2023年高考数学第08章参考答案与详解

第08章参考答案与详解

第一章集合与函数

第一讲集合思想的综合应用

1.解:根据题中给定的两个向量的新运算可知

,d-b\a\\h|cos^|a\cos6,.|h\cos0

a-b=---=---------=--------a=o-----------.

bb\b\\a\

又由可得孝<cos6<l.

由…|。|〉0可得0<3”1.于是0<粤?<1,即b°ae（0.1）.

1«11«1

又济2在集合中,.•.驾?=上即|&|=2|方|cos氏①

12J\a\2

同理回咨乌〉零将⑴代人后得2cos2。>*.又.

\b\2212J

ab-2cos2。='（〃62）.又1<9<2.故〃=3

22

•.cos0=—,|tz|=yJ3.h\,,.（i'h------x—=一.故选C.

2\b\22

2解•「（Au3）cC=0…AcC=0且5cC=0.

y2=x+l,..

由《消去y•得&2f+（2次一i）x+〃一J。

y=kx+b,

AnC=0,.-.A,=（2从一1）2-4-伊-1）<。.即4二一4尿+1<0.此不等式有解,其充要条件是

16Z?2-16>O,BPZ>2>1.0

4x?+2x—2y+5=0,2,

由《'消去）得4/+（2-2左）%+（5-2份=0.

y-kx+b.

；3门。=0,，&=4(1—女)2-16(5—2与<0.即尸一2左+8。-19<0.此不等式有解,其充要条件是

幼<20,即人<2.5②

beN,由①2)得。=2代人由劣<0和4<0组成的不等式组.

4-一8左+1<0,

公-2%-3<0,

&£N.

解得&=1,故存在自然数k=1力=2使得(Au3)cC=0.

3.证明:⑴若M=Z.显然M=Z,成立;若"H0任取，即有〃Xo)=Xo,则/(/(%))=/(%)

=x,即X。eN，故"cN.

⑵结论是〃=N,下证N聂M.

若N=0,显然结论成立;若NH0，任取与eN,即有/(/(%))=/接下来用反证法证明/(x0)=x0.

若。/不妨先设/(玉))>玉),由于一(X)是一个在R上单调递增的函数，故/(/(%))>fM>/

与/(/(%))=/与盾.同理，/(X。)<玉)也将导致矛盾.

故/(/)=%,即/eM，从而有N=".

结合⑴，证得M=N.

第二讲充分条件、必要条件与充要条件

1.解:小=0时显然不成立，排除B、D.

m[/2(%)+2/(%)+1]=25,[/(x)+1]2—7=^-1e(0,4)

my/m

5

1<5.，1<"7<25.故选A.

2.解:若方程有两个负根，

A=(2Q—1)~—4^6?"-21..0,

91i-

贝I]X]+%=2。-1<0,一2

2

x1x2=a-2>0

或a)@

故4＜一"

⑴充要条件:取其补集得｛aI。…-正｝，同时考虑到方程有实根.A.0,故方程至少有一个非负实根的充要条

件是｛al-及领h

⑵充分非必要条件::缩小充要条件的范围就是充分非必要条件，如｛aI»'卜答案不唯一)；

(3)必要非充分条件:扩大充要条件的范围就是必要非充分条件，如｛a\-2＜a＜3｝(答案不唯一)；

⑷既非充分也非必要条件，如｛a\a＞3,a＜-也｝｝是既非充分也非必要条件(答案不唯一).

3.解法一:当a=0时‘/(X)=-2x不合题意；

当aH0时J(x)为二次函数令/(%)=0.解得其两根为x,=--2+4.

aVa

X,=—卜J2T--，由此可知玉＜0,当＞。.

aVcr

(i)当Q＞0时/1="|工＜玉｝°｛%|尢＞/｝・

AC3H0的充要条件是/＜3,即:+/2+，＜3,解得。＞,；

(ii)当a＜()时,A=｛x|而＜%＜七｝,4八3。0的充要条件是》2＞1,即：+/2+，＞1,解得。＜一2.

综合(i)和(ii),使ACBH0成立的a的取值范围为(fo,—2)口(号，+8)

解法二:当a=0时,/(x)=-2x不合题意；

当a。0时J(尤)为二次函数，令/(%)=(),则4=4+8/＞0,设其两根分别为％且用＜々，注意到

西工2=-2＜0,则必有玉＜0,々＞。.如图⑴、⑵所示.由此可知:

(1)当a>0时,A={x|x<玉}u{x|x〉％2}.

