2023届高三数学理科一轮复习试卷详解第9单元平面解析几何

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测九平面解析几何第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积最大时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α的值为()A.eq\f(3π,4) B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,2) D.eq\f(5π,4)2．已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q(x′，y′)＝(x＋y，xy)的轨迹是()A．圆 B．抛物线C．椭圆 D．双曲线3．(2015·潍坊模拟)设F是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦点，椭圆上的点与点F的最大距离为M，最小距离是m，则椭圆上与点F的距离等于eq\f(1,2)(M＋m)的点的坐标是()A．(0，±2) B．(0，±1)C．(eq\r(3)，±eq\f(1,2)) D．(eq\r(2)，±eq\f(\r(2),2))4．已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的离心率为e，抛物线x＝2py2的焦点为(e,0)，则p的值为()A．2 B．1C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,16)5．若AB是过椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为()A．6 B．12C．24 D．486．(2015·武汉调研)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq\r(2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq\r(2)，则△POF的面积为()A．2 B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．47．(2015·北京海淀区期末练习)双曲线C的左，右焦点分别为F1，F2，且F2恰好为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2) B．1＋eq\r(2)C．1＋eq\r(3) D．2＋eq\r(3)8．P(x，y)是圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点，欲使不等式x＋y＋c≥0恒成立，则实数c的取值范围是()A．[－1－eq\r(2)，eq\r(2)－1] B．[eq\r(2)－1，＋∞)C．(－1－eq\r(2)，eq\r(2)－1) D．(－∞，－eq\r(2)－1)9．(2016·福州质检)已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝eq\f(bx,a)对称，则该双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(5),2) B.eq\r(5)C.eq\r(2) D．210．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(eq\r(3)，0)的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比eq\f(S△BCF,S△ACF)等于()A.eq\f(4,5) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,7) D.eq\f(1,2)11．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为eq\f(2π,3)，离心率为e，则eq\f(a2＋e2,2b)的最小值为()A．2eq\r(3) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\r(3) D．3eq\r(3)12．(2015·河南豫东豫北十校联考)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1等于()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(5),4)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(1,4)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知动点P(x，y)在椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，F是椭圆C的右焦点，若点M满足|Meq\o(F,\s\up6(→))|＝1且Meq\o(P,\s\up6(→))·Meq\o(F,\s\up6(→))＝0，则|Peq\o(M,\s\up6(→))|的最小值为________．14．过抛物线y2＝4x的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|＝eq\f(16,3)，则α＝________.15．(2014·辽宁)已知椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.16．设A，B为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量m＝(1,0)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·m,|m|)＝3，则双曲线的离心率为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2015·安徽六校联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．18．(12分)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为eq\f(1,2)，其一个顶点是抛物线x2＝－4eq\r(3)y的焦点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标．19.(12分)如图所示，离心率为eq\f(1,2)的椭圆Ω：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆Ω内一点P的两条直线分别与椭圆交于点A，C和B，D，且满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，其中λ为常数，过点P作AB的平行线交椭圆于M，N两点．(1)求椭圆Ω的方程；(2)若点P(1,1)，求直线MN的方程，并证明点P平分线段MN.20．(12分)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，M∈C，以M为圆心的圆M与l相切于点Q，Q的纵坐标为eq\r(3)p，E(5,0)是圆M与x轴除F外的另一个交点．