2021-2022学年湖北省部分市州高三(上)期末数学试卷(元月调研)(附详解)

第第#页,共21页设"dc=e,在△ADC中，由余弦定理可得：AC2=AD2+CD2-2AD-CD-cosd,由于AD=3,DC=V3，代入上式可得：AC2=12-6V3cosd,•••S=S+S=血(12—6V3cosO)+1x3x^3sinO四边形BCD'ABC△ACD42=3^3+3^3(-^3cosd+1sind)=3V3+3V3sin(0—互)，dE(0,n),23当Q=^+^=^^时，四边形ABCD面积的最大值为6^3,26此时，e=5^.6【解析】(1)利用正弦定理以及余弦定理，转化求解4即可.(2)判断三角形ABC的形状，结合余弦定理求解正三角形的边长，然后求解四边形的面积的表达式，利用两角和与差的三角函数，结合角的范围，求解四边形面积的最大值，得到角的大小即可．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)由3a2+2a3=a4得：3a2+2a2q=a2q2,即g2—2q—3=0,因为％>0,所以g>0,所以g=3,13勺X9+4,又因为S5=13a3+413勺X9+4,531—3所以a】=1，所以a”=3n—1.n⑵由题设及(1)得S=1,且当3n—1<m<3n时，bm=n,即0=b2=1,b3=bA=…=b8=2,2348Sob26b27bSob26b27b284,久00所以T100=1x2+2x6+3x18+4x54+5x20=384.【解析】(1)根据等比数列的定义和求和公式，列出方程组，解出I]和公比g,贝y可求出其通项公式；(2)由(1)可求得b]=1,且当3n—1<m<3n时，bm=n，可依次求出的值，再求和

即可.本题考查等比数列、求和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题.19.【答案】解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,80，120元,两人都付0两人都付0元的概率耳4624两人都付80元的概率叮异两人都付120两人都付120元的概率P3=(1-1-1)X(1—1—2)=丄，426324故两人所付费用相同的概率p=3+笃+笃=±+3+芥為(2)设甲，乙所付费用之和为X,X可能取值为0,80，120，160，200，240,p(X=0)=1X1=丄，P(X=80)=1X1+1X2=1，P(X=120)=1X1+1X1=^，62426434464612P(X=160)=2x2=2，p(x=200)=1X1+1X2=1，P(X=240)=1X1=丄，33264344624故随机变量X的分布列为:X080120160200240P丄1丄111244123424故E(X)=0X丄+80X1+120X丄+160X1+200X1+240X丄=4302441234243【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,80,120元，结合相互独立事件的概率公式分别求出对应的概率，并对所求的结果求和，即可求解.(2)设甲，乙所付费用之和为X,X可能取值为0,80,120,160,200,240,分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解.本题考查离散型随机变量分布列，以及期望的求法，需要学生熟练掌握公式，属于中档题.

因为PCU平面PCQ，所以AD丄PC.(2)解：因为平面PAD丄底面ABCD，由(1)知PQ丄4D,所以PQ丄平面ABCD,建系如图，设AB=a,PQ=JPA2-AQ2=a2,B(a,a,0),Q(0,0,0),E(0,2a,1J9—a2),33QB=(a,a,0),QE=(0,2a,1^9—a2),33令帀=Q9—a2,—^9—G-2,2d),因为~QB-m=0,QE-m=0,所以沅是平面QEE的法向量，h=(0,0,1)是平面QEC的法向量，所以二面角E—BQ—C的余弦值为E刊=丝=cos45°=，整理得a2=3，解Iml-l^lJ182a2-12得a=品.所以四棱锥P—ABCD的体积为1-1-(MBC)-AB-PQ=1-(2^3羽)届26【解析】(1)只要证明AD垂直于PC所在平面PQC即可；(2)用向量数量积计算二面角余弦值，列方程求解AB，再用四棱锥体积公式求解.本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，考查了四棱锥的体积计算问题，属于中档题.21.【答案】解：(1)由抛物线的焦点为F(01)，得p=2,所以抛物线的方程^x2=4y，设直线AB的方程为y=kx1,,、y=kx1,联立X2=4y得％2—4kx—4=0,所以x1x2=—4^x2=—A-,X1由于，所以直线2的斜率勺=1X(—^-)=—22%1%1由|4F|=|DF|得严1=\yD—1\，\所以汗=埠2,即D(0>2^22),D44所以直线AC的斜率上所以直线AC的斜率上AC_^12—=~40—%1%1所以ki=kAC，即直线AC与2平行;(2)直线2的方程为y=-2(咒一咒2)+谜=%(2)直线2的方程为y=-2(咒一咒2)+谜=%i24L21Ax-所以直线2与y轴的交点E(0,-；),所以MIL214x

