数学分析课件之第一章实数集与函数

第一章实数集与函数

§1实数§2数集确界原理§3函数的概念§4复合函数与反函数1.1实数一.实数及其性质二.绝对值与不等式

若规定：

则有限十进小数都能表示成无限循环小数.实数对正整数对负有限小数（包括负整数）y,先将-y表示成无限小数，再在无限小数前加负号．如:-8=-7.999一.实数及其性质：1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义.说明:

对于负实数x,y,若有-x=-y与-x>-y,则分别称x=y与x<y(y>x)2.两个实数的大小关系

说明:

.自然规定任何非负实数大于任何负实数.)2,1(,,,2,1,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>==>===££££===++或分别记为小于或大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中给定两个非负实数LLLLLLL

1)定义1

定义2设

为实数x的n位不足近似，而有理数

称为x的n位过剩近似，n=0,1,2,….为非负实数.称有理数2)通过有限小数比较大小的等价条件

对于负实数其n位不足近似和n位过剩近似分别规定为和

注意：对任何实数x,有,命题1

设实数的性质

1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.

2.实数集是有序的.即任意两个实数a,b必满足下述三个关系之一:a<b,a=b,a>b.为两个实数，则3.实数集的大小关系具有传递性.即若a>b,b>c,则有a>c.5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数..

,

0

,

,

.

4

b

na

n

a

b

R

b

a

,

>

>

>

Î

使得

则存在正整数

若

即对任何

实数具有阿基米德性

例1证明例2证明.::,yrxr，yx<<满足存在有理数证明为实数设.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn<<£<<£+=<<即得且有为有理数则令使得故存在非负整数由于.,:,,babaRba£+<Î则有若对任何正数证明设ee..,,..bababababa,£+<+=-=>从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法eeeea0-a二.绝对值与不等式从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：

绝对值定义：绝对值的一些主要性质性质4（三角不等式）的证明：由此可推出几个重要不等式:⑵

均值不等式:(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有平均值不等式:等号当且仅当时成立.⑶

Bernoulli不等式:⑷

利用二项展开式得到的不等式:由二项展开式TheClassisover.Goodbye!§2数集·确界原理。

无限区间x（见下页示图）MM2M1上确界上界m2mm1下确界下界确2、3、上§1.3函数概念映射函数的概念几个特殊的函数举例函数的性质一、映射定义1：设X与Y是两个非空集合，若对X中的每一个元素x，均可找到Y中唯一确定的元素

y

与之对应，则称这个对应是集合X到集合

Y的一个映射，记为f，或者更详细地写将x的对应元y记作1.映射的概念并称y为映射f下x的像，而x称为映射f下y的原像(或称为逆像).集合X称为映射f的定义域，记作，而X的所有元素的像f(x)的集合称为映射f的值域，记为概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基本要素：有唯一确定的

y=f(x)与之对应.需要指出的是：（1）映射要求元素的像必须是唯一的.（2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.定义2：设f是集合X到集合Y的一个映射，若f的逆像也是唯一的，即对X

中的任意两个不同元素x1≠x2，它们的像y1与y2

也满足y1≠y2

，则称f为单射；如果映射

f满足Rf=Y

，则称f为满射；如果映射

f既是单射，又是满射，则称f为双射（又称一一对应）.2一一对应3.逆映射逆映射：如果映射

f既是单射，又是满射，则

逆映射，4.复合映射：那就可以构造出一个和新的对应关系复合映射.

二函数概念

函数是整个高等数学中最基本的研究对象,可以说数学分析就是研究函数的.因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识.

例圆内接正多边形的周长圆内接正n

边形Or)因变量自变量D

称为定义域，记作Df

，即Df

=

D

.函数值的全体构成的数集称为值域，记为：对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.自变量因变量约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法).

用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平面上的

函数的表示法单值函数与多值函数

在函数的定义中,对每个xD,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.

如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个xD,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.例如,由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:下页此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支此函数称为绝对值函数,其定义域为D=(-,+),其值域为Rf

=[0,+).

(2)

(1)常值函数y=c.其定义域为D=(-,

+),其值域为Rf

={c}.下页三几个特殊的函数举例

(3)符号函数

其定义域为D=(-,+),其值域为Rf

={-1,0,1}.(4)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数阶梯曲线其定义域为D=(-,+),其值域为

=Z.

（5）“非负小数部分”函数它的定义域是有理数点无理数点•1xyo(6)狄利克雷函数其定义域为D=(-,+),其值域为={0,1}.(7)取最值函数yxoxo在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.分段函数例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压例2解故四、复合函数

在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个比较简单的函数“叠置”而成的，如在简谐振动中位移y与时间t的函数关系就是由三角函数和线性函数“叠置”而成的，定义:注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;——复合条件复合函数的定义域复合条件在实际应用时常取形式内层函数的值域落在外层函数的定义域之内2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.五、反函数DWDW反函数.的反函数，记为

反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域

显然有

(恒等变换）

(恒等变换)

。

这样直接函数与反函数的图形关于直线对称.从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为.

严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数。但1-1对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子它的反函数即为它自己.

实际求反函数问题可分为二步进行：

(1).

确定的定义域和值域，考虑1-1对应条件。固定，解方程

得出。(2).

按习惯，自变量、因变量互换，得.六初等函数１、基本初等函数（1）.幂函数幂函数（2）.指数函数（3）.对数函数(4)三角函数周期为2p的周期函数有界函数

|sinx|≤1特殊值：Taylor(Maclaurin)公式三角函数周期为p的周期函数无界函数：渐进线：特殊值：三角函数周期为p的周期函数无界函数：渐进线：特殊值：正割函数余割函数(5)反三角函数的图象幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例3解综上所述§1.4具有某些特征的函数二.单调函数三.奇函数和偶函数四.周期函数一.有界函数M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:

f(x)=sinx在(-,