(1)求抛物线C与圆M的方程；(2)已知直线n：y＝k(x－1)(k＞0)，n与C交于A，B两点，n与l交于点D，且|FA|＝|FD|，求△ABQ的面积．21.(12分)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－eq\r(3)，求双曲线的离心率．22．(12分)(2015·青岛质检)已知椭圆C1的中心为原点O，离心率e＝eq\f(\r(2),2)，其一个焦点在抛物线C2：y2＝2px的准线上，若抛物线C2与直线l：x－y＋eq\r(2)＝0相切．(1)求该椭圆的标准方程；(2)当点Q(u，v)在椭圆C1上运动时，设动点P(2v－u，u＋v)的运动轨迹为C3.若点T满足：Oeq\o(T,\s\up6(→))＝Meq\o(N,\s\up6(→))＋2Oeq\o(M,\s\up6(→))＋Oeq\o(N,\s\up6(→))，其中M，N是C3上的点，直线OM与ON的斜率之积为－eq\f(1,2)，试说明：是否存在两个定点F1，F2，使得|TF1|＋|TF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析1．A2.B3.B4.D5.B6.C7．B[依题意可知，点A(1，±2)，F1(－1,0)，F2(1,0)，|AF1|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，|AF2|＝|F1F2|＝2，双曲线C的离心率为e＝eq\f(|F1F2|,|AF1|－|AF2|)＝eq\f(2,2\r(2)－2)＝eq\r(2)＋1，故选B.]8．B[设圆上任一点P的坐标为(cosα，sinα＋1)，即x＝cosα，y＝sinα＋1，则x＋y＋c＝cosα＋sinα＋1＋c＝eq\r(2)[eq\f(\r(2),2)cosα＋eq\f(\r(2),2)sinα]＋1＋c＝eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4))＋1＋c≥0，即c≥－1－eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4))，又因为－1≤sin(α＋eq\f(π,4))≤1，所以得到－1－eq\r(2)≤－1－eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4))≤－1＋eq\r(2)，则c≥－1＋eq\r(2).]9．B[记线段PF2与直线y＝eq\f(b,a)x的交点为M，依题意，直线y＝eq\f(b,a)x是题中的双曲线的一条渐近线，M是PF2的中点，且|PF2|＝2|MF2|＝2b；又点O是F1F2的中点，因此有|PF1|＝2|OM|＝2a；由点P在双曲线的左支上得|PF2|＝|PF1|＋2a＝4a＝2b，b＝2a，该双曲线的离心率是e＝eq\r(1＋\f(b,a)2)＝eq\r(5)，故选B.]10．A[如图，过A，B作准线l：x＝－eq\f(1,2)的垂线，垂足分别为A1，B1，由于F到直线AB的距离为定值．∴eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(|BC|,|AC|).又∵△B1BC∽△A1AC，∴eq\f(|BC|,|AC|)＝eq\f(|BB1|,|AA1|)，由抛物线定义eq\f(|BB1|,|AA1|)＝eq\f(|BF|,|AF|)＝eq\f(2,|AF|)，由|BF|＝|BB1|＝2知xB＝eq\f(3,2)，yB＝－eq\r(3)，∴AB：y－0＝eq\f(\r(3),\r(3)－\f(3,2))(x－eq\r(3))，把x＝eq\f(y2,2)代入上式，求得yA＝2，xA＝2，∴|AF|＝|AA1|＝eq\f(5,2).故eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(|BF|,|AF|)＝eq\f(2,\f(5,2))＝eq\f(4,5).]11．B[由题意，eq\f(b,a)＝eq\r(3)，∴b＝eq\r(3)a，∴c＝2a，e＝2，eq\f(a2＋e2,2b)＝eq\f(a2＋4,2\r(3)a)＝eq\f(a,2\r(3))＋eq\f(2,\r(3)a)≥eq\f(2\r(3),3)(当且仅当a＝2时取等号)，则eq\f(a2＋e2,2b)的最小值为eq\f(2\r(3),3).]12．C[因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝2eq\r(5)a，所以cos∠AF2F1＝eq\f(|F1F2|2＋|FA2|2－|F1A|2,2|F1F2||FA2|)＝eq\f(20a2＋4a2－16a2,2×2\r(5)a×2a)＝eq\f(\r(5),5)，故选C.]13.eq\r(3)解析由题意可得Feq\o(P,\s\up6(→))·Feq\o(M,\s\up6(→))＝|Feq\o(M,\s\up6(→))|2＝1，所以|Peq\o(M,\s\up6(→))|＝|Feq\o(M,\s\up6(→))－Feq\o(P,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋|F\o(P,\s\up6(→))|2－2)＝eq\r(|F\o(P,\s\up6(→))|2－1)≥eq\r(5－32－1)＝eq\r(3)，当且仅当点P在右顶点时取等号，所以|Peq\o(M,\s\up6(→))|的最小值是eq\r(3).14．60°或120°解析当α＝90°时，|AB|＝4不成立；当α≠90°时，设直线方程为y＝tanα(x－1)，与抛物线方程联立得：(tanα)2x2－[2(tanα)2＋4]x＋(tanα)2＝0，∴由根与系数的关系得：x1＋x2＝eq\f(2tanα2＋4,tanα2)，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2tanα2＋4,tanα2)＋2＝eq\f(16,3)，∴tanα＝±eq\r(3)，∴α＝60°或120°.15．12解析取MN的中点G，G在椭圆上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝eq\f(1,2)|AN|，|GF2|＝eq\f(1,2)|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.16．2或eq\f(2\r(3),3)解析设eq\o(AB,\s\up6(→))与m的夹角为θ，则eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·m,|m|)＝6cosθ＝3，所以cosθ＝eq\f(1,2).所以双曲线的渐近线与x轴成60°角，可得eq\f(b,a)＝eq\r(3).当λ>0时，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b,a)2)＝2；当λ<0时，e＝eq\f(c,b)＝eq\r(1＋\f(a,b)2)＝eq\f(2\r(3),3).17．