北师大版九年级(下册)数学期末试卷

PAGE页码页码/NUMPAGES总页数总页数北师大版九年级(下册)数学期末试卷一．选择题（共10小题）1．下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50° B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°2．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列关系或说法正确的是（）斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米3．已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=,AC=1,那么∠A的正切tanA等于（）A． B．2 C． D．4．函数y=k（x﹣k）与y=kx2,y=（k≠0）,在同一坐标系上的图象正确的是（）A． B． C． D．5．若抛物线y=x2﹣2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,则原抛物线图象的解析式应变为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+46．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1,0）,则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（）A．x1=﹣3,x2=﹣1 B．x1=1,x2=3 C．x1=﹣1,x2=3 D．x1=﹣3,x2=17．如图所示,⊙O的半径为13,弦AB的长度是24,ON⊥AB,垂足为N,则ON=（）A．5 B．7 C．9 D．118．如图,线段AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CAB=40°,则∠ABD与∠AOD分别等于（）A．40°,80° B．50°,100° C．50°,80° D．40°,100°9．已知⊙O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C,连接AO并延长交⊙O于点E,若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为（）A．12 B．15 C．16 D．1810．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0,其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共10小题）11．在△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则sinA的值是．12．在将Rt△ABC中,∠A=90°,∠C：∠B=1：2,则sinB=．13．已知cosα=,则的值等于．14．已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2,4）,则4a+c﹣1=．15．若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1,0）、B（x2,0）两点,则+的值为．16．已知M、N两点关于y轴对称,且点M在双曲线上,点N在直线y=﹣x+3上,设点M坐标为（a,b）,则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为．17．若⊙O的直径为2,OP=2,则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O．18．如图,⊙O的直径CD=20cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,若OM=6cm,则AB的长为cm．19．已知AB、BC是⊙O的两条弦,AB=AC,∠AOB=120°,则∠CAB的度数是．20．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,且P=|2a+b|+|3b﹣2c|,Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|,则P,Q的大小关系是．三．解答题（共10小题）21．计算：．22．如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=,BC=8,D是AB中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．23．已知△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4,BC=2,求CD的长．24．如图,AB为⊙O的直径,点E在⊙O上,C为的中点,过点C作直线CD⊥AE于D,连接AC、BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由；（2）若AD=2,AC=,求AB的长．25．如图,AB是⊙O的弦,点C为半径OA的中点,过点C作CD⊥OA交弦AB于点E,连接BD,且DE=DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由；（2）若CD=15,BE=10,tanA=,求⊙O的直径．26．某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克）,增种果树x（棵）,它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时,果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？27．为了增强学生体质,学校鼓励学生多参加体育锻炼,小胖同学马上行动,每天围绕小区进行晨跑锻炼．该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD,已知四边形ABED是正方形,∠DCE=45°,AB=100米．小胖同学某天绕该道路晨跑5圈,时间约为20分钟,求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分？（结果保留整数,≈1.41）28．据调查,超速行驶是引发交通事故的主要原因之一,所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s,在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪,如平面几何图,AD=24m,∠D=90°,第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶,测得∠ABD=31°,2秒后到达C点,测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6,tan50°≈1.2,结果精确到1m）（1）求B,C的距离．（2）通过计算,判断此轿车是否超速．29．如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0）,B（3,0）两点,与y轴交于点C（0,﹣3）,顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,请求出所有符合条件的P点的坐标,若不存在,请说明理由．30．在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A,B两点（A在B的左侧）,与y轴交于点C,顶点为D．（1）请直接写出点A,C,D的坐标；（2）如图（1）,在x轴上找一点E,使得△CDE的周长最小,求点E的坐标；（3）如图（2）,F为直线AC上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形？若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由．

