自控原理第九章

自控原理第九章第一页，共四十四页，编辑于2023年，星期二显见B()的元素均为(n

1)阶多项式，根据矩阵加法规则可将其分解为N个矩阵之和，即：第二页，共四十四页，编辑于2023年，星期二式中Bn1,Bn2,…,B0均为n阶矩阵。将式（9-119）两端右乘(IA)，得：将式(9-120)代入式(9-121)并展开有：令式(9-122)等号两边同次项的系数相等，可得：An

An1A

第三页，共四十四页，编辑于2023年，星期二将式(9-123)两端按顺序右乘

An,

An1,,A

得：将式(9-124)中各式相加，可得：证毕。第四页，共四十四页，编辑于2023年，星期二[推论1]

矩阵A的k(k≥n)次幂可表示为A的(n1)阶多项式，即：式中的m与A阵的元素有关。此推论证明较为简单，可直接利用凯莱-哈密顿定理，见书上P439。（略）[推论2]

矩阵指数eAt可表示为A的(n1)阶多项式，即：式中m(t)(m=0,1,2,,n1)均为t的幂级数。此推论可利用凯莱-哈密顿定理和推论1证明，见书上P439。（略）第五页，共四十四页，编辑于2023年，星期二[秩判据]

线性定常连续系统(9-107)完全可控的充分必要条件是：其中，n为矩阵A的维数，S=[BAB…An1B]称为系统的可控性判别阵。（）[证明]

充分性：假设rankS

=

n，欲证系统完全可控。采用反正法。反设系统为不完全可控，则根据格拉姆矩阵判据可知：为奇异，第六页，共四十四页，编辑于2023年，星期二这意味着存在某个非零n维向量使：成立。显然，由此可导出：将式(9-129)对

t

求导直至

n1

次，再在所得结果中令

t=0，得：式(9-130)又可表示为：第七页，共四十四页，编辑于2023年，星期二由于

0，所以式(9-131)意味着S为行线性相关，即rankS<n，显然和已知rankS

=

n

相矛盾。因而反设不成立，系统应为完全可控。

必要性：假设系统完全可控，欲证rankS

=

n。采用反正法：反设rankS

<

n，这意味着S为行线性相关，因此必存在一个非零n维常数向量使：成立。要使上式成立，向量

TS

的每一个元素都必须为零，即：根据凯莱-哈密顿定理，An,An+1,…

均可表示为A的(n1

)阶多项式，因而式(9-132)又可写为：第八页，共四十四页，编辑于2023年，星期二从而对任意t1>0有：

或：因而有：因为已知0，若式(9-135)成立，则W(0,t1)必为奇异，系统为不完全可控，这与假设相矛盾，于是应有rankS=n，必要性得证。（秩判据证毕）

第九页，共四十四页，编辑于2023年，星期二[例9-17]

桥式网络如图9-26所示，试用可控性判据判断其可控性。[解]

该桥式电路的微分方程为：第十页，共四十四页，编辑于2023年，星期二选取状态变量x1=iL，x2=uc，消去微分方程组中的i1,

i2,

i3,

i4，可得状态方程为：可控性矩阵为：第十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期二当时，rankS

=

2

=

n，系统可控。但是，当电桥处于平衡状态，即

R1R4=

R2R3

时，及成立，这时状态方程变为：可控性矩阵为：rankS

=

1<n，系统不可控，u不能控制x2，x2是不可控状态变量。第十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期二[例9-21]

判定下列系统的可控性：[解]

可控性判别矩阵为：显见，矩阵S的第二行与第三行线性相关，rankS

=

2<

3，系统不可控。第十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期二[PBH秩判据]

线性定常连续系统（9-107）完全可控的充分必要条件是，对矩阵A的所有特征值i(i

=1,2,,n)，均成立，或等价地表示为：

由于这一判据是由波波夫

(Popov)和贝尔维奇

(Belevitch)首先提出，并由豪塔斯(Hautus)最先指出其可广泛应用性,

故称为PBH秩判据。（）(C表示复数域)第十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期二[证明]

必要性：假设系统完全可控，欲证式(9-136)成立。采用反证法。反设对某个i

有rank[iIA

B]<n，则意味着[iIA

B]为行线性相关，因而必存在一个非零常数向量

，使：成立。由式(9-138)可导出：进而可得：于是有：因已假设≠0，所以欲使式(9-140)成立，必有：第十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期二

这意味着系统不可控，显然与已知条件相矛盾，因而反设不成立，而式(9-136)成立。考虑到[sIA

B]

为多项式矩阵，且对复数域C上除

i(i

=1,2,,n)以外的所有s都有det(sIA)≠0，所以式(

9-136)等价于式(9-137)。必要性得证。充分性：假设式(9-136)成立，欲证系统完全可控。采用反证法。利用与上述相反的思路，即可证明充分性。至此，PBH秩判据证毕。第十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期二[例9-22]

已知线性定常系统的状态方程为：试判别系统的可控性。[解]

根据状态方程可写出：第十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期二考虑到A的特征值为：，所以，只需对它们来检验上述矩阵的秩。通过计算可知，当时，有：

第十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期二

计算结果表明，充分必要条件(9-136)成立，故系统完全可控。[PBH特征向量判据]