Ac3w0的充要条件是/<3.即/(3)>0.

6

解得a>~

⑵当。<0时人="|%vx<xJ.AcB=0的充要条件是%>L即/(1)>0,

解得ci<—2.

综合(i)和(ii),使ACBH0成立的。的取值范围为(―8,-2)u[3,+8).

第三讲求函数定义域的一般方法

x+4

1.解:由--..0得4Wx<2,，A=[-4,2)，由。一|1一4|>0得|工一4|<。.

2-x

函数g(x)的定义域为非空集合。>0…+4-〃v%<4+a.

即3=(4-4+。)，24门3=0,「.4一。・.2或4+。<7.

「.0<62.

2.解:⑴由题意，分子部分依+2,%无限制.要使xeR函数恒有意义.得kx2+4京+3=0无实数解.,当

左=0时，方程无实数解；

当左H0时,A=(4Q2-i2攵<0=ke(0,3.

I4J

综上所述.k的取值范围是0,1j.

(2)由于£+%+1>0恒成立

，只要ox?-4x+。>0对任意xeR恒成立即可,0时显然不成立.

a>0,

“A=(-4)2-4〃<0

解得a>2.

即a的取值范围是(2,+8).

11

——领hx----系1k

33•/a>0,/.,3a彳

3.解⑴由题意

-为己1a

..，

3a333,

-

1J_；当时,一a

当a>1时,x€0<&,1g,*T­

3a3。33

⑵/(%+1)的定义域是［一2,3),：./(尤)的定义域是［一1,4).

\

，-1必+2<4,.—31CC1,1(1

一<2,v？—时x>—..XG-CO,--不,+8

I3

XX327

(3六的定义域为(0,2),

0<x2<2

-A/2<X<V2,xw0,

g(x)的定义域必须满足不等式组log](2-x)>0,.\<

20<2-x<1

2—x>0

解得1<X<0.故所求函数g(x)的定义域为(1,72).

第四讲求函数值域的一般方法

L解:原函数可化为方程(y-l)x2+(y+a)x+y-b=Q.

ywR,.\A=(y+Q>-4(y-l)(y-/?)..0，即3y2-2(a+2b+2)y-a2+4Z?„0.

由题意,y=1,y=2是方程3y2-2(。+2Z?+2)y-tz2+4/?=0的两根.

2(。+2b+2)

=3,

32。+46一5=07

由韦达定理得=><°=>a=—l,b=—

1

-a+4b三。2_咏6=04

--------二2

3

x+1x+1

2解函数“X）的定义域由3.0确定,即定义域为［-1,小）.

+4X+7-(X+2)2+3,

当x=-l时,/(x)=0,当x+1>0时，可令x+l=f>0.

x+11-14

故

x2+4x+7(/+1)2+3r+2t+4--4~6、

t+-+2

故原函数的值域为0,

(11

3.解2/(x)—/1—=—，①

X)x

以x替代，/(x)=-x②

X\x)

22\•；•/(*)=一；x+V,③

①x2+②得3/。)=——%=-XH----

xX7

求③的值域可用判别式法:

人12、8

令y=一§X4~一=+3yx+2=0」xeR且XH0.故△廊=>/

X79

.2V22V2

••y..-^-数为--—

/U）的值域为

也可用基本不等式:

、

21(22后Qn272

当x>0时；,x+—厘V5,二.——X~\—一一^―-即％一-I—

x3(X7JD

Q1(2、272

当x<()时，-x>O.(-x)+..2夜贝Jx+—京+2Vl.•.——XH----

x3I%3

nn2V2

即，••一^-・

4.解:g(x)=—；口一2/(x)]+Jl-2/(x)+1=-；口1-2/(x)r+71-2/U)+；

=-1[71-2/(x)-l]2+l

・34]________「]]-1r77-

由/(龙)£—知J1-2/(x)£・，g(尤)的值域是.

o9_32_9o_

1(1A217

5.解:a2+/2=(a+J3)2-2aj3=/n2-—(/H+2)=.

