&meridian yzeandDesignhe 回归方向，方程解将发散。即如下图所示在apexregime有应力时解将发散。目前midasCivil和midasGen yzeandDesignthe静力弹塑性分析(Pushover分析概Pushover分析，是基于性能的抗震设计（Performance-BasedSeismicDesign,PBSD）中最具代表性的分析方法。所谓基于性能的抗震设计是以某种目标性能（targetperformance）为设计控制目标，而不是单Pushover分析获得结构的极限承载能力，最后标准是作用下的抗力不小于作用下产生的内力，这些方法也被称为基acement-baseddesign）方法。Pushover2.8.38所示的荷载-位移关系曲线（能力谱），作用的性能点（performancepoint）。性能点意味着结构对于作用所 yzeandDesignhe yzeandDesignthe线性静力分析法(LinearStaticProcedure,线性动力分析法(LinearDynamicProcedure,非线性静力分析法(NonlinearStaticProcedure,非线性动力分析法(NonlinearDynamicProcedure,其中PushovePushover载-位移曲线(capacitycurve)，然后将其转换为表现单自由度体系的加速度响应和位移响-周期格式的加速度反应谱转换为加速度-位移格式(ADRS，Acceleration-DiscementResponseSpectrum)的需求谱(demandspectrum)，将需求谱和能力谱反映在同一个坐标系中，两条谱曲线的交点(性能点)就是满足该水准作用的极限承载能力和变形能力点。因此可通过定义不同的需求谱(小震、中震、大震 示结构的能力曲线(capacityurve)和能力谱(capacity yzeandDesignthe 需求谱(demand (c)性能点(performance图2.8.39能力谱法(CapacitySpectrumMethod,Pushover分析的目的是为了了解结构具有的承载能力和变形能力，钢筋砼结构在进行Pushover分析前必须先进行线弹性分析和构件设计以获得结构的配筋结果，只有使用结构的实际配筋结果才能准确进行非线性分析。Pushover分析的优点如下： yzeandDesignthe概如下图2.8.40B位移增量法进行分析，即采用位移 。结构大师中既提供荷载 又提供位移。Pushover衡力，不平衡力又被称为残余力(Reidual 为了消不平衡需要进迭代计使不平衡力达到可以忽略的程度(满足收敛条件)。mida的代计方法用了完全 森法(FullNewton-RaphsonMethod)，该方法具有收敛速度快的特点。 yzeandDesignthe -图2841完 -KnUnFn1n

Kn——当前步骤(n)ΔUn——当前步骤(n)的位移增量；Fn-1——前次步骤(n-1)的内力向量；λn——当前步骤(n)P0——λn·P0——当前步骤(n)的荷载向量。KnUnnP0KnUnn yzeandDesigntheλn、P0——当前步骤(n)的荷载向量。解式（2）得位移增量ΔUn。 成切线刚度矩阵K(i)。将各单元的内力与节点力组合构成内力向量F(i)。 λn· n K(i)U(i)P n K(i)U(i)R K(i)——当前步骤(n)内的第iKnδUn(i)——当前步骤(n)内的第iF(i)——当前步骤(n)内的第i次迭代计算时的内力向量；R(i)——当前步骤(n)内的第i次迭代计算时的残余力。nn解方程（3）δU(i)。计算各单元的内力和切线刚度后可得残余力Rn(i)，重复(1)~(3)步骤直到满足收敛条件。n满足收敛条件时（在点C） yzeandDesignhe 由式(3)求解位移向量U(i)R(i) 断是否满足收敛条件，不满足时重复上面的(1)~(3)塑性铰的出现造成了单元刚度的变化，单元刚度的变化又引起了单元内力的变化，从而使外力和单元内力之间产生了不平衡力（残余力）。程序中消除残余力的方法如下：进行收敛迭代计算时(最大迭代次数设置为不小于2时使用完全-森法进行迭代收敛计算直至满足收敛条件。但是仍有下的残余力会累计到下一个增分步骤的外力中。不进行收敛迭代计算时(最大迭代次数设置为因为不可能完全消除残余力，所以为了既满足计算结果的精确度又保证计算效率，需要设置适当的收敛判断条件。迭代计算的收敛判断采用范数标准，有位移范数、荷载范数、能量范数，可选择 U(i)TU U(i)TU(i

