2016年浙江高考数学理科试题及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。.已知集合P二，Q二,则P二A.[2,3]B.（-2,3]C.[1,2）D..已知互相垂直的平面交于直线1,若直线m,n满足，则A.B.C.D..在平面上，过点P作直线1的垂线所得的垂足称为点P在直线1上的投影，由区域中的点在直线x+y-2二0上的投影构成的线段记为AB,则|AB二A.B.4C.D.6.命题“使得”的否定形式是A.使得 B.使得C.使得 D.使得.设函数，则的最小正周期A.与b有关，且与c有关 B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关 D.与b无关，但与c有关.如图，点列分别在某锐角的两边上，且（表示点P与Q不重合）若，为的面积，则A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列.己知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则A.且B.且C.且D.且.已知实数.A.若则1/10

B.若则C.若则D.若则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。.若抛物线上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是..己知，则A=，b=..某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积是cm,,体积是3cm..己知，若，则a二，b二..设数列的前n项和为，?»则=，=..如图，在中，AB二BC=2,.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD二DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是..已知向量a,b,a|=l,b=2,若对任意单位向量e,均有a,e.+|b,el»则a•b的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。.（本题满分14分）在A45C中，内角A,6,C所对的边分别为风Ac,己知b+c=2acos5（I）证明：A=2B（II）若A45C的面积S=土，求角A的大小.4.（本题满分15分）如图，在三棱台A5C一。石尸中，已知平面BCFEL平面ABC,ZACB=90°,BE=EF=EC={,BC=2,AC=3,2/10

(I)求证：BF±平而ACFD(II)求二面角B-AD-C的余弦值..(本题满分15分)设。之3,函数尸(x)=mm{2|x—1|,/-2依+4。一2},其中(I)求使得等式F(x)=x2-2ax+4。—2成立的x的取值范围(II)(i)求尸(X)的最小值〃7(。)(ii)求尸(x)在［0,6］上的最大值A/m)19.(本题满分15分)如图，设椭圆c：r+〉3=l(a〉l)cr3/10

（I）求直线y=h+l被椭圆截得到的弦长（用a,k表示）（ID若任意以点A（O,1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.20、（本题满分15分）设数列满足|凡-要区1,（I）求证：\an|>2/,-1（|^1|-2）（hgJV*）3（H）若区（一）〃，nwN*,证明:\an|<2,neAT*.24/10浙江数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分.l.B2.C3.C4.D5.B6.A7.A8.D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.多空题每题6分，单空题每题4分，满分16分.9.9 10,衣111.72,3212.4,213.1,12114.-15.-2 2三、解答题：本大题共5小题，共74分。16.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。（I）由正弦定理得sinB+slnC=2sinAcosB.故2shiAcosB=siiiB+siii（A+B）=smB+siiiAcosB+cosAsmB，于是siiiB=sin（A-B）.又A,Be（O,乃），故0<A-Bv4,所以B= （A-B）WcB=A-B,因此A=^（舍去）或A=2B,所以，A=2B.（II）由5=工得4H?sinC=幺，故有4 2 4sinBsillC=-sin2B=sinBcosB，2因sinBwO,得sinC=cosB.又B,C£（0,乃），所以C=1土B.当B+C=2时，A=-；TOC\o"1-5"\h\z2 27T jr当C—B=々时，A=-.2 4综上，a=2或a=2.2 417.本题主要考杳空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。（I）延长AD，BE，CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE_L平面ABC,且AC_LBC,所以，AC_L平面BCK,因此，BF1AC.又因为EF//BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以5/10△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF1CK.所以BFJ_平面ACFD.(II)方法一：过点F作FQLAK,连结BQ.因为BFJ_平面ACK,所以BFJLAK,则AK,平面BQF,所以BQJ.AK.所以，NBQF是二面角B—AD—F的平面角.在RtAACK中，AC=3,CK=2,得FQ=』I.在RtABQF中，FQ=^p,BE=6得cos/BQF=手.所以，二面角B—AD—F的平面角的余弦值为f.4方法二：如图，延长AD,BE,CF相交于一点K,则ABCK为等边三角形.取BC的中点0,则KO_LBC,又平面BCFE_L平面ABC,所以，KO_L平面ABC.以点0为原点，分别以射线OB,0K的方向为x,z的正方向，建立空间直角坐标系Oxy"由题意得B(1,0,0),C(-l,0,0),K(0,0,5/3),A(—1,—3,0),E当，善。当.i22ji22)因此，AC=(0,3,0),AK=(1,3,V3)»AB=(2,3,0).设平面ACK的法向量为沅二(玉,必,a),平面ABK的法向量为万二(9,％，Z2).6/10

AC•历=0 ,AC•历=0 , ,得4AK•所=0X]+3/+y[3zi=0 'AB•万=0一，AB•万=0一，得AK•万=0l，取万=3,—2,6.于是，cos（用，斤）二m・nin・rix2+3y于是，cos（用，斤）二m・nin・ri所以，二面角B—AD—F的平面角的余弦值为里418.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识。同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力。满分15分。（I）由于4之3,故当xKl时，（丁一20¥+44-2）-2,一1|=寸+2（4-1）（2—力＞0,当x＞l时，卜2—24%+44—2）—2,一1|=（1一2）（工一24）.所以，使得等式F（x）=W—2ar+皿―2成立的x的取值范围为[2,2a].（II）（i）设函数/（x）=2|x-l|,^（x）=x2-2av+4n-2,则7（力皿=/⑴=。，g（x）a=g（a）=—〃+4。_2,所以，由F（x）的定义知〃?（q）=mm{/⑴,g（。）},即m（a）=<Q,3<a<2+>/2m（a）=<—cT+4。-2,a>2+（ii）当0KxK2时，F（x）＜/（x）＜nnx{/（0）,/（2）}=2=F（2），当2KxM6时，F（x）＜^（x）＜inax{g（2）,g（6）}=max{2,34-Sa}=niax{F（2）,F（6））.7/10所以,/、[34-8凡3«。<4U«>4.本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。（y=kx+l丁.得—+r=1a-^l+a2k2>jx2+2a2kx=0,故2crk为=0,x2=- -.l+a~k~因此|ap|=ViTF x卜备整g7,（ID假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|ap|=|aq].记直线AP,AQ的斜率分别为工，t,且《，心〉0,k产由（I）知，1Ap卜到他三，|aq卜到第工，+ak1 1+ak.故2a21^|Ql+k；2a"kJQl+k；l+Mk；-=1+4-'所以（左：-k；）[l+k；+k；+标（2-标）=0.由于A k「心>0得1+k+■+标（2—〃2Kz=0,因此F+1][f+1=1+。血-2），①8/10

因为①式关于人，上的方程有解的充要条件是i+标W)>i,所以因此，任意以点A(O,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为由",甲得‘所求离心率的取值范围为°〈心孝.本题主要考查数列的递推关系与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分15分。⑴由卜—当卜1得⑷_;同+b1,故2〃 2〃+i所以N_21H-fN_NUN_NL.N_2123㈠2?乂2。23)232<1+

2〃<1+

2〃1<萍故V1,因此同之缜弧卜2).(II)任取