而a,尸是关于％的方程x2-nvc+绊2=0的两个实根，

4

于是A-m2—(jti+2)..0,解得〃z.2或办,—1.

.•■当”=-1时,〃+/72取得最小值g.

6.解:令x^u+v,y^u-v，代人条件式中得

(〃+u)2—3(]—声)+3—u)2=2化简得5寸一〃2=2.・・・V2=1^1…|.

x2+V=(u+v)2+(w-v)2=2(]+»2)=2仲2一2)..2(6乂2_2.

\5J5

的值域是1,+coj.

第五讲函数的对应法则“一”在解题中的应用

9,_[A=16-24«..0,2

1.解:⑴由3%一4x+2。>0对x£R恒成立得<=>a>—且Qw1.

Q>0,QW13

故a的取值范围为(|,1)口(1,+8).

⑵要使值域为R,需3/-4x+2a的值取遍所有正实数.

则3△=。1,6—田24a..0,=磷.了2故。的取值范围为°'1

2解⑴xe(-1,1)时，有2/(x)-/(-x)=lg(x+l)①

以-x代x得2/(-x)-/(x)=1g(-x+1)②

21

由①2)消去/(一幻得/(X)=-lg(X+l)+-lg(l-X),XG(-1,1).

⑵用，代替x,则勿\x)=£,

x\x7x

af(x)+〃f—=ex-

X./.(a2-b2\f(x)=acx--,又|a|w|Z?|.

afQ]+"(x)=£

\x)X

3.解:⑴当xe：,2时/(x)=a-,是增函数

2x

1(1>

于是/(初皿=/(2)=。一弓"*焉=/不=。一2.故《

a—2=—,

2

⑵当/糕！k〃(〃<0)时,f(x)=a+，在［m,网上为减函数

x

1

4+-=〃，

f(加)=n

若存在适合题意的。,则〃7两式相减得------=n-m,

1mn

a+—=)n.

n

〃—m

即-----=n-m,又几一m>0.mn=1,于是a=0.

mn

综上知.存在实数a=0适合题意且mn=1

第六讲函数的最大值、最小值

L解：⑴当x..a,即x—a.0时，函数解析式可化为/(X)=一2以+/,图像开口向上，对称轴为x=§,结

合图像易得：

若a.0,则函数/(%)在［a,物)上是增函数，其最小值为/(a)=2a2：

若a<0,则函数/(%)在对称轴x=1处取得最小值为f

(li)当x<a，即x-a<0时，函数解析式可化为/(%)=/+Zar-/,图像开口向上，对称轴为x=-a，结合图

像易得：

若a.0，则函数/(x)在对称轴x=-。处取得最小值为f{ci)=-2a1；

若a<0.则函数/(%)在(f,a)上是减函数，最小值为f(a)=2a2.

综合(i)和(ii)可得.

函数

—2。~,a..0,

/(X)min=<2。,2

----,o<0,

I3

2.证明⑴/(x)+4=0,即V-(m+1)%+加+4=0,依题意

A=(加+1)2-4(m+4)..0

<tanA+tanB=m+l>0又AB为锐角三角形的两内角，

tanA-tanB=/?/+4>0

4八、八/Ac、tanA+tanBm+l八

/.—<A+B<7t.^tan(A+B)<0,日口tan(A+8)=-------------------=---------<0.

21-tanAtanB-m-3

〃厂—2/yz—15..0

m+1>0,

因而彳〃z+4〉0,.,.加..5，机.5・

〃2+ln

——^>°，

、〃/+3

⑶•/(%)=(x-l)(x-㈤，又一1款上。sa1,.,.掇2+cosa3,恒有/(2+cos。),,0,

即啜k3时，恒有/(%)»(),即(x-l)(x-m)„0

加••工，*max=3,故机..%*=3.

m+lY(m+1)2

(3)解:；/(sina)=sin2«-(m+1)sin«+m=sinor-+m-----------

2)4

+1

且—^―・.2,.,.当sina=-1时/(sina)有最大值8.

即l+(/〃+l)+加=8,故加=3.

3.解二⑴设点尸的坐标为（%%）,则有y0r+—,%>0.

演）

由点到直线的距离公式可知,IPM|=匕兄=——PN|=无。.

V2V2x0

故有|PM|口”=孝.即|加||附|为定值日.