北师大版九年级下册数学期末试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•永州）下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50° B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断．【解答】解：A、sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°,式子正确；B、tan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1,式子正确；C、sin225°+cos225°=1正确；D、sin60°=,sin30°=,则sin60°=2sin30°错误．故选D．【点评】本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系,以及同角之间的正切和余切之间的关系,理解性质是关键．2．（2016•巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列关系或说法正确的是（）A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米【分析】根据坡度是坡角的正切值,可得答案．【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10°=,故B正确；故选：B．【点评】本题考查了坡度坡角,利用坡度是坡角的正切值是解题关键．3．（2016•钦州校级自主招生）已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=,AC=1,那么∠A的正切tanA等于（）A． B．2 C． D．【分析】根据勾股定理求出BC,根据正切的定义计算即可．【解答】解：∵∠C=90°,AB=,AC=1,∴BC==2,则tanA==2,故选：B．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义,掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．4．（2016•赤峰）函数y=k（x﹣k）与y=kx2,y=（k≠0）,在同一坐标系上的图象正确的是（）A． B． C． D．【分析】将一次函数解析式展开,可得出该函数图象与y轴交于负半轴,分析四个选项可知,只有C选项符合,由此即可得出结论．【解答】解：一次函数y=k（x﹣k）=kx﹣k2,∵k≠0,∴﹣k2＜0,∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴．A、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴,A不正确；B、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴,B不正确；C、一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴,C可以；D、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴,D不正确．故选C．【点评】本题考查了一次函数的图象,解题的关键是分析一次函数图象与y轴的交点．本题属于基础题,难度不大,解决该题时,由一次函数与y轴的交点即可排除了A、B、D三个选项,因此只需分析一次函数图象即可得出结论．5．（2016•眉山）若抛物线y=x2﹣2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,则原抛物线图象的解析式应变为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4【分析】思想判定出抛物线的平移规律,根据左加右减,上加下减的规律即可解决问题．【解答】解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,这个相当于把抛物线向左平移有关单位,再向下平移3个单位,∵y=（x﹣1）2+2,∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1,故答案为C．【点评】本题考查二次函数图象的平移,解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的,记住左加右减,上加下减的规律,属于中考常考题型．6．（2016•宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1,0）,则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（）A．x1=﹣3,x2=﹣1 B．x1=1,x2=3 C．x1=﹣1,x2=3 D．x1=﹣3,x2=1【分析】直接利用抛物线与x轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案．【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1,0）,∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一个解为：x=﹣1,∵抛物线的对称轴为：直线x=1,∴二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3,0）,∴方程ax2﹣2ax+c=0的解为：x1=﹣1,x2=3．故选：C．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点,正确应用二次函数对称性是解题关键．7．（2016•黄石）如图所示,⊙O的半径为13,弦AB的长度是24,ON⊥AB,垂足为N,则ON=（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】根据⊙O的半径为13,弦AB的长度是24,ON⊥AB,可以求得AN的长,从而可以求得ON的长．【解答】解：由题意可得,OA=13,∠ONA=90°,AB=24,∴AN=12,∴ON=,故选A．【点评】本题考查垂径定理,解题的关键是明确垂径定理的内容,利用垂径定理解答问题．8．（2016•巴彦淖尔）如图,线段AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CAB=40°,则∠ABD与∠AOD分别等于（）A．