线性定常连续系统(9-107)完全可控的充分必要条件是，

对A的任一特征值i，应该使同时满足：的特征向量

0。[证明]

必要性：假设系统完全可控，反设存在一个向量

0使式(9-141)成立，则有：从而得到：第十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期二

这意味着rankS

<

n，即系统不完全可控。这与假设条件相矛盾，因而反设不成立。必要性得证。

充分性：也用反证法，利用与上述相反的思路来进行，具体证明过程从略。至此证毕。一般地说，PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性系统的复频域分析中。第二十页，共四十四页，编辑于2023年，星期二则系统(9-107)完全可控的充分必要条件是，在式(9-142)中，B不包含元素全为零的行。[证明]

可用秩判据予以证明，推证过程略。

[约当规范型判据]

线性定常连续系统(9-107)完全可控的充分必要条件分两种情况：

1)矩阵A的特征值1,2,,n是两两相异的。由线性变换可将式(9-107)变为对角线规范型：第二十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期二

2)矩阵A的特征值为1(1重)，2(2重)，…，l(l重)，且1+2+…+l

=n。由线性变换可将式(9-107)化为约当规范型：其中：第二十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期二其中：第个特征值i对应的块i=1~lk=1~i

，，，第二十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期二而(ri1+

ri2

+…+

)

=i。那么系统(9-107)完全可控的充分必要条件是：由(k=1,2,i)的最后一行所组成的矩阵：对i=1,2,…,l均为行线性无关。[证明]

可用PHB秩判据予以证明，此处略去推证过程。有兴趣的同学可参阅有关参考文献。第二十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期二试判定系统的可控性。[解]

由于此规范型中不包含元素全为零的行，故系统完全可控。[例9-23]

已知线性定常系统的对角线规范型为：第二十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期二[例9-24]

给定线性定常系统的约当规范形为：试判定系统的可控性。第二十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期二J1

J2

J3

J12

J11

J13

J21

J22

J31

B12B11B13B21B22B31B1

B2

B3

第二十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期二[解]

此题中，1=1(4重，1=4)；2=2(3重，2=3)；3=5(1重，3=1)；l=3，i=1~3。由于：矩阵和都是行线性无关的，的元素不全为零，故系统完全可控。第二十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期二4．输出可控性如果系统需要控制的是输出量而不是状态，则需研究系统的输出可控性。

输出可控性：若在有限时间间隔[t0,t1]

内，存在无约束分段连续控制函数u(t)，t[t0,t1]，能使任意初始输出

y(t0)转移到任意最终输出y(t1)，则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。

输出可控性判据

设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为：第二十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期二式中，u为p维输入向量；y为q维输出向量；x为n维状态向量。状态方程(9-150)在t1时刻的解为：将x(t1)代入(9-151)式得输出：不失一般性，令y(t1)

=

0，有：见书P420页(9-57)式(9-152)第三十页，共四十四页，编辑于2023年，星期二利用书P440页(9-127)式：，上式可变为：令，则：设：t1t

=

，则dt

=

d

，上式可变为：第三十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期二令：S0为[q(n+1)p]矩阵，称为输出可控性矩阵。共q行第三十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期二

输出可控的充分必要条件是：输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数q，即：

需要注意的是，状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没有什么必然的联系。[例9-25]

已知系统的状态方程和输出方程为：试判断系统的状态可控性和输出可控性。第三十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期二[解]

系统的状态可控性矩阵为：因为S的行列式|S|=0，rankS

<

2，故

状态不完全可控。输出可控性矩阵为：rankS0

=1=q，故

输出可控。第三十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期二5．线性定常连续系统的可观测性判据考虑输入

u

=

0时系统的状态方程和输出方程：其中，x为n维状态向量；y为q维输出向量；A和C分别为n×n和q×n的常值矩阵。[格拉姆矩阵判据]

线性定常连续系统(9-156)完全可观测的充分必要条件是，

存在有限时刻t1>0，

使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。第三十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期二[证明]

充分性：令M

(0,t1)非奇异，欲证系统为完全可观测。

由式(9-156)可得：将式(9-158)左乘，然后从0到t1积分得：已知M

(0,t1)非奇异，即M

(0,t1)1存在，故由式(9-159)得：这表明，在M

(0,t1)非奇异的条件下总可以根据[0,t1]上的输出y(t)，唯一的确定初始状态x0。因此，系统为完全可观测。充分性得证。齐次状态方程的解为：x(t)=

(t,0)

x0第三十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期二

必要性：假设系统完全可观测，欲证M

(0,t1)非奇异。采用反证法。反设M

(0,t1)奇异，假设存在某一非零，使：成立，这意味着：(9-160)显然，为状态空间中的不可观测状态。这和假设系统完全可观测相矛盾，所以反设不成立，必要性得证。至此格拉姆矩阵判据证毕。第三十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期二[秩判据]

线性定常连续系统(9-156)完全可观测性的充分必要条件是：或：(9-162)式(9-161)和式(9-162)中的矩阵均称为系统可观测性判别阵，简称为可观测性阵。第三十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期二[证明]

下面从式(9-158)出发，来证明秩判据的充分必要条件。

(9-158)式为：利用凯莱-哈密顿定理的推论2：(9-158)式可变为：第三十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期二式中Iq为q阶单位阵。从前面的介绍中我们已经知道：的