yzeandDesigntheF

F(i)TF(i F(i)TF

E

F(i)TU(i F(i)TU

εDεFεEiΔUi δUnnΔFn

n)n因为作用前结构的竖向荷载是始终存在的，所以Pushover分析有必要考虑竖向荷载作用下的初始内力状态，这样计算的构件内力才是接近真实的。特别是考虑轴力和弯矩相关的柱构件在计算屈服面时需要考虑竖向荷载引起的轴力。初始荷载中活荷载的组.～.。结构大师的Pushover分析对初始荷载也进行非线性分析，以获得更接近于实际情况的初始内力。需要注意的是，Pushover分析中考虑初始荷载时输出各单元内力包含了初始荷载引起的内力的影响，但是节点位移中没有包含初始荷载引起的位移。 yzeandDesignhe P-DeltaP-Delta效应。P-Delta分析属于几何非线性分析，单元刚度矩阵中要考虑几何刚度，考虑P-Delta效应的平衡方程如下：nKKGUnFn1n n

: :KKG FEMA类型铰的位移超过极限值时(2.8.41C点之后度矩阵时，对角线上的刚度成分出现0或负值。 yzeandDesignthe yzeandDesignhe 荷载控是指预设一个最大荷载后逐渐加载至最大荷载的分析方法。结构大师中的荷载控不是事先预设最大荷载，而是在逐渐加载后达到结构极限承载力时终止继续加载的方法，即在无法得到稳定解时终止分析的方法。程序中的荷载控使用FllNeto-Raphson方法，该方法具有速度快的特点。1

n

n1nn yzeandDesignthe第一阶段:计算弹性极限n1计算水平荷载作用下各构件的内力与构件屈服内力的比值，从而获得达到屈服时的荷载增量。ratioPyild

::将弹性极限的90% 其中，K1:第1U1:第1Fini::P0:1P0:第1第2阶段:根据收敛情况自动调整分析步长(1nnstep

(nstep1)n nstepii

其中，

yzeandDesignhe 1:第1Pnn 第3阶段:最终步骤的荷载增量nnstepPnstepnstepP0;nstep yzeandDesignthe点击步长控制选项>No.:输入步骤数，该步骤数与总步骤数无关，仅是用于定义函数的X（X轴的最大值对应的是总步骤数，输入与总步骤数不同的数值时将按比例调整步骤数）。Function:输入荷载因子。例如当总步骤数为10而按下面框中定义步长函 yzeandDesignhe Case1:nstep123456789Case2:在增量函数中输入的步骤数与输入的总步骤数nstepnstep在增量控制函数中输入下列函数值时其结果与Case10或15 yzeandDesignthe态。用当前刚度与初始刚度的比值(CurrentStiffnessRatio)判断结构的状态的标 :

