内蒙古呼和浩特市2023届高三二模数学试题（ 含答案解析 ）

第1页/共1页2023年呼和浩特市高三年级第二次质量数据监测理科数学注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算，再计算补集得到答案.【详解】，则.故选：B2.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】计算，确定虚部得到答案.【详解】，故虚部为.故选：C3.如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．根据该折线图，下列说法错误是（）A.城镇人口与年份呈现正相关 B.乡村人口与年份的相关系数接近C.城镇人口逐年增长率大致相同 D.可预测乡村人口仍呈现下降趋势【答案】B【解析】【分析】根据折线图判断乡村人口与年份、城镇人口与年份的相关关系以及线性相关关系的强弱，逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，由折线图可知，城镇人口与年份呈现正相关，A对；对于B选项，因为乡村人口与年份呈负线性相关关系，且线性相关性很强，所以接近，B错；对于C选项，城镇人口与年份呈现正相关，且线性相关性很强，相关系数接近，故城镇人口逐年增长率大致相同，C对；对于D选项，由折线图可知，乡村人口与年份呈负线性相关关系，可预测乡村人口仍呈现下降趋势，D对.故选：B.4.函数在上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值，即可排除选项.【详解】首先，所以函数是奇函数，故排除D，，故排除B，当时，，故排除A，只有C满足条件.故选：C5.执行如图所示的程序框图，若输入k的值为1，则输出n的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】分析】按照程序框图运行，当时，结束循环，输出.【详解】输入，第一次循环：，，；第二次循环：，，；第三次循环：，，；第四次循环：，结束循环，此时，.所以输出.故选：B.6.若双曲线：的右焦点与抛物线：的焦点重合，则实数（）A. B. C.3 D.-3【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合知焦点在轴上，对双曲线表达式进行变形，求出，再令即可求解.【详解】双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，所以双曲线方程化为：，再转化为：，所以，，所以，所以，所以平方得故选：D.7.意大利数学家斐波那契（1170-1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、……，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数列满足：，，，若，则（）A.2025 B.2026 C.2028 D.2024【答案】D【解析】【分析】根据得到原式等于，得到答案.【详解】，则，故.故选：D8.已知向量，，若，且，则实数（）A.3 B. C.5 D.【答案】B【解析】【分析】计算，根据垂直得到，解得答案.【详解】，，则，解得.故选：B9.已知角，且点在直线上，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据点在线上，以及的范围，求出的值，然后用正切和公式求出的值【详解】解：因为点在直线上，代入可得：，，即，解得，，，，．故选：．10.已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算得到，根据面面垂直得到平面，设外接球半径为，的外接圆半径为，计算，得到表面积.【详解】，，则，，故，平面平面，面平面，平面，则平面，设外接球半径为，的外接圆半径为，则，解得，外接球表面积为.故选：D11.用五种不同颜色给三棱柱六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】D【解析】【分析】对所选颜色的种数进行分类讨论，先涂、、三点，再确定、、三点颜色的选择方法种数，结合分步乘法和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下几种情况讨论：①若种颜色全用上，先涂、、三点，有种，然后在、、三点中选择两点涂另外两种颜色，有种，最后一个点有种选择，此时共有种；②若用种颜色染色，由种选择方法，先涂、、三点，有种，然后在、、三点中需选择一点涂最后一种颜色，有种，不妨设涂最后一种颜色的为点，若点与点同色，则点只有一种颜色可选，若点与点同色，则点有两种颜色可选，此时共有种；③若用种颜色染色，则有种选择方法，先涂、、三点，有种，点有种颜色可选，则、的颜色只有一种选择，此时共有.由分类加法计数原理可知，共有种涂色方法.故选：D.12.已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用导数画出图象，由方程，解得或，根据题意，由有两个解求解.【详解】解：因为，所以，令，得，当时，，递增；当时，，递减；所以当时，取得极大值，图象如图所示：方程，即为，解得或，由函数的图象知：只有一个解，所以有两个解，所以，解得，故选：A第II卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须做答；第22题-第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡的相应位置．）13.在的展开式中，的系数为，则______．【答案】##【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】的展开式中，含的项为，所以.故答案为：14.已知和均为等差数列，，，，则数列的前60项的和为________．【答案】7260【解析】【分析】确定是等差数列，计算首项和公差，求和得到答案.【详解】和均为等差数列，则是等差数列，首项为，公差为，故前60项的和为.故答案为：15.一组数的分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有的数据不大于该值，且至少有的数据不小于该值．直观来说，一组数的分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于位置的数．例如：中位数就是一个50%分位数.2023年3月，呼和浩特市为创建文明城市，随机从某小区抽取10位居民调查他们对自己目前生活状态的满意程度，该指标数越接近10表示满意程度越高．