高数课件有理函数的定义两个多项式商表示

P(

a0xn+a1xn-1+L+an1x+an= bxm+bxm-1+L+ x+ 1：假分式多项式除法fi多项式+真分式

1442·44fix3+x+1=x+ x2+

x2+P( a0xn+a1xn-1+L+an1x+= Q( b0xm+b1xm-1+L+bm1x+-(x-a)k

+L

x-

,其中

,

,L,

特殊地：k1,

x- +px+

，其中

-4q<

(x2+px+

+M2x+N2(x2+px+q)k-

+L+Mkx+x2+px+其中MiNi都是常数(i1,2,L,k特殊地：k1,

Mx+ x2+px+

例1

x+-5x+

x+(x-2)(x-

= + x- x- x+3=A(x-3)+B(x-\x+3=(A+B)x-(3A+ A+B= A=- -(3A+2B)= B= x+ =-5+ x2-5x+ x- x-

2 =A+B

+

(x- x-1=A(x-1)2+Bx+Cx(x- AB,C取x=0,A= 取x=1,B=取x=2,并将A,B值代入 C=- = x(x- (x- x-= 2x+2x2+2x+

-3x

+2x+1例3(12x)(1x2

+Bx+C,1+2x 1+x21=A(1+x2)+(Bx+C)(1+2x),1A2Bx2(B2CxCA+2B=B+2C=0,A=4,B=-2,C=1+C=

-5x+

1+2

1+ dx=2ln(1+2x)-

2 dx+

51+

51+=2ln(1+2x)-1ln(1+x2)+1arctanx+C

例6

xx1+e2+e3+ex解te6x6lnt,dx

6t1 1+e2+e3+e

dx=

61+t3+t2+ =

6- -3t+3

1+ 1+t2=6lnt-3ln(1+t)-

1+t

-31+t2=6lnt-3ln(1+t)-3ln(1+t2)-3arctant+2 =x-3ln(1+e6)-ln(1+e3)-3arctan(e6)+C2说明(1)多项式； (x-

Mx+ (x2+px+

Mx+

+px+Qx2+px+q=x

p22

+q-4

x

p=2x2+px+q=t

+a2

Mx+N=Mt+则 =q-4 b=N-2 Mx+(x2+px+

dx=

(t2+a2

dt+

(t2+a2 (x2+px+

dx (t2+a2

dt+

(t2+a2

x+p=2n=

Mx+ x2+px+

x+=Mln(2

+px+q)+b

2+C;n>

Mx+ (x2+px+=

+a2)n-

+b(t

M

+a2)n-

In

(x2+px+

(x

1p1

+

n2n-p =(t2+a2

a2 +(2n-

(t

+a2)n-

n-1

Mx+ (x- (x2+px+这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数x d(x3 x6 x6+

=3

(x3)2+1=3arctanx

dx=

d(x10 1

]d( 1求x41

(x2+1)-(x2-1)=11+=11+2x2+dx-11-2x2+d(x+1=12d(x-1x(x-1)2+-12xx(x+1)2-1x1=

x221 221

- 2

x2 2x+x

+

+C(x„2222则运算构成的函数称之．一般记为R(sinx,cos令u=tan x=2arctanu（万能置 Qsinx

cos

cos2

sin2x

2 2tan

2tan

1-tan22

-tan22x2 x

2 22sin

+ ,

1-u2

2

1+tan2=1+

cosx

1+

dx

1+u2 1-u2

R(sinx,cosx)dx=

1

2 1+u1+

令u=tanxsinx= ,cosx=1-u2

dx=

例7求积分

sin1+sinx+cos

dx= 1+sinx+cos =2u+1+u2-1-u2=

=1+udu-

1+

1+=arctanu+1ln(1+u2)-ln|1+u|2=x+ln|

x|-ln|1+

例8

sin4

解（一）u

x,sinx

,dx

1+ 1+1+3u2+3u4+sin4 =

=1[-

-u+3u+3]+=

- +3

x+1

x

+Ctanx

2 2

例8

sin4

解（二）修改万能置 令u=tansinx

1+

dx

1+1sin4

dx=

1+

1+= 1+u2 =- -+C=-cotx-cotx+ 例8

sin4

解（三）可以不用万能置 dx=csc2x(1+cot2sin4csc2=csc2xdx+cotcsc2=-cotx-1cot3x+C3

=d(cot结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它,不得已才用万能置换.例9求积分

1+sinsin3x+sin

解sinAsinB2sinABcosA1+sin dxsin3x+sin

1+sin2sin2xcos

dx=

1+sin 4sinxcos2=1 sinxcos2

+1 cos2

4

sin2x+cos2xsinxcos2

+1 cos2= sinxdx+

dx+1 4cos2 4sin

cos2

dx+1

cos2

cos2=4cos

4axax+ncx+

R(x,

ax+ R( 例10求积分

1+解

1+x= 1+x=t1+x

x=

dx=

22 1+2

x

-t

t2

dx=-t-1t

-

=-2t2-

=-21+t

-1=-2t-lnt-1+C=-t+

+x+x

21+x-11+x例11

x+1+ x+

令t6=x+16t5dt=1x+x+3x+t

dx=t

6t+t=x+x+

dt=2t3-3t2+6t+6ln|t+1|t+- x+1+ x+1+ x+1+1)+C无理函数去根号时取根指数的最小公倍数例12求积分

3x3x+2x+

(

3x3x+

3x+23x+

2x+3x3x+

2x+3x+3x+

-2x+= 3x+1d(3x+1)- 2x+1d(2x+ =9(3x+1)2-3(2x+1)2+C1+1+解法一xtan法二x1,dx1

t-1= t

t1t1+1t1+t1+t1+=

1+t1+1+t1+ e-x2

sinx

4最后 的是sinx

、ln 、

、 （不是整数等不定积分的原第四 不定积第四 不定积分习题凑换凑换第四 不定积分习题1注,注第四 不定积分习题下列等式中正确的是 f(x)dx]=f(x);B.d f(x)dx]=f( C.df(x)=f(

D.df(x)=f(x)+C xA.1x2

+

+xC.2arcsin(2x-1)+ D.arcsin(2x-1)+Cx第四 不定积分习题1 xlnxln(ln= =dln(lnx)=

ln(lnx)+lnxln(ln ln(ln1+1+ 1+x21+1+1+1+x21+x=-ln1+x第四 不定积分习题 解

1+x= 1-x

1+x1+x 1-

2 1-

1-x1 1+x= +4 1-x第四 不定积分习题3x2sinx3x2sinxdx+Cxf(x)dx1-x求fxxf(x)=- x2

3+x2sinf(x)dx=

1 dx+xsin1-xx=-11-xx2

x=- -xcosx+sinx+x

dx=

+Bx+

dx其A x3+ x+ x2-x+ B ,C x2+

+

x+12x-

dx)

x+ x-1 ,B ,C

2+sindx

,令t ,x ,dx ax+ax+ x+x+x+ x2+2+x 3+sin25、7、

2sinxx

6、8、

x+xx+x+1+3(x+1)2(x-1、

； 1-

1+cosxdx；x+sinx3、

4、

sin2cos3xdxsin5、

(1x82dx 6、1sinxdx3xx3xx+3x7、

8、(ex1)2dxx2(xx2(x-a)(b-

11、

sinxcosxdx sinx+cos

一、1、112；2、-11,1；3、

4

ax+2ax+2

dt5 (x+二、1、21

(x+1)(x+

12、 -arctanx+C 8

2lnx2

+2x+1-2x+

2x+2422+2arctan(2

2

arctan2tanx+