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－4，,y＝x－1))得圆心C(3,2)，∵圆C的半径为1，∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，∴eq\f(|3k－2＋3|,\r(k2＋1))＝1，∴|3k＋1|＝eq\r(k2＋1)，∴2k(4k＋3)＝0，∴k＝0或k＝－eq\f(3,4)，∴所求圆C的切线方程为y＝3或y＝－eq\f(3,4)x＋3，即y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)∵圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，∴设圆心C为(a,2a－4)，则圆C的方程为(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1.又∵|MA|＝2|MO|，∴设M(x，y),则eq\r(x2＋y－32)＝2eq\r(x2＋y2)，整理得x2＋(y＋1)2＝4，设为圆D，∴点M既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点，∴2－1≤eq\r(a2＋[2a－4－－1]2)≤2＋1，解得a的取值范围为[0，eq\f(12,5)]．18．解(1)设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由题意得b＝eq\r(3)，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，c＝1.故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)因为过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝kx－2＋1))得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0.整理，得96(2k＋1)＝0，解得k＝－eq\f(1,2).所以直线l的方程为y＝－eq\f(1,2)(x－2)＋1＝－eq\f(1,2)x＋2.将k＝－eq\f(1,2)代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为(1，eq\f(3,2))．19．解(1)由题意得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，a＋c＝3，联立a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，∴椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PC,\s\up6(→))可得C(eq\f(1－x1,λ)＋1，eq\f(1－y1,λ)＋1)．∵点C在椭圆上，故eq\f(1＋λ－x12,4λ2)＋eq\f(1＋λ－y12,3λ2)＝1，整理得eq\f(7,12)(1＋λ)2－eq\f(1,6)(1＋λ)(3x1＋4y1)＋(eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),3))＝λ2，又点A在椭圆上可知eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),3)＝1，故有eq\f(7,12)(1＋λ)2－eq\f(1,6)(1＋λ)(3x1＋4y1)＝λ2－1.①由eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，同理可得eq\f(7,12)(1＋λ)2－eq\f(1,6)(1＋λ)(3x2＋4y2)＝λ2－1.②②－①得3(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，即kAB＝－eq\f(3,4).又AB∥MN，故kMN＝－eq\f(3,4)，∴直线MN的方程为y－1＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y－7＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,3x＋4y－7＝0))可得21x2－42x＋1＝0⇒xM＋xN＝2＝2xp，∴P是MN的中点，即点P平分线段MN.20．解(1)由抛物线的定义知，圆M经过焦点F(eq\f(p,2)，0)，Q(－eq\f(p,2)，eq\r(3)p)，点M的纵坐标为eq\r(3)p，又M∈C，则M(eq\f(3p,2)，eq\r(3)p)，|MF|＝2p.由题意，M是线段EF的垂直平分线上的点，故eq\f(3p,2)＝eq\f(\f(p,2)＋5,2)，解得p＝2.故抛物线C：y2＝4x，圆M：(x－3)2＋(y－2eq\r(3))2＝16.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,x＝－1))得y＝－2k，则D(－1，－2k)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1))得ky2－4y－4k＝0(k＞0)，即y＝eq\f(2＋2\r(1＋k2),k)或y＝eq\f(2－2\r(1＋k2),k).∵|FA|＝|FD|，则A的纵坐标为eq\f(2＋2\r(1＋k2),k)，且eq\f(2＋2\r(1＋k2),k)＝2k，解得k＝eq\r(3).∴A(3,2eq\r(3))，B(eq\f(1,3)，－eq\f(2\r(3),3))，直线n：y＝eq\r(3)(x－1)，Q(－1,2eq\r(3))，则|AB|＝eq\f(16,3)，点Q到直线n的距离d＝2eq\r(3)，△ABQ的面积S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(16\r(3),3).21．解(1)∵双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，由双曲线的一条渐近线方程为y＝x，可得eq\f(b,a)＝1，解之得a＝b，∵c＝eq\r(a2＋b2)＝2，∴a＝b＝eq\r(2).由此可得双曲线方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1.(2)设A的坐标为(m，n)，可得直线AO的斜率满足k＝eq\f(n,m)＝eq\f(－1,－\r(3))，即m＝eq\r(3)n.①∵以点O为圆心，c为半径的圆的方程为x2＋y2＝c2，∴将①代入圆的方程，得3n2＋n2＝c2，解得n＝eq\f(1,2)c，m＝eq\f(\r(3),2)c，将点A(eq\f(\r(3),2)c，eq\f(1,2)c)代入双曲线方程，得eq\f(\f(\r(3),2)c2,a2)－eq\f(\f(1,2)c2,b2)＝1，化简得eq\f(3,4)c2b2－eq\f(1,4)c2a2＝a2b2，∵c2＝a2＋b2，∴b2＝c2－a2代入上式，化简整理得eq\f(3,4)c4－2c2a2＋a4＝0，两边都除以a4，整理得3e4－8e2＋4＝0，解之得e2＝eq\f(2,3)或e2＝2，∵双曲线的离心率e>1，∴该双曲线的离心率e＝eq\r(2)(舍负)．22．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,x－y＋\r(2)＝0))⇒y2－2py＋2eq\r(2)p＝0，∵抛物线C2：y2＝2px与直线l：x－y＋eq\r(2)＝0相切，∴Δ＝4p2－8eq\r(2)p＝0⇒p＝2eq\r(2).∴抛物线C2的方程为y2＝4eq\r(2)x，其准线方程为x＝－eq\r(2)，∴c＝eq\