⑵由题意可设，可知N（0,%）.

PM与直线y=x垂直“，左p"=*」=_1，解得1=2（5+乂）），

x0—/2

又%=%+',.•.，=%+」一,联结0P,如图所示.

42%

11c_121

,2AopM4^+25AOW=2%0+T

当且仅当X。=]-时等号成立,四边形OMPN的面积有最小值1+半

第3题图

⑶已知函数/（x）=bx+-的定义域为（0,+8），设点P是函数图像上的任意一点，过点P分别作直线y=bx

X

和y轴的垂线.垂足分别为"、N,则1PMi|PN|为定值不】=•设。为坐标原点，则四边形OMPN的面

扬+i

ab

积有最小值，最小值是a+

Jl+万

证明:设P（X°,%），则尸到y=bx的距离是

\/l+b2闻

1PMM闻=而.

设%，％），〃（的则为%+?\乎=-1

故

卜%=/为+之|=g（如2+a）

故S.

APON

1ba2

=—ClH--7-----T——.

22（1+/72）X2

1

b2ba、ab

故S四边形

OMPN=S&OPM+S^opN22（i+/>2）VVuF

第七讲函数的奇偶性

1.解：（1）解法一：依题意有

/（〃?）=4"'-■1■-2m+l=VI-2.@

A7fn_1］一4'"（4,n-1、

f（-m）=^r-2（-m）+l=y^r+2m+l=-^-^r-2m+lj+2

由(1)代人，得/(一加)=—/+2=2

-2x.

可见,对一切xeR,都有g(-x)=-g(x)，表明g(x)是奇函数.

从而可得/(加)+/(-m)=g(加)+g(-⑼+2=2.

即f(-m)=2-f{ni)=2-V2.

⑵解法一：y=/(x)在x«-2,2]上是偶函数

对任意xe[-2,2],都有/(-%)=/(%).

即ax2一(a+l)x+2=ax2+(a+l)x+2.r.2(a+l)x-0.

・•,xe|-2,2],；.a+l=0R[]a=T.

f(x)=一/+2,xe[-2,2],值域为[-2,2]

解法二:若。=0,则/(x)=x+2，不是偶函数,，a。0.

故f(x)为二次函数，其对称轴为x=二.

2a

又y=f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称:一(：+1)=0,a=-\.

2a

■■■/(x)=-炉+2,XG[-2,2],值域为[-2,2].

2.解:(1)定义域为R上/(x)是奇函数g(x)是偶函数

•••/(-x)=-/(x),g(-X)=g(x),-.-F(x)的定义域为R,

F(-x)=[/(-x)]2-g(—x)=[-f(x)]2一g(x)=[/(x)]2一g(x)=F(x).

F(x)是偶函数.

/(x)+g(x)=2'+x,即/(x)+g(x)=2'+x,

(2)由于«

x

[f(-x)+g(-X)=2--x-/(x)+g(x)=2'-x.

2X-2X+2x2X+2X

解方程组得/(x)=——-——,g(x)=—^―

3.解二(1)依题意有/(-%)=-/(x)对于xeR恒成立得———1=.

2+a22+a2

即一--+」一=1,即22'+282*+1=。-22'+仿2+1).2*+。对于*61i恒成立，

l+a-2'2x+a')

1=Q,

v2。=。2,+l,得Q=l,/(x)=5节1—21在R上是偶函数

1=a,

(2)函数/(龙)是奇函数,题设转化为不等式f(nvc-x]</(x-1)对任意x>0恒成立，又函数.f(x)在

([、21

R上是减函数,又可转化为不等式皿2—x>x_i对任意》〉。恒成立，即〃?>一_+2.一对任意的

\X)X

x>0恒成立.

10

令1=一,则a>-t?2+2t对任意的t>0恒成立，当，>0时，函数g(f)=-t2+2t的最大值为1,.'.m>1

x

故实数加的取值范围是(1,+8).

第八讲函数的单调性

1.解:⑴当a=0时，函数/(x)=-2x+1在(-a),+a))上为减函数;

当a>0时抛物线/(x)=a?-2%+1开口向上，对称轴为x=L

a

函数f(x)在1-8」上为减函数，在+81上为增函数；

当a<0时抛物线/(幻=依2-2尤+1开口向下对称轴为x=L

a

•.函数/(%)在上为增函数，在上为减函数.

