2017-2021北京重点校高一（上）期中数学汇编：幂函数

2017-2021北京重点校高一(上)期中数学汇编

幕函数

一、单选题

1.(2017•北京八中高一期中)下列函数中，是偶函数的是().

A.y=x+lB.y=exC.y=lg|x|D.y=>/x

2.(2021•北京八十中高一期中)函数y=-/是()

A.在定义内是增函数B.奇函数

C.偶函数D.非奇非偶函数

3.(2017•北京四中高一期中)定义在R上的奇函数f(x)满足f(2x)=-2f(x),且f(-1)=/,则f(2)的值

为

A.1B.-2C.2D.-1

nx

4.(2017•北京师大附中高一期中)“a=0”是“/(x)=1r为奇函数”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

5.(2017•北京师大附中高一期中)已知f(x)为定义在［-1,1］上的奇函数，且/(x)在［0,1］上单调递减，则使不等

式/(x)+/(l-3x)<0成立的x的取值范围是

A.(-8=)B.［0、)C.D.(1，+«))

22322

6.(2019•北京师大附中高一期中)设函数的定义域为R,满足/(x+D=2f(x),且当xe(0,l］时，

O

/(x)=x(x—l).若对任意X€(-oo,列都有7(x)2-则Z"的取值范围是

/9-rz7

I

Te巩

A.k4-B.-3-

-\L

C.「8,5D.

、ax+h

7.(2021•北京四中高一期中)函数/(刈=7一中的图象如图所示，则下列结论成立的是

(x+c)

A.>0,b>0,c<0

B.〃<0,Z?>0,c>0

C.a<0,b>0,c<0

D.a<Ofb<0,c<0

二、填空题

8.(2018•北京西城十三中•高一期中)已知累函数的图象经过点则函数的解析式/(x)=.

9.(2021•北京市陈经纶中学高一期中)已知幕函数y=f(x)的图像过点(8,2&),则/(9)的值为.

10.(2018•北京西城十三中•高一期中)设。为常数，函数/(X)=X2-4X+3.若/(X+“)为偶函数，则。=

11.(2019•北京市陈经纶中学高一期中)若=是过点(2,；)的基函数，则°+8=.

12.(2019•北京市第H^一中学高一期中)设奇函数〃x)的定义域为［-5,5］.若当xG［0,5］时，/(X)的图象如图,

则不等式，(x)<0的解集是.

13.(2018•北京东城汇文•高一期中)对于函数=("为常数)，给出下列命题：

X-］

①对任意awR,/(x)都不是奇函数；②Ax)的图像关于点(1,。)对称；

③当。<-1时，无单调递增区间：④当a=2时，对于满足条件2<玉<它的所有4，须总有

/U,)-/a2)<3(x2-x,).其中正确命题的序号为.

三、解答题

14.(2017•北京西城十三中•高一期中)函数/(x)=咚)是定义在(7,e)上的奇函数，且

x+1\2)5

(I)求实数4，b,并确定函数f(x)的解析式.

(II)用定义证明/(x)在(0,1)上增函数.

15.(2017•北京八中高一期中)已知函数f(x)是R上的奇函数，且x>0时，f(x)=^l±.

X

(I)求函数f(x)的解析式.

(II)用定义证明函数fM在区间(2,内)上是增函数.

16.(2017•北京401中学高一期中)函数〃/=警^是定义在［-1,1］上的奇函数，且/停=金.

1+x-\2)5

(1)确定函数函x)的解析式.

(2)判断并用定义证明/(x)在(-1,1)上的单调性.

(3)若/(1-3m)+/(1+加)之0,求实数，”的所有可能的取值.

X

17.(2018•北京东城汇文•高一期中)已知函数f(x)=,

(1)判断函数/(x)的奇偶性.

(2)证明：函数/(*)在区间(-U)上是增函数.

18.(2018•北京东城汇文•高一期中)已知“X)是定义在(-1,1)上的奇函数，当xe(0,l),.

4-1

(1)求f(x)在(-1,0)上的解析式.

(2)解方程/(x)-2'=0.