+1--又由(1)知I叫-弓=叫+在,X1所以S^ABE=l1^!-^2I|FF|=2(；4+%1)(11(16+_8+%1),2%3%i1令f(x)=16+8+x(x>0),X3X则厂(刁二一48-£+1=%4%2(尤2_12)(尤2+4)%4L21Ax•••当0<%<2V3时，/(%)单调递减；当x>2V3时，/(%)单调递增;故当x=2V3时，/(%)有最小值，即当x1=2V3时，△力面积取最小值，此时力点坐标为(273,3).【解析】(1)由题易知抛物线的方程为%2=4y，设直线佔的方程为y=kx+1,进而联立方程即可证明^召二一彳；再根据|^F|=|DF|，结合焦半径公式得D(0,瑶+2),进而4并结合和斜率证明结得直线MC的斜率=-j，最后由导数的几何意义得勺=-j,并结合和斜率证明结论；(2)由(1)得直线2的方程为论；(2)由(1)得直线2的方程为y=21进而彳得'(°,一,|EF|L214x

+1!|叫一咒2|旧尸|=1(16+&+叫)，再构造函数，令导数求解最值即可得答案.22尤3尤i本题考查了直线和圆锥曲线及利用导数求三角形面积的最值，采用了设而不解的方法,属于难题.22.【答案】解：(1)因为加=,所以当XG(—8,0),/'(%)>0,/(%)在(一8,0)上单调递增,当XG(0,+8),/'(%)<0,/(%)在(0,+8)单调递减.=e乂］一e乂2ox1+1=x2+1,=e乂］一e乂2ox1+1=x2+1,w尤1则以尬］一G尬2=S一上2o少2叫一ex1x2第20页，共21页依题意得实数®,X2满足f(X1)=fg且不等式叫+加2>0恒成立,不妨设%]<x2,由(1)知一1<%1<0<%2<+8,由不等式®+加2>0恒成立知加2>一叫，所以A>0,•••£>一吟>0,2久又函数f(x)在(0,+8)单调递减，又/"(%])=f(%2)，即3<即3<少1一小+1—1—

re2两边取对数得久加街+1)-久饥(1一；)一(1+久)叫<0对叫G(-1,0)恒成立,设F(x)=A/n(x+1)—久加(1—爼)一(1+A)x,尤G(—1,0),则Fz(x)=—+(1+A)=(1+刃兀(兀+1一几)、%+11-*(尤+1)(久一%)，2当久>1时，F©)>0对％G(-1,0)恒成立，此时F(x)在(—1,0)上单调递增，故F(x)<F(0)=0恒成立，符合题意，当久G(0,1)时，久一1G(-1,0)，贝収G(久一1,0),F(Q<0,此时F(Q在(久-1,0)上单调递减，故F(Q>F(0)=0,不符合题意；综上所述，A>1,即久的取值范围是[1,+8).【解析】(1)首先对函数求导，令导数大于零，求得增区间，令导数小于零，求得减区间；(2)令〜=饥-,x2=Znt2,将式子t2Znt1-1.1叫=t,-t2转