高三数学第一轮复习测试及详细解答（12）-期末试卷

高三数学第一轮复习单元测试—期末试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（理）若复数的值为（）A．iB．1C．-1D．-i（文）关于的函数的极值点的个数有（）A．2个 B．1个C．0个D．由确定2．设集合，，则中元素的个数是（） A．0B．1C．2D．1或23．平面α与球O相交于周长为2π的⊙O′，A、B为⊙O′上两点，若∠AOB=，且A、B的球面距为则OO′的长度为 （） A．1 B． C．πD．24．图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示（）A．B． C．D．5．在下列命题中，真命题是 （） A．直线都平行于平面，则 B．设是直二面角，若直线，则 C．若直线在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且，则或 D．设是异面直线，若平面，则与相交6．（理）已知椭圆与双曲线有相同的焦点和.若是的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率是 （） A． B．C． D．（文）已知双曲线的一条准线与两渐近线的交点分别为、，相应于这条准线的焦点为，如果是等边三角形，那么双曲线的离心率为（）A．2 B．C．4 D．7．曲线y=2sin(x+eq\f(π,4))cos(x－eq\f(π,4))和直线y=eq\f(1,2)在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于（） A．π B．2πC．3πD．4π8．（理）设可导函数是R上的奇函数，,且当x<0时，，则不等式的解集是（）A．B．C．D．（文）设函数是R上的偶函数，对于任意的都有，且，则（）A．3B．－3C．2D9．设，函数，则函数的的取值范围是（）A．B．C．D．10．某人获悉一个岛上三处藏有宝物.由于年代久远,有的数据缺失,记载如下:岛上有一棵椰子树，由叶子树向东走3米为藏宝处A，继续向东走b米，到达B处然后向东偏北60°走a米为藏宝处C（其中a,b为缺少数据），由B向南走为藏宝处E，三个藏宝处在以B为焦点，椰子树的南北方向所在直线为相应的准线的双曲线上.寻宝的关键是推出a,b的值，a,b的准确值为 （） A．28;4B．14;4C．28;8D．14;811．锐角三角形ABC中，若，则下列叙述正确的是（）①②③④A．①②B．②③C．③④D．④①12．（理）过正方体任意两个顶点的直线共28条，其中异面直线有A．32对 B．72对C．174对 D．189对（文）若O是平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，且满足()，则P点的轨迹一定过△ABC的 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.把答案直接写在横线上13．某计算机执行以下程序：（1）初始值x=3，s=0；（2）x=x+2；（3）s=s+x；（4）若s≥2003，则进行（5），否则从（2）继续执行；（5）打印x；（6）stop。那么由语句（5）打印出的数值为__________________.14．（理）设的展开式中各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，如A+B=272，则展开式中的系数为。（文）展开式中的系数是。15．在△ABC中，B（－2，0）、C（2，0）、A（x，y），给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边△ABC满足的条件及相应的右边A点的轨迹方程连起来.（错一条连线得0分）①△ABC周长为10：y2=25②△ABC面积为10：x2+y2=4（y≠0）③△ABC中，∠A=90°：+=1（y≠0）16．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知，将的图象按向量平移后，图象关于直线对称．（1）求实数的值，并求取得最大值时的集合；（2）求的单调递增区间．18．（本小题满分12分）（理）口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，二张标有数字3，第一次从口袋里任里任意抽取一张，放回口袋里后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为．（1）为何值时，其发生的概率最大？说明理由；（2）求随机变量的期望．（文）有一种博彩游戏，其规则如下：庄家在口袋里装黑、白围棋子各8枚，博彩者从中随机一次摸出5枚，摸一次交手续费1元，中彩情况如下：摸子情况5枚白4枚白3枚白其它彩金20元2元纪念品价值5角无奖（1）分别求博彩一次获20元彩金，2元彩金，纪念品的概率；（2）如果游客博彩1000次，庄家是赔钱还是赚钱？金额约是多少元？（精确到元）19．（本题满分12分）、如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．