(3)若对任意的xe(()4)，都有布Xx)>l,求实数用的取值范围.

19.(2018•北京市十一学校高一期中)已知f(x)为定义在(-8,0)U(0,+oo)上的偶函数，且当x>0时,

2

f(x)=log2(x+x).

(1)求当x<0时,/(X)的解析式.

(2)解不等式/(x)4L

9

20.(2017•北京师大附中高一期中)已知函数〃x)=x2+)

(1)函数/(x)是否具有奇偶性？若具有，则给出证明；若不具有，请说明理由；

(2)试用函数单调性的定义证明：/(x)在(1,+8)上为增函数.

参考答案

1.C

【解析】

Vlg|-x|=lg|^,

；.y=ig|x|是偶函数(定义域关于原点对称).

故选c.

2.B

【解析】

根据嘉函数的性质判断可得；

【详解】

解：函数^=/(力=7?定义域为R,且/(_x)=-(-x)3=V=-/(x),故y=f3为奇函数，因为y=*3在定义域上

单调递增，所以y=-丁在定义域上单调递减；

故选：B

3.A

【解析】

由于函数/(x)为奇函数且/(-l)=g，所以/⑴=一/(一1)=一；，

又因为/(2x)=—2〃江所以〃2)=-2〃1)=1,故选A.

4.A

【解析】

直接根据函数的奇偶性的定义与性质，结合充分条件与必要条件的定义判断即可.

【详解】

a=O=〃x)=O,/(x)的图象关于原点对称，所以/(X是奇函数；

若/(x)=&"为奇函数，则aeR,即不能推出a=0,

所以。=0,是/(x)=AJ为奇函数充分非必要条件，故选A.

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性的定义与性质、充分条件与必要条件的定义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属

于中档题.

5.B

【解析】

根据函数的奇偶性与单调性将不等式再转化为x>3x-l,结合函数的定义域，列不等式组求解即可.

【详解】

因为f(x)为奇函数，且/(x)在［0』上单调递减，

所以/(X)在卜1』上单调递减

所以〃x)+/(l—3x)<0化为〃力<一〃1一3"=，(X—3，

x>3x-l,又因为〃x)的定义域是［-1』，

-1<X<1

所以1-41-3x41,解得OVx<L,

2

x>3x-1

使不等式/(x)+/(l-3x)<0成立的x的取值范围是0,；),故选B.

【点睛】

本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等

式应注意以下三点：(1)一定注意抽象函数的定义域(这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心)；(2)

注意应用函数的奇偶性(往往需要先证明是奇函数还是偶函数)；(3)化成/(g(x))2/(/z(x))后再利用单调性和

定义域列不等式组.

6.B

【解析】

本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运

算得到解决.

【详解】

•.♦xe(0,l］时,f(x)=xd),/(x+l)=2/(x),f(x)=2/(x-l),即右移1个单位,图像变为原来的2倍.

Q

如图所示：当2<xW3时，f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),令4(x-2)(x-3)=-§,整理得：9x2-45x+56=0,

(3x-7)(3x-8)=0,:.xt=-,x2=-(舍)，xe(-oo,汨时，/(幻2-§成立，即机,故选

【点睛】

易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函

数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力.

7.C

【解析】

试题分析：函数在尸处无意义，由图像看尸在y轴右侧，所以-c>o,c<o,〃0)=提>0,./>0,由

/(x)=0,.,.公+b=0,即x=-3，即函数的零点x=-：>0;.a<0.・.a〈0»)0,c<0,故选C.

考点：函数的图像

8.%-3

【解析】

已知基函数的图象经过点(2,1,设基函数为：/(x)=x\有〃2)=?"=",解得a=-3.

所以〃x)=x3.

9.3

【解析】

利用待定系数法求出"X)的表达式即可.

【详解】

设y(x)=xa,

33一1

则/⑻=8"=23a=2夜=2"解得3a=5,所以。=万

11

则/(x)=J，/(9)=92=39

故答案为：3

10.2

【解析】

函数〃x)=Y-4x+3,为开口向上的抛物线，对称轴为：x=2.

