高一数学复习素材 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦公式 基础达标（含答案解析） 四

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1．计算cos18°cos42°－cos72°cos48°等于（)A．－eq\f（1，2） B.eq\f（1，2）C．－eq\f(\r(3),2) D。eq\f（\r（3）,2）解析：选B.原式＝cos18°cos42°－sin18°sin42°＝cos（18°＋42°）＝cos60°＝eq\f（1，2)。2．已知sin（45°＋α）＝eq\f(\r(5）,5），则sinαcosα等于(）A．－eq\f（3，5) B．－eq\f（4，5）C．－eq\f（3,10) D．－eq\f（4，10）解析：选C.sin(α＋45°)＝（sinα＋cosα)·eq\f(\r（2)，2）＝eq\f(\r（5),5)，∴sinα＋cosα＝eq\f（\r(10）,5）.两边平方，得1＋2sinαcosα＝eq\f(2,5）。∴sinαcosα＝－eq\f（3,10).3．当α＝eq\f（3π,4）时,sin(α＋β)＋cos（α＋β)＋sin（α－β)＋cos(α－β)等于（)A．1 B．－eq\f（\r(2），2）C．0 D.eq\f（\r（2)，2)解析:选C.原式＝2sinαcosβ＋2cosαcosβ＝2cosβ(sineq\f(3π，4）＋coseq\f（3π,4))＝0。4．在△ABC中，若sinAsinB〈cosAcosB，则△ABC是（）A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．等腰三角形解析:选B.∵sinAsinB<cosAcosB，∴cos（A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB〉0，∴0<A＋B〈eq\f(π,2)，∴C〉eq\f（π，2），即△ABC中有一个角是钝角．5．对于任何α、β∈(0，eq\f(π，2）)，sin（α＋β)与sinα＋sinβ的大小关系是(）A．sin（α＋β)〈sinα＋sinβB．sin（α＋β)〉sinα＋sinβC．sin(α＋β)＝sinα＋sinβD．要以α、β的具体值而定解析：选A。∵α、β∈(0，eq\f(π，2)）,∴cosα〈1，cosβ〈1.∴cosαsinβ＋cosβsinα〈sinα＋sinβ,即sin（α＋β)〈sinα＋sinβ.故A正确．6．已知cos（α＋eq\f(π,3))＝sin(α－eq\f(π，3)),则tanα＝________解析：∵cos(α＋eq\f（π，3））＝sin(α－eq\f（π，3)），∴cosαcoseq\f(π，3）－sinαsineq\f（π，3)＝sinαcoseq\f（π，3)－cosαsineq\f（π，3），即eq\f(1，2）cosα－eq\f(\r（3）,2）sinα＝eq\f（1，2)sinα－eq\f（\r（3),2)cosα，两边同除以cosα，得eq\f(1,2)－eq\f（\r(3),2）tanα＝eq\f(1，2）tanα－eq\f（\r（3）,2）,即eq\f(1＋\r（3）,2）tanα＝eq\f（1＋\r(3)，2),∴tanα＝1.答案：17．设α∈(0，eq\f（π,2))，若sinα＝eq\f（3,5），则eq\r(2）cos(α＋eq\f（π，4））＝________。解析:∵α∈（0，eq\f（π，2)），sinα＝eq\f(3,5),∴cosα＝eq\f（4，5），则eq\r（2）cos（α＋eq\f（π,4））＝eq\r(2)（cosαcoseq\f（π,4)－sinαsineq\f(π，4））＝eq\r（2）（eq\f(4,5）×eq\f(\r(2）,2)－eq\f(3，5）×eq\f(\r（2),2））＝eq\f(1，5）.答案：eq\f(1，5）8．已知sinα－cosβ＝eq\f(1,2）,cosα－sinβ＝eq\f(1，3)，则sin(α＋β)＝______.解析：sinα－cosβ＝eq\f（1，2）两边平方与cosα－sinβ＝eq\f（1，3）两边平方相加得2－2（sinαcosβ＋cosαsinβ）＝eq\f(13，36），即2－2sin（α＋β）＝eq\f(13，36），∴sin（α＋β）＝eq\f(59，72).答案:eq\f(59，72）9．求值：（1）cos165°；（2）sin（x＋27°）cos(18°－x)－cos（x＋27°）sin(x－18°）．解：(1）cos165°＝cos（45°＋120°）＝cos45°cos120°－sin45°sin120°＝eq\f(\r(2)，2)×(－eq\f(1，2))－eq\f（\r（2),2)×eq\f(\r（3),2)＝－eq\f（\r（6)＋\r（2）,4）。（2)原式＝sin（x＋27°）cos（18°－x）＋cos(x＋27°)sin(18°－x)＝sin(x＋27°＋18°－x）＝sin45°＝eq\f（\r(2),2)。10．已知锐角α，β满足sinα＝eq\f(\r(5)，5)，cosβ＝eq\f(3\r(10），10）,求α＋β的值．解：∵α，β为锐角，且sinα＝eq\f(\r（5），5)，cosβ＝eq\f（3\r(10),10)，∴cosα＝eq\r(1－sin2α）＝eq\r（1－\f（1,5)）＝eq\f(2\r（5），5),sinβ＝eq\r（1－cos2β）＝eq\r(1－\f(9,10))＝eq\f（\r（10),10)。∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f（2\r(5),5）×eq\f（3\r（10），10)