yzeandDesignthe 位移控是指预设一个控制位移后逐渐加载至最大位移的方法。一般来说在建筑上横向位移的大小一般控制在建筑高度的1%、2%、4%，基本上对作为生命安全水准，将4%作为防止倒塌水准。这是结构层面上的规定，对于Pushover的横向荷载应该能相对准确地反映实际 yzeandDesignthe静力弹塑性分析中使用的非线性单元有二维梁单元、三维梁-柱单元、桁架单元、非线性连接单元等。各单元的特性如下：使用弯矩- 内力相关关系：单轴模型（互不相关）或多轴模型（P-M-M模 使用弯矩- 内力相关关系：单轴模型（互不相关）或多轴模型（P-M-M模 yzeandDesignhe ①内力相关关系：单轴模型（互不相关②铰位置：单元④初始刚度：直接反映到初始刚度矩阵(弹性矩阵)二维梁单元和三维梁-梁单元使用了柔度法（flexibilitymethod），在荷载作用下的变形和位移使用了小变形和平截面假定理论（梁理论，EulerBernoulliBeamT非线性单元可以考虑P-Delta效应，在分析的每个步骤都会考虑内力对结构的非线性分析要计算构件屈服后的变形，如果使用基于刚度法的单元非线性分析时的变形形状会与形函数产生差异。基于柔度法的单元不仅对单元形状而且对单元内力也使用形函数，所以使用柔度法的单元构件的内力变化会与实际相吻合。柔度法中内力使用线性形函数，刚度的变化为抛物线形状，这与为获得线性变化的曲率使用三次方程形函数的刚度法相比，柔度法可以使用较少的单元获得较为精确的结果，并且可提高计算效率。fT{F,F,F,M,M,M,F,F,F,M,M,M zi uT{u,v,w,,,,u,v,w,,, i j yzeandDesigntheL根据定义弯矩非线性特性的方法，非线性单元可分为弯矩-旋转角关系单元和弯矩-曲率关系单元。另外根据铰位置和铰的不同可分为集中铰模型（LumedypeHingeModel）和分布铰模型（itiedieMol）。非线性梁-①利用式(2)计算结构的节点位移增量向量U。然后将整体坐标系下的位移转换为单元坐标系下的位移获得单元节点的位移增量向量u。将单元左端视为i、右端视为j则单元坐标系位移如下：uT{u,v,w,,,,u,v,w,,,} ②除刚移的相对位移(变形)决定的。下面介绍轴向、扭转、旋转方向相 yzeandDesignhe uj xxj 单元的旋转角：如下图2.8.46 :s:刚体运动引起的旋转角，且

w i、

vjL弯矩铰的内力-s wjwj

Lwjwi

yzeandDesignthe使用式(3)~(6)可以计算各成分的相对位移的增量向量 uT{

ujwjwivjviL Lz

wjwivjviL Lzxxj③利用单元的变形增量Δu计算单元的内力增量单元的内力增量q为单元的变形增量Δu和使用扣除了刚体移动计算的切线刚度矩阵kB的乘积。单元的内力增量q中的轴向力、扭矩、剪力为单元跨中值，弯矩则为单元两端值。ΔqABkAB qABTnmmmmm}: :kAB:剪力增量qS可由弯矩增量按下面计算而得qTqyq S其中，

zmzimzjz

myi yzeandDesignhe 使用内力增量Δq得到铰（截面)的内力增量Δq后与铰的当前状态的柔度相乘可得铰（截面）的变形增量。Δdfn 其中，fn:非线性铰的柔度(fn1/kn⑤铰的总内力和总变形为到前次步骤的内力和变形与当前步骤的内力增量和位移增量之和。dndn1Δdqnqn1

其中，dnqn

⑥铰的柔度和内力的计算方法如图2.8.47所示，可采用的铰骨架曲线(或判断次步骤(n-1)向当前步骤(n)移动时，弹塑性铰的变形dn是dydy时，dndykn将使用骨k*k*f*。 yzeandDesignthenn⑦nKnF n其中，Fn:Kn: yzeandDesignthe 用弯矩-旋转角关系定义的非线性单横向荷载作用下框架结构的梁单元的弯矩一般在两端最大，塑性铰也集中发生在梁的两端。此时可在梁的两端设置使用弯矩-旋转角定义的非线性弹簧来模拟可能出现的铰。使用弯矩-旋转角定义的铰也称为集中型铰模型(uedypeHinee。使用弯矩-旋转角关系定义的单元的铰特弯矩-旋转角梁单元是在单元两端设置了长度为0的平动和旋转非线性弹簧，而单元内部为弹性的非线性单元类型，如下图..8所示非线性弹簧的位置示意图。铰的特性参见表.2。2848弯矩- 6EI/L,3EI/L, yzeandDesignthe弯矩-旋转角非线性单元的柔度矩弯矩-旋转角单元的柔度矩阵由弹塑性铰的柔度矩阵和弹性单元的柔度矩阵相加而成，弹塑性铰的柔度为用户定义的铰的切线柔度和初始柔度的差，单元屈服前为零，铰的切线柔度矩阵由单轴(SingleComponent)或多轴(P-M-M)模型的状态决定。弯矩-旋转角单元的分析过程如下①通过(1)~(6)的计算过程获得铰的柔度和内力。因为在弯矩-旋转角单元中，计算的内力增量Δq的位置就是铰的位置，所以铰的内力Δq直接使用单元的内力增量Δq。②使用图2.8.49(a)的骨架曲线计算的各成分的铰的柔度，分为初ff