有：〃X+2)=%2一,此时对称轴为x=0,即/。+2)为偶函数，

所以a=2.

11.-1

【解析】

由函数y=〃x)为幕函数得出。=1,再将点(2,；)的坐标代入函数y=〃x)的解析式可得出/,的值，从而计算出

a+6的值.

【详解】

由于函数/(力=/是幕函数，贝ija=l,=

由已知条件得/⑵=2"=：,.»=-2,因此，a+b^-i.

故答案为：T.

【点睛】

本题考查利用基函数的解析式和函数值求参数，同时也考查了指数塞的运算，考查运算求解能力，属于基础题.

12.(-2,0)o(2,5)

【解析】

根据奇函数的性质，结合数形结合思想进行求解即可.

【详解】

利用函数/(制的图象关于原点对称.

.-./(x)＜0的解集为(—2,0)里(2,5).

故答案为：(-2,0)52,5)

13.①②④

【解析】

①“X)定义域为.../(x)不可能为奇函数，正确；②f(x)="(CJa+署,图像关于(1,。)对

称，正确；③当时，/*)=上空+a在(7U)和Q”)上为增，错误；④a=2时，/。)=二7+2在(2,+8)上

x-1x-1

为减函数，f(X|)-f(/)=7、＜3(当-X1),正确，故答案为①②④.

X

14.(1)a=\,b=0,/(x)=^-(2)见解析

x'+l

【解析】

试题分析：⑴根据奇函数的性质,=-4X),及H=：.及构造关于a,b的方程，解方程可求出实数a,b的值，进

而得到函数/")的解析式；

(2)根据(1)中函数的解析式，任取区间(0,1)上两个任意的实数，然后分析它们所对应的函数值的大小，进而根据函数单

调性的定义，即可得到结论.

试题解析：(1)•••函数〃x)是定义在(9,”)上的奇函数，

f(0)=^=0,b=0.

Y

故a=l,b=0,/（x）=——.

+1

（2）证明，任取再，££（0,1）,内＜々，则:

_____%=x（x；+l）（d+l）一（占一-2）（1-百马

Js尸八刈一币T一三7rH+i）（¥+i广（d+NW+i）

^1<x2,e（O,l）

2

/.X）-x2<0,\-x}x2>0,xj+1>0,X2+1>0,

.\/（x1）-/（x2）＜0＞即/（西）＜〃毛），

故/（x）在（0,1）上是增函数.

点晴:证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取士，毛，并且用＞々（或、＜占）；（2）作差:

/（x,）-/（x2）,并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断/（芭）-/（々）的正负

（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.

4—r3

--(x<0)

X

15.(I)f(x)=0U=0)；(II)见解析.

x3+4,八、

-----U>0)

x

【解析】

试题分析:（I）当x＜0时，—x＞0,且〃x）为奇函数，即得=x）,又奇函数40）=0,即可得解析

式;

（II）根据单调性的定义取X，玉€（2,物）且玉＞七，化简整理/（西）-〃々），与0比较大小即得单调性.

试题解析:

(I)；/(x)是R上的奇函数，

•••/(o)=o,

•.•当x<0时，—x>0,且/⑺为奇函数,

4-Y3

f⑺=~f(T)=-x(x<0),

4—x3

-----(x<0)

x

”(x)〜0(x=0).

了3+4

:——U>0)

X

4

(H)证明:/(x)=x2+-,

x

取再，w«2,+00)且%>“2，

/(%)-F(工2)="；一/+-

=(％+4)(%-工2)--4包一々)

[(百+W>x/2-41x(百一乙)

*/x1>2,x2>2,

%天x(%+%2)>16.

，（玉—4>0,X）-x2>0,不工2>°，

/（6/⑸>0，

.•./（X）在（2,+8）上是增函数.

点睛：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取士,三，并且%>刍（或芭<刍）；（2）作差:

/（%,）-/（%,）,并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断/（%）-/（%）的正负

（要注意说理的充分性），必要时要讨论：（4）下结论：根据定义得出其单调性.

