平面向量(讲义和练习)及平面向量知识点总结

平面向量基础知识复习PAGE2PAGE1《必修4》第二章平面向量一、知识纲要1、向量的相关概念：（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，记为或。/wxc/向量又称矢量。注意①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。②向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。（2）向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。记作：||或｜｜。注意向量本身不能比较大小，但向量的模可以比较大小。（3）零向量：长度为0的向量叫零向量，记为，零向量的方向是任意的。注意①｜｜＝0；②与0的区别：写法的区别，意义的区别。（4）单位向量：模长为1个单位长度的非零向量叫单位向量。注意若向量是单位向量，则｜｜=1。2/wxc/、向量的表示：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意：方向是“起点指向终点”。（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴正方向相同的两个单位向量、为基底向量，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。此时｜｜=。若已知，则，即终点坐标减去起点坐标。特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。3/wxc/、向量之间的关系：（1）平行（共线）：对于两个非零向量，若它们的方向相同或相反的，那么就称这种关系为平行，记作∥。换言之，方向相同或相反的两个非零向量叫平行向量（共线向量）。相互平行的两个向量之间的夹角为0度或180度，记为<,>=00或1800。由于向量可以进行任意的平移(所以向量又叫自由向量)，所以平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。注意①数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。②规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。③平行向量无传递性（因为有).（2）不平行：对于两个非零向量和，如果平移后它们的夹角不是0度或180度，则称这两个向量不平行。此时，它们夹角的范围是<,>（0，）。特别的，当<,>=（即900）时，称为两个向量垂直，记为。4/wxc/、由向量之间的关系引出的术语：（1）同向向量：如果两个向量方向相同（即：共线并且夹角为0度），那么就称这两个向量是同向向量。<,>=0（2）反向向量：如果两个向量方向相反（即：共线并且夹角为180度），那么就称这两个向量是反向向量。<,>=注意：同向向量和反向向量都是共线向量。并且只考虑方向，不研究模长的大小关系。（3）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，记为。注意：①相等向量经过平移后总可以重合，是同向向量的升级版。②相等向量的坐标体现为：③若，且，则。即向量相等具有传递性。（4）相反向量：长度相等且方向相反的两个向量叫相反向量，的相反向量记为－，的相反向量记为：－或，零向量的相反向量仍是零向量。注意：①相反向量是反向向量的升级版，要求方向相反，且大小相等，即||＝||。②若为相反向量，则。③相反向量的坐标体现为：④双重取反必还原：=。5、向量的线性运算：（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。注意加法性质：①，任何向量与零向量的和都是任何向量；②+()=()+=，一对相反向量的和一定为零向量；③向量加法满足交换律：+=+；④向量加法满足结合律：（+）+=+（+）；（2）向量减法：求两个向量差的运算叫做向量的加法。记作：，即求两个向量与的差，等于向量加上的相反向量。注意①+()=()+=；②若、是互为相反向量，则=,=,+=.小结加减法的运算法则：（作图）“三角形法则”“平行四边形法则”说明：向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”．（3）向量的数乘运算：实数与向量的积是一个向量，所得的结果表示：在的方向（或的相反方向）取倍构成一个新向量，记作。的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的③数乘向量满足交换律、结合律与分配律：，，6、向量的投影和数量积：(1)两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）规定(2)向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影(3)数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积(4)、向量的模与平方的关系：（5）、乘法公式成立：；（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：②对实数的结合律成立：③分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7、向量的坐标运算：（1）已知起点和终点的坐标，求向量坐标:已知，则，即终点坐标减去起点坐标。（2）已知向量的坐标，求向量的模:已知，则=；已知，则，此时，，本公式等价于“两点间距离公式:已知则”。（3）已知两个向量的坐标，求这两个向量加减、数乘和数量积：①加减：已知，则，即对应横纵坐标相加减。②数乘：已知，则，即倍数对坐标作分配。③数量积：已知，则，即对应坐标之积再相加。（4）已知两个向量的坐标，求这两个向量的夹角或夹角余弦值：已知，则。8、向量的夹角已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角，记为。注意①研究向量夹角时，必须将两个向量的起点移动到同一点上；②当且仅当两个非零向量与同方向时，③当且仅当与反方向时④与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题⑤cos==⑥向量夹角与数量积的关系：当为锐角时，＞0（反之不成立，因为数量积为正数的两个向量不一定构成锐角，可能是平行且同向）；当为钝角时，＜0。（反之不成立，因为数量积为负数的两个向量不一定构成钝角，可能是平行且反向）9、平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。若给定一组基底向量，则平面内的任何一个向量都存在一组实属对与之对应，当这组基底是两个相互垂直的单位向量时，这组基底可以构成一个系统，这个系统叫平面直角坐标系，与向量对应的实数对就是坐标。10、向量垂直（共线）的基本定理（1）共线：∥，此为向量平行的符号表达。若，则或，此为向量平行的坐标表达。注意对于“∥”，当时，可以看成是非零向量的0倍（即），所以规定“零向量与任何非零向量平行”。（2）垂直：非零向量满足：，此为向量平行的符号表达。若，则，此为向量平行的坐标表达。即：两个向量非零向量垂直等价于这两个向量的数量积为0。若中有一个向量是零向量，则数量积一定为0，此时无需讨论是否垂直。所以规定“零向量与任何非零向量平行”，但是不规定“零向量与任何非零向量垂直”。11、有向线段的定比分点（1）、定义：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点。（简称：点P为定比分点）（2）、的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段PP上时>0；当P点在线段PP的延长线上时；当P点在线段PP的延长线上时<－1；若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。（3）、线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则分点的坐标为，即。特别地，当＝1时，就得到线段PP的中点公式。二、经典例题【例1】已知A（1,2），B（4,2），则向量的坐标为：=；向量的模为：||=；把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是。