40°,80° B．50°,100° C．50°,80° D．40°,100°【分析】求出∠AEC=90°,根据三角形内角和定理求出∠C=50°,根据圆周角定理即可求出∠ABD,根据OB=OD得出∠ABD=∠ODB=50°,根据三角形外角性质求出即可．【解答】解：∵CD⊥AB,∴∠AEC=90°,∵∠CAB=40°,∴∠C=50°,∴∠ABD=∠C=50°,∵OB=OD,∴∠ABD=∠ODB=50°,∴∠AOD=∠ABD+∠ODB=100°,故选B．【点评】本题考查了圆周角定理,垂径定理的应用,能熟记圆周角定理的内容是解此题的关键．9．（2016•丹阳市校级一模）已知⊙O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C,连接AO并延长交⊙O于点E,若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为（）A．12 B．15 C．16 D．18【分析】设OC=x,根据垂径定理可得出AC=4,利用勾股定理可得出关于x的一元二次方程,解方程求出x的值,进而得出OC的长度,再根据三角形的中位线的性质以及三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：依照题意画出图形,如图所示．设OC=x,则OA=OD=x+2,∵OD⊥AB于C,∴在Rt△OAC中,OC2+AC2=OA2,即x2+42=（x+2）2,解得x=3,即OC=3,∵OC为△ABE的中位线,∴BE=2OC=6．∵AE是⊙O的直径,∴∠B=90°,∴．故选A．【点评】本题考查了垂径定理、三角形的中位线以及三角形的面积,解题的关键是求出BE的长度．本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据勾股定理找出方程是关键．10．（2016•常德）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0,其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由二次函数的开口方向,对称轴0＜x＜1,以及二次函数与y的交点在x轴的上方,与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．【解答】解：∵二次函数的开口向下,与y轴的交点在y轴的正半轴,∴a＜0,c＞0,故②正确；∵0＜﹣＜1,∴b＞0,故①错误；当x=﹣1时,y=a﹣b+c＜0,∴a+c＜b,故③正确；∵二次函数与x轴有两个交点,∴△=b2﹣4ac＞0,故④正确正确的有3个,故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0,c）．二．填空题（共10小题）11．（2016•永春县模拟）在△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则sinA的值是．【分析】利用锐角三角函数的定义求解,sinA为∠A的对边比斜边,求出即可．【解答】解：∵在△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,∴sinA==．故答案为．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边．12．（2016•株洲模拟）在将Rt△ABC中,∠A=90°,∠C：∠B=1：2,则sinB=．【分析】根据题意和三角形内角和定理求出∠B的度数,根据正弦的定义解答即可．【解答】解：∵∠A=90°,∴∠C+∠B=90°,又∠C：∠B=1：2,∴∠B=60°,∴sinB=,故答案为：．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、三角形内角和定理的应用,掌握三角形内角和等于180°、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13．（2016•雅安校级模拟）已知cosα=,则的值等于0．【分析】先利用tanα=得到原式==,然后把cosα=代入计算即可．【解答】解：∵tanα=,∴==,∵cosα=,∴==0．故答案为0．【点评】本题考查了同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A=1；正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比,即tanA=或sinA=tanA•cosA．14．（2016•牡丹江）已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2,4）,则4a+c﹣1=﹣3．【分析】将点（﹣2,4）代入y=ax2﹣3x+c（a≠0）,即可求得4a+c的值,进一步求得4a+c﹣1的值．【解答】解：把点（﹣2,4）代入y=ax2﹣3x+c,得4a+6+c=4,∴4a+c=﹣2,∴4a+c﹣1=﹣3,故答案为﹣3．【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征,点在函数上,将点代入解析式即可．15．（2016•泸州）若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1,0）、B（x2,0）两点,则+的值为﹣4．【分析】设y=0,则对应一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标,利用根与系数的关系即可求出+的值．【解答】解：设y=0,则2x2﹣4x﹣1=0,∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标,即x1,x2,∴x1+x2=﹣=2,x1,•x2=﹣,∴+==﹣4,故答案为：﹣4．【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,掌握二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的一元二次方程的根是解题关键．16．（2016•邯郸校级自主招生）已知M、N两点关于y轴对称,且点M在双曲线上,点N在直线y=﹣x+3上,设点M坐标为（a,b）,则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为（±,）．【分析】根据反比例函数和一次函数的性质解题．【解答】解：∵M、N两点关于y轴对称,∴M坐标为（a,b）,N为（﹣a,b）,分别代入相应的函数中得,b=①,a+3=b②,∴ab=,（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=11,a+b=±,∴y=﹣x2±x,∴顶点坐标为（=±,=）,即（±,）．故答案为：（±,）．【点评】主要考查了函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．解题关键是先求出ab,a+b的值,整体代入求出函数的解析式．17．（2016秋•南京期中）若⊙O的直径为2,OP=2,则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O外．