2x

16.（1）f（x}=——；（2）增函数；（3）0

1+xr

【解析】

/（0）=0,

试题分析：（1）根据条件可得=g代入解出方程组即可得函数解析式；（2）根据函数单调性的定义取

值、作差、化简、下结论等步骤即可判断并证明f（x）的单调性；（3）根据单调性与奇偶性可得不等式组，解出不

等式组即可.

。=2,

试题解析:（1）根据题意,/（x）为定义在［-1,1］上的奇函数，贝小解得所以

b=0.

小）=15・

2x,2x2（%一用）（1一再%）

⑵任取玉,吃«叫，不妨设—==,因为

-1<X,<jf2<1,x2-xt>0,1+x：>0,1+考>0,I-%；%,>0,所以/（王）-f（xJ>0,即/（电）>/（%）,所以

/（x）在（-1,1）上是增函数；

（3）“X）为卜川上的奇函数，且由⑵知〃x）为增函数，则/（1一3〃?）2-/（1+加）=/（一加一1）,所以

-1<-1-777<1,

-1<1-3/H<1,解得团=0.

1一3m>-771-1,

17.（1）奇函数；（2）详细见解析

【解析】

试题分析：（1）首先求出函数的定义域为{叶},求出力=-/（力，可得函数为奇函数；（2）利用取值,

作差，化简/a）-/（w），得其与o的关系，从而可得单调性.

试题解析：（1）“X）定义域：1-X%0,即卜,二±1},〃—»=吕=一“X）,.•./（%）为奇函数.

\—X

(2)证明：在(一1,1)内任取再，,使西<工2，

外引一/卜)_育_*_07；)(1一引'

(X.-x9)(l+x.x?)

=(1苛1_引<。,,♦♦/(%)</(%)—•./(')为单调增函数，

Y\3

18.(1)f(x)=-----；(2)x=—；(3).

,4A-122

【解析】

试题分析：(1)令X«T,O),则T€(O,1),求出/.(-X),根据奇函数的性质/(x)=—X)可得最后结果；

(2)由题意可得——-2'=0,得》=:,其余情形不合题意；(3)利用分离参数的思想将题意转化为加>一

4V-122,

在xe(O,l)上恒成立，求出不等号右边的最大值即可.

,一X

试题解析：(1)令x«-l,O),...ree/)，〃_力=__,

4—1

•.•奇函数，，/(x)=-=...〃x)=A，xe(-l,O).

4—14—1

7A'OX1

(2)〃x)=白，xe(0,l)o(-l,0),总_2'=0,得x=，

当x=0时，/(0)=0,0—1x0,；.(舍)，f(x)-2、=0的解为x=g.

>4/—1Ax—1

(3)m-———>1,当x«0,l)时，4v-1>0,T>1,•*.m>——1在x«0,l)上恒成立，令/z(x)=——,即

4'—12'2*

心力⑺皿,h[x)=r-,当X€(0,l)上时，为增函数，

,,I33

：.h[x)<h{\)=2--=~,，机\

点睛：本题主要考查了函数的奇偶性以及恒成立问题在函数中的应用，属于中档题；判断奇偶性首先应求出定义

域，然后判断f(x)与“-x)的关系，对于恒成立问题利用分离参数的思想得，">Mx)恒成立，其等价于

/n>Mx)四，利用单调性求出函数最大值即可.

2

19.(1)x<0时，f(x)=log2(x-x).(2)[-l,0)U(0,l].

【解析】

分析：⑴根据偶函数得〃-x)=〃x),再根据当x>0时，f(x)=/og2(V+x)得当x<0时，

2

/(x)=/(-x)=log2[(-x)+(-%)],(2)先求x>0时不等式解集：0<%<1；再根据偶函数性质得当x<0时，解集

为-lWx<0,两者得并集为结果.

详解：

2

解：(1):,当x>0时，/(x)=fog2(x+x),

.•.当x<0时、-x>0,f(-x)=log,[(-x)2+(-x)^j=log,(x2-x),

又/(X)为定义在(3,0)50,y)上的偶函数，

2

工/