;11

dndel f0——dn——弹塑性铰的变形；del——弹性变形；—— yzeandDesignhe 图2849fsprn 弹塑性单元的柔度矩阵可由弹性梁单元的柔度矩阵和非线性弹簧的柔Fn=F0+f 其中，

:非线性梁单元单元柔度矩fspr:非线性弹簧的柔度矩阵(弹性状态时为 yzeandDesignthe只有铰内力达到屈服内力时，才会产生非线性弹簧铰，所以在弹性范围内非线性铰的的柔度为即服前元柔矩阵弹性单元柔矩相同，所以用户输入的铰的初始刚度在单元屈服前对分析结果没有影响。弯矩-旋转角单元的刚度矩阵可由弹塑性单元的柔度矩阵取逆计算弯矩-旋转角单元的弯矩成分的初始刚弯矩铰的弯矩-旋转角的关系不仅受单元端部的弯矩的影响，而且受单元内弯矩分布的影响，所以在定义铰的弯矩-旋转角关系时，需要定义弯矩在单元内的分布规律。一般来说按照图2.8.50～图2.8.52所示通过定义端部具有弯矩作用的简支梁的初始刚度矩阵来模拟单元内弯矩分布的影响。① b(a)变形形 (b)弯矩分VaM

6Lva 2L2

3V L12 6L3bb bbMb

如图2.8.50的情况下有vavb0、ab EI

b b yzeandDesignhe

1

b

b 3

，所以有

L

,

LM fL k ②MM (a)变形形 (b)弯矩分图2851仅一端有弯矩的简支梁的变形形状M0如图2.8.51的情况下有vavb0、M0，所以式(17) EI

4L2 b

1 M 6 M

b

3 yzeandDesignthe

fL k 两端弯矩大小和符号均相同时(MbMaM Mba

M MbM(a)变形形 (b)弯矩分如图2.8.52的情况有vavb0、MbMa，因此式(17) EI

b b

1aL 6Ma EI

b 3fL k yzeandDesignhe 用弯矩-曲率关系定义的非线性单弯矩-曲率非线性单元在单元内可以定义多个铰，并在各铰位置判断是否屈服和计算铰的柔度，然后通过数值积分计算单元的柔度矩阵和刚度矩阵。非线性单元的铰主要出现在单元端部，数值积分中一般使用Gauss-Legende积分法，但是该方法不能适用于单元端部有铰的情况。Mias程序中使用了Gu-oto数值积分方法，该方法适用于单元端部有铰的情况。弯矩-曲率关系定义的非线性单元的各成分铰特Midas静力弹塑性性分析中使用的弯矩-曲率关系非线性铰分为两种，一种是可以考虑单元全长均产生塑性的分布型(DistributedType)本构模型和只考虑单元两端产生塑性铰的集中型(LumpedType)本构模型。非线性铰：按积分点设置铰位置，可设置1~20非线性铰：单元两端(弯矩)、单元(轴力、剪切、扭转弯矩成分铰位置：每个单元可设置三个积分点，但点为弹性轴力、剪切、扭矩铰位置：在单元取一个积分Inelastic

ElasticHinge

(a)分布型铰位置 (b)集中型铰类型位置(弯矩成分)图2853弯矩-曲率关系非线性单元的非线性铰位置 yzeandDesignthe弯矩-曲率关系非线性单元的各内力成分的铰热行表见如下表2.8.3表2.8.3弯矩-曲率关系非线性单元各成分铰特初始刚度轴力积扭矩积积弯矩-曲率关系非线性单元的柔度矩弯矩-曲率型单元的柔度矩阵是通过对各积分点的柔度进行积分计算获(-M-M的状态决定。弯矩-曲率型弹塑性单元的分析过程如下①通过面介绍的非线性单元的①~③的计算过程获得单元的内力增量Δq，各积分点位置的弹塑性铰的内力增量Δq(x)可使用单元内力增量 ΔqAB(x)b(x) ΔqT ΔqAB(x)T mz,sec yzeandDesignhe b(x) b(x) 0