⑵:/(x)=a[x—j+1—，由—领h1得1张J—3.

Ia)a3a

N⑷=/=1-1当L,_L<2,即:<a”1时M(a)=/⑶=9a-5.

\a)aa2

故g(a)=9a+'-6；

a

当2领U3,即工釉,时,M(a)="l)=a—1,故g(a)=a+L—2.

a32a

1c「1「

a-\---2-ae----

,、a132」

'girii

〔a(2」

11

一11

⑶证明:当ae3-2-时当，且

g(«2)-g(«,)=a2+--a,

d~2

显然4一%>0』一^-<0…g(a2)<g(aj.

函数g⑷在上为然函数.

同理可证g(a)在上为增函数.

••当a=；时,晨。)取最小值以砌小=g[J=；，故g(4)….

2.解:⑴显然/⑶=4在[0,-8)上单调递增，故/(x)eC

yfa=­a,

2

1I-1a=0

当出=时，若/(x)eD.则可得扬=~，解得<

22b=4

a<h,

故可找到3,田=[0,4>使得/(x)eD,:.f(x)=&wCcD

(2)显然/(x)=«-/在[0,+8)上单调递增，故/(x)eC

当/(x)eD时/(x)在区间［a,加上的值域为-a--b

\[a+/=-a•

_；故f=(x在[。,+8)上有两个不同的实数解

即《

4b+t=-b3

3

令〃=VX(M..O)，即g(〃)=在［0,+8)与横坐标轴有两个不同的交点.

"解得.*°.

故«

A..0,4

?'的取值范围是(一.,0

第九讲函数的周期性

L解⑴由/(x)/(x+2)=13，知/i(尤+2)④x+4)=13.

.­•/(%+4)=/(%)，即/(%)是周期函数.周期为4.

■■■/(99)=/(3-4x24)=/(3)=就13=三13.故选C

JV/乙

x,1+/U-1)

1+/。)1_

⑵.•/(%+1)==/(x-3).

1-/Wt1+/U-D/(X-1)

1-7U-1)

•.函数的周期为4,.-./(2021)=/(505x4+1)=/⑴=1.

2.解：1,对任意xeR都前(x+3)=------.

/(0

二/(x+6)=/(x+3+3)==———X=f(x)/(尤)是周期为6的周期函数.

/(x+3)]

-/(%)

当一3,,x<—1时J、(x)=-(x+2>,当一L,x<3时J(无)=x.

/(I)=1,/(2)=2,/(3)=/(-3)=-I,/(4)=/(-2)=0,/(5)=/(-I)=-l,/(6)=/(0)=0

/(l)+/(2)++/(6)=1.

•/1)+〃2)++/(2016)=lx萼=336.

6

而/(2017)+/(2018)+”2019)4/(2020)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=1+24+0=2.

/(1)+/(2)+…+7(2020)=336+2=338..

3解⑴,y=/(%)是以5为周期的周期函数.，/(4)=/(4-5)=/(-I).

/(1)+/(2)++/(2020)=336+2=338.

又V=/(%)(-啜k1)是奇函数,..•./⑴=-/(-I)=-/(4),.-./(1)+/(4)=0.

⑵当xe[1,4]时,由题意，可设f(x)=a(x-2)2-5(a丰0).

由/(1)+/(4)=0彳导〃(1_2)2_5+/4_2)2_5=0,解得。=2.

，/(x)=2(x—2)2—5(蜃/4).

⑶・「y=/(x)(—啜k1)是奇函数//(0)=0.

又y=/(%)(源!k1)是一次函数,••可设/(%)=履(0M1).

/(1)=2(1—2>—5=—3，又/(I)=k-1=k,：.k=-3.

•••当-掇强1时/(x)=—3x,当4领k6时，一1领k—51

，/(x)=/(%-5)=-3(x-5)=-3x+15.

当6V通卵寸,l<x-54J(x)=/(X-5)=2[(X-5)-2]2-5=2(X-7)2-5,

[-3%+15,4M6

"。)12(%一7)2-5,6<&9

第十讲函数性质的综合运用

1.解:设Xt,x26[-2,2]且X1<x2，则玉一々<0,-x2ef-2,2],

"王＜0由是定义在~2,2］上的奇函数得”6,⑷＜0.