（1）若k=1,试求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小.（2）当k取何值时，二面角O－PC－B大小为？20．（本题共12分）已知数列中，，且．（1）若，求证：数列是等比数列．（2）求数列的通项公式．（3）（仅理科）若，试比较…与．21．（本题满分12分）已知抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，直线l过定点A（1，0）且与抛物线交于P、Q两点.（1）若以弦PQ为直径的圆恒过原点O，求P的值；（2）在（1）的条件下，若+=，求动点R的轨迹方程.22．（本小题满分14分）已知数列{}中，（n≥2，），（1）若，数列满足（），求证数列{}是等差数列；（2）若，求数列{}中的最大项与最小项，并说明理由；（3）（理做文不做）若，试证明：．参考答案1．（理）D。点评：据“纯虚数”概念，求出a，再对化简求值。其思想是分母实数化——分子分母同乘以的共轭复数，这种思想与分母（分子）实数化的思想是一致的。此题的另一个技巧处理是：（文）C恒成立，所以为的增函数。点评：对三次函数常见的处理方式是先求导降次，再由判断二次式根的情况。2．A．集合是有序实数对，是二维的，而集合是函数的值域，是一维的，因此，故选A.点评：本题关键是正确理解集合M、N各自的意义，否则，容易误以为是直线与抛物线的交点．3．A⊙O′的半径为1，球O的半径为，所以OO′的长度为点析：“球面距”是球中很重要的一个概念。此题最终目的是对球中一个重要直角三角形（小圆半径、球半径、球心到小圆面的距离构成的一个直角三角形）的考查，这也是高考的常考点。4．C.通过读图形，显然可以得到，，将原点坐标代入知成立．点析：线性规划是高中的新增的知识点，一般在选择、填空题中出现．5．CA错，当直线m、n都平行于平面α时，这两条直线平行、相交、异面皆有可能。B错，因为没有点明直线的位置。C正确。D错，此时的直线n可能与平面α相交，也可能在α内。故选C。点析：本题主要考查了立体几何的关系的判断，是一道多选题。此类题的思维容量大，考查的知识覆盖面广，也是高考考查的一类热点问题。6．（理）A由已知椭圆与双曲线有相同的焦点可知a2–b2=m2+n2，又c2=am，2n2=2m2+c2，解得a2=16m2，b2=12m2，∴点析：本题以椭圆与双曲线共焦点为背景，将等差中项、等比中项的基本运算融合进来，对计算及解方程的能力要求较高，这也正体现了2007年最新的《考试大纲》中对运算能力的考查要求。（文）A不妨设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），则渐近线的方程为，准线方程为x=±。设双曲线的准线x=与其渐近线分别相交于A、B 两点，由双曲线的性可知A、B两点关于x轴对称，易求得|CF|=c-＝，又|AB|＝2|CA|＝2××＝，又∵△ABF为等边三角形,∴|CF|=|AB|, 即＝×，整理得ab＝b2，∴，从而e=。故选A.点析：此题虽然是关于双曲线的一个基本计算题，但它不仅考查了双曲线的基本概念及基本性质，还将离心率的计算与等边三角形中的线段的计算相结合，使得题目的内涵增大，考查功能增强，解决此类题目要求考生有较强的运算能力和较强的分析问题、解决问题的能力。7．A曲线y=2sin(x+eq\f(π,4))cos(x-eq\f(π,4))=2sin(eq\f(π,4)-x)cos(eq\f(π,4)-x)=sin（2eq\f(π,4)-2x）=2COS2x，由此做出函数图象，再分析P1，P2，P3，…的具体位置，求出|P2P4|=π点析：本题主要体现了三角函数的二倍角公式，以及余弦函数的图象特征，由此解决问题，解决问题时时画出图象，帮助分析更加直观。8．（理）D．由是R上的奇函数可知，，即x=0是原不等式的解，则正确答案是C、D中之一；∵或，又当x<0时，，且，可以推出是R＋上为增函数，∴时，，是原不等式的解．故选D．点析：首先要根据题意掌握函数的特性（最好画出其草图），其次利用特殊值法或解不等式组都能解决这类问题．（文）A．在中取，则即函数是周期为6的函数，∴，，所以．点析：大多数这类求等等值的问题都是转化为周期函数来解．因此取得到和是周期为6的函数．9．C在上是减函数，所以。点析：此题本质是考查函数及其复合函数的单调性。如果按常规思路，先求出，再求出的取值范围，势必比较麻烦。10．建立坐标系,由第二定义得，，然后特值验证，选A；点析：利用圆锥曲线的几何量解决应用问题,这本身就是学习数学的出发点和归宿.对于选择题常常选择支验证,如本题由第二定义得到二元一次方程时应验证选择支求解.11．B。点析：三角形中的三角函数有关问题是历来考查的一个重点。此题中对于同学们会误认为，而认为是错误的。殊不知，此外对的处理（利用正弦定理，将其转化成角的关系）也是需要积累的。12．（理）C法一：1正方体八个顶点共面有12种情况，且每个面内涉及条直线。2以正方体的8个顶点为顶点的等边三角形共有8个，且每个等边三角形涉及3条直线。故所有异面直线的对数为。法二：以正方体的8个顶点为顶点的三棱锥有个，任意一个三棱锥中有3对异面直线的对数为。所以正确答案为C。点析：此题沿袭2005全国Ⅰ（理）12题，考查的难度比较大，需要认真仔细分析找到解题路径。最后多总结，把本题的解法总结成一种思路。（文）C（D为AB边的中点）。