他们的满意度指标数分别是8，4，5，6，9，8，9，7，10，10，则这组数据的分位数是________．【答案】6【解析】【分析】首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】依题意这个数据从小到大排列为、、、、、、、、、，又，所以这组数据的分位数是第个数.故答案为：16.2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线：．当，，时，下列关于曲线的判断正确的有________．①曲线关于轴和轴对称②曲线所围成的封闭图形的面积小于8③曲线上的点到原点的距离的最大值为④设，直线交曲线于、两点，则的周长小于8【答案】①②③【解析】【分析】确定，在曲线上，①正确，曲线在一个长为，宽为的矩形内部，②正确，利用三角换元计算得到③正确，确定椭圆在曲线内，④错误，得到答案.【详解】曲线：，对①：取曲线上点，则，在曲线上，故曲线关于轴和轴对称，正确；对②：取，，取，，故曲线在一个长为，宽为矩形内部，故其面积小于，正确；对③：设曲线上一点为，则，设，到原点的距离的平方为，，，当时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为，正确.对④：对于曲线和椭圆，设点在上，点在上，，故，所以，设点在上，点在上，，所以，即，故椭圆在曲线内(除四个交点外)，如图：设直线交椭圆于两点，交轴于，为椭圆两个焦点，由椭圆的定义可知：，，所以的周长为8，由图可知，的周长不小于8，错误；故答案为：①②③【点睛】关键点睛：本题考查了超椭圆的概念，对称性，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定椭圆在曲线内，再利用椭圆的知识求解是解题的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.如图，在直三棱柱中，，，，点为的中点．（1）求证平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）确定，得到平面，得到，再根据得到线面垂直.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，确定平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.【小问1详解】，，，则，所以，平面，且平面，则，平面，故平面，又平面，所以，由于四边形为正方形，所以，，平面，故平面.【小问2详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：可知，，，，，，，设为平面的法向量，，令，可得；设为平面的法向量，令，可得，所以，又因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为.18.在中，内角，，的对边分别为，，，已知外接圆的半径为1，且．（1）求角；（2）若，是的内角平分线，求的长度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理得到，整理得到，得到答案.（2）根据正弦定理得到，，计算角度得到，得到答案.【小问1详解】，则，即，则由余弦定理可得，所以．又，，所以，即，又，所以．【小问2详解】由正弦定理可得：，解得，，，故为锐角，，在中，，是的内角平分线，故，，故．19.文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有个字脱落．（1）若，用随机变量表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量的分布列及期望；（2）若，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率．【答案】（1）分布列见解析，（2）0.6【解析】【分析】(1)利用超几何概率分布模型求解即可；(2)根据掉落的两个字的不同情况进行分类讨论求解.【小问1详解】方法一：随机变量X的可能取值为0，1，2，，，，随机变量X的分布列如下表：X012P随机变量X的期望为法二：随机变量X服从超几何分布，所以.【小问2详解】设脱落一个“学”为事件，脱落一个“好”为事件，脱落一个“数”为事件，事件为脱落两个字，，，，，，所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为，法二：掉下的两个字不同的概率为，所以标语恢复原样的概率为．20.已知函数，．（1）若，判断函数的单调性；（2）当时，求函数的最小值，并证明：．【答案】（1）在上为增函数，在上为减函数（2）；证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到，确定，取得，得到单调区间；（2）确定函数单调区间，计算，，得到最小值，确定，设，求导得到单调区间，计算最值得到证明.【小问1详解】，即，因为，所以在上成立．令得，当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数.【小问2详解】当时，，．在单调递增，在单调递减，，，故函数的最小值为，，即，即．即．要证，只需证，只需证在上恒成立令，则，所以单调递减，所以，故恒成立，所以，原不等式得证．【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，通过函数的构造将不等式的证明转化为函数的最值是解题的关键.21.已知抛物线：和椭圆：，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的中垂线交椭圆于，两点．（1）若恰是椭圆的焦点，求的值；（2）若，且恰好被平分，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）计算焦点得到，解得答案.（2）设直线：，联立方程得到根与系数的关系，设的中点，代入计算得到，由点在椭圆内，得到，确定，再计算面积得到答案.【小问1详解】在椭圆中，，所以，由，得．【小问2详解】设直线：，，，代入抛物线方程得．，则，设的中点，则，，设，，则直线的斜率为，，，相减得到，即.即，解得，由点在椭圆内，得，解得，因为，所以值是1，面积．【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和抛物线方程，面积问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用点差法得到是解题的关键，弦中点问题我们一般使用点差法，需要熟练掌握.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题