【例2】平面上，把一个图形整体向某个方向移动一段距离，若移动前点A坐标为（-2,3），移动后，点A的对应点A’坐标为（2，-1），则平移向量为=，移动的距离为。【例3】下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是。【例4】给出下列命题：①若||＝||，则=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若=，=，则=；④=的充要条件是||=||且//；⑤若//，//，则//；其中正确的序号是【例5】求参数的值：（1）设非零向量、不共线，=k+，=+k(kR)，若∥，试求k（2）已知向量，，且，求实数的值【例6】判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有【例7】已知，，，按下列条件求实数的值（1）；（2）；【例8】平移（1）按向量把平移到，则按向量把点平移到点______（2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则＝________【例9】定比分点（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_______（2）已知，直线与线段交于，且，则等于_______（3）若点分所成的比为，则分所成的比为_______【例10】坐标与模（1）设，且，，则C、D的坐标分别是__________（2）已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____【例11】已知向量＝（sinx，cosx）,＝（sinx，sinx）,＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夹角；（2）若x∈，函数的最大值为，求的值【例12】已知中，，，,,,与交于点，求点的坐标。【例13】已知三个点。（1）求证：;（2）要使为矩形，求点的坐标，并求矩形两对角线所夹的锐角的余弦值。平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例1已知，，则把向量按向量平移后得到的向量是_____.结果：2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作.举例2如下列命题：（1）若，则.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若，则是平行四边形.（4）若是平行四边形，则.（5）若，，则.（6）若，则.其中正确的是.结果：（4）（5）二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理设同一平面内的一组基底向量，是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使.（1）定理核心：；（2）从左向右看，是对向量的分解，且表达式唯一；反之，是对向量的合成.（3）向量的正交分解：当时，就说为对向量的正交分解．举例3（1）若，，，则.结果：.（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是BA.，B.，C.，D.，（3）已知分别是的边，上的中线,且，,则可用向量表示为.结果：.（4）已知中，点在边上，且，，则的值是.结果：0.四、实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：（1）模：；（2）方向：当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，当时，，注意：.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量，，作，，则把称为向量，的夹角.当时，，同向；当时，，反向；当时，，垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4（1）中，，，，则_________.结果：.（2）已知，，，，与的夹角为，则____.结果：1.（3）已知，，，则____.结果：.（4）已知是两个非零向量，且，则与的夹角为____.结果：.3.向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0.举例5已知，，且，则向量在向量上的投影为______.结果：.4.的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：（1）；（2）当、同向时，，特别地，；是、同向的充要分条件；当、反向时，，是、反向的充要分条件；当为锐角时，，且、不同向，是为锐角的必要不充分条件；当为钝角时，，且、不反向；是为钝角的必要不充分条件.（3）非零向量，夹角的计算公式：；④.举例6（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______.结果：或且；（2）已知的面积为，且，若，则，夹角的取值范围是_________.结果：；（3）已知，，且满足（其中）.①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小.结果：①；②最小值为，.六、向量的运算1.几何运算（1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.运算形式：若，，则向量叫做与的和，即；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.（2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若，，则，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7（1）化简：①；②；③.结果：①；②；③；（2）若正方形的边长为1，，，，则.结果：；（3）若是所在平面内一点，且满足，则的形状为.结果：直角三角形；（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为.结果：2；（5）若点是的外心，且，则的内角为.结果：.2.坐标运算：设，，则（1）向量的加减法运算：，.举例8（1）已知点，，，若，则当____时，点在第一、三象限的角平分线上.结果：；（2）已知，，且，，则.结果：或；（3）已知作用在点的三个力，，，则合力的终点坐标是.结果：.（2）实数与向量的积：.（3）若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9设，，且，，则的坐标分别是__________.结果：.（4）平面向量数量积：.举例10已知向量，，.（1）若，求向量、的夹角；（2）若，函数的最大值为，求的值.结果：（1）；（2）或.（5）向量的模：.举例11已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝.结果：.（6）两点间的距离：若，，则.举例12如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与轴、轴同方向的单位向量，则点斜坐标为.（1）若点的斜坐标为，求到的距离；（2）求以为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程.结果：（1）2；（2）.七、向量的运算律1.交换律：，，；2.结合律：，，；3.分配律：，，.举例13给出下列命题：①；②；③；④若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨.其中正确的是.结果：①⑥⑨.说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？八、向量平行(共线)的充要条件.举例14(1)若向量，，当_____时，与共线且方向相同.结果：2.（2）已知，，，，且，则.结果：4.（3）设，，，则_____时，共线.结果：或11.九、向量垂直的充要条件.特别地.举例15(1)已知，，若，则.结果：；（2）以原点和为两个顶点作等腰直角三角形，，则点的坐标是.结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知向量，且，则的坐标是.结果：或.十、线段的定比分点1.定义：设点是直线上异于、的任意一点，若存在一个实数，使，则实数叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点.