,

x 10

mzimyiL

ymx,sec 使用非线性单元的分析过程的④~⑥步骤计算非线性铰的柔度f(x)③使用各积分点的柔度f(x)FLbT(x)f0其中，fx):x

b(x):x处的各构件内力分布函数矩阵(内插函数 : : :④ 弯矩-曲率关系非线性单元的刚度矩阵通过对单元的柔度矩阵取逆得。 yzeandDesignthe如下图2.8.54所示，非线性桁架单元由承受构件轴向(x方向)桁架单元的非线性铰特性参见下表2.8.4非线性连接单元(GeneralLink)由两个节点构成，且由六个方向的弹簧构成。在静力弹塑性分析中可在一般连接特性值(GeneralLinkProperties)中将非线性连接单元设置为非线性连接单元各成分铰特性参见表2.8.5表 非线性连接单元的各成分铰特性成轴力轴力-用户定义单元剪力(Fy、剪力-用户定义单元扭矩扭矩-用户定义单元弯矩(My、弯矩-用户定义单元 yzeandDesignthe 静力弹塑性铰的非线性特征由输入的铰的骨架曲线(SkeletonCuve)决定，所谓的骨架曲线就是单元的力和变形之间的关系曲线，例如弯矩-旋转角关系曲线、弯矩-曲率关系--剪切变形、扭矩-旋转角之间的关系曲线。..~..章节。Midas适用单元：单元、墙单元(misGn程序)、桁架单元、一般连接单元骨架曲线的初始刚度k0：仅支持(+)和(-)适用单元：单元、墙单元(misGn程序)、桁架单元、一般连接单元骨架曲线的初始刚度k0：仅支持(+)和(-)FEMA适用单元：弯矩-旋转角单元、墙单元(mdsGn程序)、桁架单元、一般骨架曲线的初始刚度k0：仅支持(+)和(-) yzeandDesignthe多折线铰类型适用于荷载控和位移控只能模拟单元的刚度不能模拟模拟强度(不能定义负斜率

:Ini.

:Ini.(a)双折线类型 图2.8.55多折线铰类型的塑性铰特性 yzeandDesignhe FEMAFEMA铰特性是对钢筋混凝土构件和钢构件通过往复荷载(reversedcyclicload)试验后超过C点时果整体结构的承载能力继续增长时程序会继续分析，但是当破坏达到一定

——————公称屈服强度(nominalyieldstrength)，与截面尺寸、形状、配——应变强化(strainhardening)区段，一般来说B-C区段的刚度为初始强度的5~10%——下降段C-D——构件的初始破坏(initialfailure)点E——极限变形状态，无法继续承受重力荷载的状态。 yzeandDesignthe多轴铰本构模型：P-M-M多轴铰模型主要用于模拟承受轴力和两个方向弯矩的柱构件，轴力和弯矩相关关系构成屈服面，通过计算轴力来计算屈服弯矩。(a)钢筋砼构件(三折线) (b)钢构件(双折线)

Mnox noy式(24) yzeandDesignthe 钢筋砼构件使用三折线铰类型时，如图2.8.58所示发生裂缝后刚度折减率y中的第二条直线的刚度折减率1可按钢筋砼设计标准中建议的式(25计算如下。MM1Mc