%+(一冗2)玉一X?

/(%)-/(々)＞0,即/(玉)＞/(%2),可知函数/(%)在［一2,2］上是单调递减函数

2,

由f(m-1)-/(I-2m)>0可得/(〃?-1)>/(I-2m),〈—2领1—2机2

m-\<l-2m

-掇加3,

即(一彳1釉,23『解得一个1‘〃2＜彳2，

2223

2

m＜一,

3

故实数的取值范围是

L23J

3.解:(l)；/(x)为偶函数...f(~x)=f(x),bx^0,:.b^Q

•■-g(x)=一-厂,.•.函数g(x)为奇函数.

bx—1

(2)①证明:由g(x)=-~—=x得方程a2x2+历:+1=0(*)有不等实根.

—4/>0,及aw(X得—>1,即----<—1,或----->1.

2a2a2a

又/(X)的对称轴X=-3e(-1.1).故/(%)在(一1,1)上是单调函数.

②玉,x?是方程(*)的根cr+hXy+1=0..0.hx^———1

同理g=-a2^-1,.\/(X))=co^+如+l=o¥；-a2x^=^a-a2>jxj.

同理/(%2)=(。.

a>0,

,；口a＞0,

要使刍＜％＜马〈14•只需4即＜2

/\八。一。＜0.

/(工2)>0,

a<0,

3/、(4<0,

或〃玉)>0,即，八.解集为0.故a的取值范围是(1,田).

//\na-a>0.

〔/(尤2)>。，

3.解:(1)由已知-2)=0.知an?一3-3)田+a-2=0成立.

又meR,/.A=(a-3)2一4a(a—2)..0,即3a2—2a-9„0,

解之得1领hI+；'，而。为负整数.，a=-1.

/(X-2)=-X2+4X-3=-(x-2)2+1,/(x)=-x2+l.

(2)存在实数〃=一上满足要求.

16

q(x)=~(f(x))2+1,F(x)=p-q(x)+F(x)=-p(f(x))2+/(x)-p(p<0)

•,~p>0,/.F(x)的图像开口向上.>(x)的对称轴为f(x)=，一.

2P

对xe(-8,-3］.有/(x)e(-00,-8且/(%)在(-8,-3］上是增函数.

对xe(-3,0)，有/(x)e(-8.1).且/(%)在该区间也是增函数.

要使F(x)在(-«).-3］上是减函数,必须有对称轴，-…-8(p<0).即p,,-.

2〃16

要使F(x)在(-3,0)上是增函数必须有对称轴，一”一8(〃<0).即〃…一上.•.〃=一-^.

2p1616

第十一讲函数图像变换与图像法解题

1.解法一：由题意知/(x)=X2+WJC-1<0xG[m,m+1]恒成立.则蛆<1一炉作出函数y=如与

%=1-尤2的图像如图所示.

3

⑴当机.0时只需加。〃+1）＜1-（/〃+1）2,即2M+3加＜0,解得一]＜加＜0,此时加€0；

⑵当机＜0时只需「""',,解得一年＜机＜0,此时，〃e,0.

加（租+1）＜1-0+1）2212J

（V2、

综上所述，实数机的取值范围是—-,0.

2

解法二：；函数/。）=/+如一1的图像为开口向上的抛物线,又对任意％6[m,加+1],都有/（X）＜0成立.

/(»?)=2/7?2-1<0,V2

2，解得<根<0.

f(m+1)=2m"+3m<02

(五、

实数机的取值范围是―-,0.

2

1(1>」

2.解法一:当时,不等式/(x)+/x-7>1可化为2、+22>1.

2\2J

又结合指数函数的图像易知该不等式显然恒成立....X＞1适合;

2

当月,o时,不等式/。）+/1*―/）＞1可化为彳+1+（工一5]+1〉1,解得%＞—1,又X,,o,——＜甚，0适

合；

当0<X,,—时,不等式/(x)+/(尤一2>1可化为2、+(x-耳］+1〉1,即2、+x>/,

又结合函数y=2*+尤在区间（0,；内单调递增易知该不等式显然恒成立,

：0＜%,；适合.综上，所求x的取值范围是（-；,+8

Y+1rC

〉1=/x>—)—)=»；

\)2,x>U,

由图像变换可画出y=与y=l-/（x）的图像，

如图所示，并求得交点坐标为卜；，；）由图可知，满足小-g）>1—八尤）的解为（一；，+8）故所求》的

取值范围是［-；,+8）.