【分析】由条件可求得圆的半径为1,由条件可知点P到圆心的距离大于半径,可判定点P在圆外．【解答】解：∵⊙O的直径为2,∴⊙O的半径为1,∵OP=2＞1,∴点P在⊙O外,故答案为：外．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系,利用点到圆心的距离d与半径r的大小关系判定点与圆的位置关系是解题的关键．18．（2016•绥化）如图,⊙O的直径CD=20cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,若OM=6cm,则AB的长为16cm．【分析】连接OA,根据垂径定理求出AB=2AM,已知OA、OM,根据勾股定理求出AM即可．【解答】解：连接OA,∵⊙O的直径CD=20cm,∴OA=10cm,在Rt△OAM中,由勾股定理得：AM==8cm,∴由垂径定理得：AB=2AM=16cm．故答案为：16．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用,关键是构造直角三角形．19．（2016•香坊区模拟）已知AB、BC是⊙O的两条弦,AB=AC,∠AOB=120°,则∠CAB的度数是15°或75°．【分析】①若点C在优弧AB上,根据AB=AC设AC=2x、AB=x,作OD⊥AB、作OE⊥AC,由∠AOB=120°、OA=OB得∠OAD=30°,在Rt△OAD中可得OA=x,在Rt△OAE中由cos∠OAE=可得∠OAE度数,继而根据∠CAB=∠OAB+∠OAE可得∠CAB度数；②当点C在劣弧AB上时,与（1）同理可得∠OAB=30°,∠OAE=45°,根据∠CAB=∠OAE﹣∠OAD可得此时∠CAB的度数,即可得答案．【解答】解：①如图1,若点C在优弧AB上,∵AB=AC,∴设AC=2x,则AB=x,过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,∴AD=AB=x,AE=AC=x,∵∠AOB=120°,OA=OB,∴∠OAD=30°,在Rt△OAD中,OA===x,在Rt△OAE中,cos∠OAE===,∴∠OAE=45°,∴∠CAB=∠OAB+∠OAE=75°；②如图2,当点C在劣弧AB上时,由①知,∠OAB=30°,∠OAE=45°,∴∠CAB=∠OAE﹣∠OAD=15°,故答案为：15°或75°．【点评】本题主要考查垂径定理及三角函数的应用,熟练掌握垂径定理是解题的关键．20．（2016•内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,且P=|2a+b|+|3b﹣2c|,Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|,则P,Q的大小关系是P＞Q．【分析】由函数图象可以得出a＜0,b＞0,c＞0,当x=1时,y=a+b+c＞0,x=﹣1时,y=a﹣b+c＜0,由对称轴得出2a+b=0,通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、Q的值．【解答】解：∵抛物线的开口向下,∴a＜0,∵﹣＞0,∴b＞0,∴2a﹣b＜0,∵﹣=1,∴b+2a=0,x=﹣1时,y=a﹣b+c＜0．∴﹣b﹣b+c＜0,∴3b﹣2c＞0,∵抛物线与y轴的正半轴相交,∴c＞0,∴3b+2c＞0,∴p=3b﹣2c,Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c,∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0∴P＞Q,故答案为：P＞Q．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系,去绝对值,二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．三．解答题（共10小题）21．（2016•金华校级模拟）计算：．【分析】先根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及0指数幂把原式化简,再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=2+2﹣4×﹣1,=2+2﹣2﹣1,=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂及二次根式等考点的运算．22．（2016•江西模拟）如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=,BC=8,D是AB中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==,则可计算出AB=10,然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6,在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC,则S△BDC=S△ABC,即CD•BE=•AC•BC,于是可计算出BE=,然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．【解答】解：（1）在△ABC中,∵∠ACB=90°,∴sinA==,而BC=8,∴AB=10,∵D是AB中点,∴CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中,∵AB=10,BC=8,∴AC==6,∵D是AB中点,∴BD=5,S△BDC=S△ADC,∴S△BDC=S△ABC,即CD•BE=•AC•BC,∴BE==,在Rt△BDE中,cos∠DBE===,即cos∠ABE的值为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．23．（2016•宁夏）已知△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4,BC=2,求CD的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C,由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B,由此推得∠B=∠C,由等腰三角形的判定即可证得结论；（2）连接AE,由AB为直径,可证得AE⊥BC,由（1）知AB=AC,证明△CDE∽△CBA后即可求得CD的长．【解答】（1）证明：∵ED=EC,∴∠EDC=∠C,∵∠EDC=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC；（2）方法一：解：连接AE,∵AB为直径,∴AE⊥BC,由（1）知AB=AC,∴BE=CE=BC=,∵△CDE∽△CBA,∴,∴CE•CB=CD•CA,AC=AB=4,∴•2=4CD,∴CD=．方法二：解：连接BD,∵AB为直径,∴BD⊥AC,设CD=a,由（1）知AC=AB=4,则AD=4﹣a,在Rt△ABD中,由勾股定理可得：BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中,由勾股定理可得：BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2整理得：a=,即：CD=．【点评】本题考查