2y d y0.0431.64npt0.043D0.330D My1

yMcMy

WeyzeandDesignthe在多轴铰类型(PMM类型)y时也需要考虑轴力的影响。在PMM铰类型中计算刚度折减率y首先计算当前轴力Pi作用下的抗裂弯矩(与抗裂屈服面的交点然后计算初始荷载作用下的构件轴力P0点与点ab将点b的弯矩作为预测的屈服弯矩计算y中的轴力Py

yzeandDesignhe 使用Pushover程序中的Pushover分析是使用能力谱法(CSM)计算结构的极限承载能力并对结构的抗震性能进行评价的方法。通过Pushover分析可得能力曲线和能力谱，通过有效阻尼原理可由弹性设计反应谱获得需求谱。将两个谱放在同一个坐标系中可获得两个谱的交点，该点就是代表最大需求内力的性能点。利用性能点上的变形和内力值来评价结构的抗震性能和具有的性能水准。Pshve分析中直接获得的是荷载-位移-)关系，而反应谱是加速度-周期(-T曲线。了较者需将者换为速-位移谱acceeai-iscementesponepecr)。将荷载-位移关系曲线(能力曲线)转换为加速度-图2.8.60计算能力谱和需求谱 yzeandDesigntheVA MUD k其中Гk和Mk分别为第k阶振型的振型参与系数和振型参与质量，计算如下k

j1NNN22

Mk

mjjk m2j

式()和()是动力学中多自由度(MDOF)体系与单自由度体系(SDOF)的关系。即A和D分别为单自由度体系的响应谱上的响应加速度和响应位移，V和U为多自由度体系的基底剪力和位移。结构大师中使用单自由度体系的能力谱。同样可利用单自由度体系的位移和加速度的关系(5)将弹性加速度反应谱的加速-周期谱转换为加速度-TD n

yzeandDesignhe 性能点(Performance能力谱和需求谱的交点为性能点，结构大师中使用TC-40的能力谱法(CSM)中推荐的Pocedue-A和Pocedue-B两种方法计算性能点。两种方法的原理相同，Pocedue-A在计算有效阻尼时使用直接迭代计算，而Pcedue-B则是使用延性比的假定和有效周期计算有效阻尼。计算等效阻尼(equivalentDam能力谱法(CSM)中将能力谱转换为面积相同的双折线模型，并使用阻尼比为5%的弹性响应谱和能力谱计算结构的等效阻尼。结构阻尼耗散的能量等于双折线模a)和)计算。eq0+1ED63.7(aydpidyapi

4

api其中，ED=ESO= yzeandDesignthe将式(7a)

563.7(aydpidyapi)a

pieq为等效阻尼比(%)，ATC-40中要求当等效阻尼比大于25%时慎用，且计算有效阻尼(EffectiveDam钢筋混凝土的滞回曲线不能准确反映钢筋混凝土的刚度(stiffnessdegradation)和强度损伤(strengthdeterioration)、滑移和挤压(sliporpinching)等特性，为了能反映这些特性，ATC-40使用了阻尼修正系数(dammodificationfactor)对等效阻尼

563.7(aydpidyapi)a

pi等效阻尼β0阻尼修正系数类型>类型>0.446aydpidyapiapid类型 yzeandDesignhe

1αμ

αapi-aydpi-dy下面介绍使用有效阻尼计算非弹性需求谱的方法。使用有效阻尼系数分别计算加速度影响区段和速度影响区段的谱折减系数(spectumecionacto,)(见图2.8.62)。谱折减系数可使用Newmark和Hall(1982)推荐的地面运动放大系数计算，(SR)(S)的计算式见。ATC-40中对不同结构响应类型规定了谱折减系数的下限值(参见表2.8.7)图 使用谱折减系数计算非弹性需求 SRA

3.210.68ln api

0.33forType0.44forType0.56forTypeC

yzeandDesignthe

2.310.41ln

50.50forType0.56for0.67forTypeC

表 结构响应类型对应的谱折减系数下限κ通过对弹性反应谱的折减可得弹塑性需求谱，该弹塑性需求谱是阻尼比为5%的弹塑性需求谱，计算性能点还需要通过计算有效阻尼对应的需求谱。下面介绍计算性能点的方法。程序中提供T-4推荐的两种方法计算性能点，两种方法都是通过计算有效阻尼获得需求谱，并计算需求谱与能力谱的交点的方法。Procedure-A是ATC-40中提供的基本方法，其步骤如下(见图首先获得能力谱的