4,解:如图所示，作出函数/（龙）"左段”的图像（暂且将加视为定值，图像相对确定，称为“静”）,而其"右段"

是以（m,4〃?-nr）为顶点的抛物线的右半支，考虑到点（m,ni）与点（加,4m-m2）相对位置的不确定性，将

4机-机2视为变量称之为"动:以点（加，㈤的制约点（租,4帆-加2）的"动"，在如图所示的3种情况

中，只有③切题，实质上也就是固定点（加,加），当点（加,4加一加2）在直线x=〃z上运动时，只要其在点（加,加）

的下方必存在直线y=匕与函数/（x）的图像有3个交点，故4加一加2〈加，而m>o彳导机>3，即m的取值范

围为（3,+8）.

第十二讲指数函数的常见题型

-\+b-2X+1

L解:⑴「f(x)是奇函数“；./(())=0,即--=0,解得匕=1，从而/(x)=——，又由/(I)=-/(-I)

2+a2+a

1-1

-2+1。

知-----=——，解得a-2,:.a-2,b-1.

4+a\+a

—2E4-111

⑵解法一：由⑴知/(x)=广工=-5+五工？①

由①式易知/(X)在(-00,+00)上为减函数

又：/(X)是奇函数，从而不等式/(/一2。+/(2产一女)<0等价于

f(t2_2。<-/(2/—勾=/(—2/②

.•/(x)是减函数，由②式推得户一2f>-2/+匕

即对一切feR有3产-2/-攵>0.从而判别式△=4+12左<0,解得攵<—J

,1_92—2(+1—*—kI1

解法二：由(1)知/(X)=三)•又由题设条件得―+—<0.

2一+222~2,+'+222~k+'+2

222,2-i

即(2雷-"1+2)(-2-1)+(2-2Z-1+2)(-2+l)<0.

整理得2*-2T>1,因底数2>1,故3/一2r-Z>0对一切tGR均成立.

从而判别式A=4+12%<0.解得％<—；.

2.解:⑴当a=1时,/*)=1+2、+4*是(0,+8)上的单调增函数.

./(x)的值域为(3,+8).

/(龙)不是(0,+8)上的有界函数：对于任意的正数例>0,/(幻>4\故只要4、>知,即》>1(唱4M,就

有/(x)=l+2'+4、>4'>M.

(2)由题意知」/(x)I,,3对任意的XG(-00,0］都成立.

即—3领i+a-2A+4V3在xe(—8,0］时都成立.

4_4')(2

a…———,S.a„\--2'.

A

V2/maxI'2/m,.n

令t=27(0,1］。6(—%0］),

-4-£

则

2V

-JF在(0,1］上单调递减且大于0.-+4在(0,1］上单调递增

T-4*1+—j=-5.即Q..

max=-.一5

I2、J

2

而然-r在(-00,0］上单调递减.

・

A|=l..\-5i!h1

min

即。的取值范围是

1-m-2v\-mti2

(3)令£=2%口,2](%£[0川)厕g(x)------------=----------=-1+——

l+m-2^1+mtl+〃if

2融()2.即鸿1—2晓m虹)l-m

.m>0,.\-1+X=1+4X

1+2/n1+m1+2m1+m

若0<〃4,g,则|g(x)|”了且能取等号(x=0时取)；T..l-m

\+m

»1,

右二</%,1,

2

2m-1

lg(x)l”

「.2m-1/、1+2机2m-1l-m_4〃?2-2

则,…一(",>0,

l-m1+2m1+m(1+277/)(1+m)

lg(x)l,,

l+m

\—m2加一1

当me时，丁…■;一；当机£

14-7711+2机

…3〜—1rrr/、m-1t/、ic2m—1..…、

有想.1,则庞一g(x)------,|g(x)I?--(x=1时取等号).

l+2m1+m\+2m

.T2m-1

1+2m

综上所述,上界的取值范围是当，方72-时为\-m]

g(x)T0<a-------，+8；

1+m)

2m-1]

当机〉时为---------,+8.

1+2m/

第十三讲反函数的概念题型与解题策略