点析：对三角形中的“中线向量公式”应该引起重视。学生可进一步思考其他几“心”，如：满足的P点的轨迹一定过△ABC的垂心。13．89由题意可知，数列{an}是以5为首项，2为公差的等差数列，Sn是等差数列{xn}的前n项和。由Sn=5n+≥2003，可解得n≥43.∴x43＝5＋（43-1）×2＝89.∴由语句（5）打印出的数值为89.点析：本题以计算机程序语言为背景考查等差数列的通项公式与前n项和公式，迁移与转化能力是解决这一类问题的关键。14．（理）赋值法得A=，B=，所以，所以含项为，所以正确答案应该填108。（文）因为，所以正确答案应该填-160点析：项的系数与二项式的系数是不同的两个概念，而求各项的系数和应采用赋值法，求二项式系数和利用公式。15．①→，②→，③→．①由|AB|+|AC|=6，得+=1（y≠0）；②由|BC||y|=10，得y2=25；③由|AB|2+|AC|2=|BC|2，得x2+y2=4（y≠0）．点析：本题的设计是比较新颖的,是一道配对型的选择性的填空题.显然是一道活题,是考知识、考能力的好题．16．5.按各放２张，你可以算出正确的答案是５．各放张呢，答案应当是一样的呀！点析：考试大纲中要求，考查学生的实践能力，动手操作能力．本题将数学与日常的游戏结合起来，显示了淡化知识，重视能力的命题新格局．17．（１），将的图象按向量平移后的解析式为．…………3分的图象关于直线对称，有，即，解得．……5分则．……………6分当，即时，取得最大值2．…7分因此，取得最大值时的集合是．……8分（２）由，解得．因此，的单调递增区间是．……12分点析：本题是一个常规性考查三角函数的题目，第一问要先化简解析式，然后利用向量的平移公式求出平移后的函数解析式，再利用对称性确定出a的值后，用整体法求单调区间。18．（理）（１）依题意，随机变量的取值是2、3、4、5、6．（2分）因为P（=2）=；P（=3）=，P（=4）=；P（=5）=；P（=6）=；（7分）所以，当=4时，其发生的概率P（=4）=最大．（６分）（２）E=．（12分）点析：概率解答试题理科多是高三的概率与统计内容，而文科则多出现在高二的概率知识里．这点应当引起我们在复课时的注意．（文）（１）一次摸奖中20元彩金的概率；（2分）一次摸奖中2元彩金的概率；中纪念奖概率（６分）（2）1000次收手续费1000元．预计支付20元奖需；支付2元奖需元；（９分）支付纪念奖需元；则余额n=1000－m20－m2－m纪=308元．故庄家赚钱约308元．（12分）点析：概率知识的复习应当紧扣课本，紧扣高考真题．在课本上的基本概念、基础知识的熟练掌握和深刻理解的前提下，适度提升复习的门槛，这也许是有效学习，高效速练的好办法．19．法一：（1）设AB＝a,由点O、D分别是AC、PC的中点知：为所求异面直线PA与BD所成角.又OP⊥底面ABC，.从而.即异面直线PA与BD所成角余弦值的大小为.(2)过O作OEPC交PC于E，有、为所求二面角O－PC－B的平面角.设AB＝a，PO＝h.，解得.故当k=时，二面角O－PC－B大小为法二：（向量法）易证OP⊥平面ABC，又OA=OC，AB=BC，从而OA⊥OB，OA⊥OB，OB⊥OP以O为原点，射线OP为非负x轴，建立空间直角坐标系O-xyz,（1）设AB=a,则，，即异面直线PA与BD所成角余弦值的大小为.(3)设AB=a,为平面OPC的一个法向量.不妨设平面PBC的一个法向量为，故当k=时，二面角O－PC－B大小为.点析：设计“一题二法”是近几年立体几何综合的基本模式。考查一题多解。其实是在考查考生的解三角形知识，考试结果表明，一般学生解题中遇到的主要障碍也在于此。本题给我们的教学启示是——要关注立体几何命题与三角函数、解三角形知识之间的联系，在教学实践中要指导学生如何运用分析的方法，从复杂的空间图形关系中抽象出对应的三角形，掌握“化空间问题为平面问题，化复杂问题为简单问题”的化归思想，同时注意掌握求解折叠问题的解法规律.另外，通过本题要教会学生如何在一般图形中，建立恰当的空间直角坐标系.20．⑴由已知得，∴，∴是首项为，公比为的等比数列……3分（文5分）⑵由⑴得，即，………4分（文7分）∴，，…，，将上列各等式相加得，∴…………..6分（文9分）又时，…，∴综上可知…………………8分（文科12分）⑶由得…………9分∵，又，∴，，∴，∴，∴…………10分∴………12分点析：含有数列递推公式的问题，一般是对递推公式进行变形，将其转化为等差数列或等比数列，再求出通项．如本题（1）；另外在解决问题的过程中，要注意特殊情形的讨论（如n=1,q=1,d=0等等），如本题（2）；对大小比较的问题，应先根据题意判断大小，再证明你的结论．如本题（3），在“…”和“”的启发下，容易联想到将放缩成两个等比数列（公比应该为2和），最后发现．这类问题在近几年的高考试题中经常出现．21．（1）①若直线为x=1，将x=1代入y2=2px得y2=2p以弦PQ为直径的圆恒过原点O，所以有2p=1∴P=1/2②若直线l不是x=1时，设直线方程为：y=kx–k将y=kx–k代入y2=2px得k2x2-（2p+2k2）x+k2=0①设P（x1，y1）Q（x2，y2）则由韦达定理得：x1+x2=（2p+2k2）/k2x1x2=1故y1y2=-2p又以弦PQ为直径的圆恒过原点O，∴x1x2+y