第二节离散性随机变量及其分布

第二节离散性随机变量及其分布第一页，共三十二页，编辑于2023年，星期一

这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律。从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2取每个值的概率为例2.1且第二页，共三十二页，编辑于2023年，星期一

1、定义设离散型随机变量X的所有可能取值为xk（k=1,2,…），称X取各个可能值的概率，即事件｛X=xk｝的概率，

P｛X=xk｝=pk,（k=1,2,…）

为X的分布律或概率分布（Probabilitydistribution）。也可以表示为X

x1 x2 …

xk

… pk

p1 p2 … pk

…一、离散型随机变量概率分布的定义第三页，共三十二页，编辑于2023年，星期一用这两条性质判断一个函数是否是概率分布（1）

pk

0,k＝1,2,…;（2）

2.分布律的性质例2.2

设随机变量X的概率分布为：k=0,1,2,…,试确定常数a

。第四页，共三十二页，编辑于2023年，星期一解:

依据概率分布的性质:P{X=k}≥0,

a≥0从中解得。欲使上述函数为概率分布这里用到了幂级数展开式k=0,1,2,…,第五页，共三十二页，编辑于2023年，星期一3.利用分布律求事件概率离散型随机变量的分布律不仅给出了{X=xk

}的概率，而且通过它可以求事件发生的概率。

由概率的有限可加性有第六页，共三十二页，编辑于2023年，星期一例2.3设袋中有5只球，其中有2只白3只红。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解：k可取值0，1，2，求抽得白球数至少为１的概率。?第七页，共三十二页，编辑于2023年，星期一例2.4

某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的分布律。解：X可取0、1、2为值

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81

且

P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1第八页，共三十二页，编辑于2023年，星期一1.（0-1）分布若随机变量X只取0和1，其分布律为P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,k＝0,1(0<p<1)则称X服从参数为p的（0-1）分布(贝努利分布或两点分布)

（Two-pointdistribution）。二、常见的离散型随机变量的概率分布其分布律也可以写成第九页，共三十二页，编辑于2023年，星期一

凡是随机试验只有两个可能的结果，常用0-1分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等。应用场合

200件产品中，有196件是正品，4件是次品，今从中随机地抽取一件，若规定例2.5X=1,取到合格品0,取到不合格品则P{X=1}=196/200=0.98，P{X=0}=4/200=0.02，

故X服从参数为0.98的两点分布。第十页，共三十二页，编辑于2023年，星期一若以X表示n重伯努利试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布（binomialdistribution）。记作X〜b（n,p),

其分布律为：2.伯努利试验、二项分布设将试验独立重复进行n次，每次试验都只有两种可能的结果A和，设事件A发生的概率为p，则称这n次试验为n重伯努利试验。第十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期一

例2.6

从某大学到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立，并且遇到红灯的概率都是1/3。（1）设X为汽车行驶途中遇到的红灯数，求X的分布律。（2）求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。解:（1）由题意，X～b(6,1/3),于是X的分布律为:第十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期一例2.7

某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。解：设X表示400次独立射击中命中的次数，则X～b(400,0.02)，故,P{X2}=1-P{X=0}-P{X=1}=1-0.98400-(400)(0.02)(0.98399)=0.9972。例2.8，见P35例2。第十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期一注:伯努利概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；二项分布描述的是n重伯努利试验中出现“成功”次数X的概率分布。（3）各次试验相互独立。（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或A，

且P(A)=p，P(A)=1-p；

第十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期一二项分布b(n,p)和0-1分布之间的关系1.若X服从0-1分布，则X∼

b(1,p)；2.把试验E在相同条件下，相互独立地进行n次，记X为n次独立试验中结果A出现的次数，Xi为第i次试验中结果A出现的次数，则Xi

∼

b(1,p)，且X=X1+X2++Xn~b(n,p)。

设试验E只有两个结果：A和A。记p=P(A),0<p<1第十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期一3.

泊松(Poisson)分布定义

若离散型随机变量X的分布律为P{X＝k}＝

,k＝0,1,2,…(0),则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~π(λ)。易见第十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期一例2.9

某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数=3的泊松分布。求：（1）一分钟内恰好收到3次寻呼的概率。

（2）一分钟内收到2至5次寻呼的概率。解：因为X~π(3)，所以X的分布律为

P{X=k}=(3k/k!)e-3,

k＝0,1,2,….则，（1）

P{X=3}=(33/3!)e-3≈0.2240

（2）

P{2≤X≤5}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3≈0.7169第十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期一解:例2.10

某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为0.8的泊松分布。求该城市一天内发生3次以上火灾的概率。

P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}]=1-[(0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)]e-0.8≈0.0474第十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期一泊松分布的图形特点：X~p(l)第十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期一历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的。泊松定理：对于二项分布b(n,p)，当n充分大，p又很小时，则对任意固定的非负整数k，有近似公式

P{X=k}=pk(1-p)n-k

≈

其中。第二十页，共三十二页，编辑于2023年，星期一对例2.７用泊松定理，取

=np＝(400)(0.02)＝8，故近似地有P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}≈1－(1＋8)e－8＝0.996981。第二十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期一由泊松定理，n重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布。我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件，如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等。第二十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期一对于离散型随机变量，如果知道了它的概率分布,也就知道了该随机变量取值的概率规律。在这个意义上，我们说离散型随机变量由它的概率分布唯一确定。

两点分布、二项分布、泊松分布第二十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期一对非离散型随机变量，其取值不是离散的，有时可以充满整个区间，对于这种更一般的随机变量，

我们感兴趣的就不是它取到某个具体的数的概率，而是它的取值落在某一个区间上的概率，比如：P{x1<X

x2},P{X>a}。P{x1<X

x2}=P{X

x2}-P{X

x1},P{X>a}=1-P{X

a｝。为此我们引入随机变量分布函数的概念。三随机变量的分布函数第二十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期一设X是随机变量，对任意实数x，事件{Xx}的概率P{Xx}称为随机变量X的分布函数（Distributionfunction），记为F(x)，即F(x)＝P{Xx}。易知，对任意实数a,b(a<b)，

P{a<Xb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a)。一、分布函数的概念第二十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期一1.这里分布函数的定义对任何随机变量都适用。2.分布函数F(x)＝P{Xx}是一个普通的函数，它的自变量是全体实数。掌握了X的分布函数就掌握了X在(－∞,+∞)上的概率分布情况。

注:

第二十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期一1、单调不减性：

若x1<x2，则F(x1)F(x2);3、右连续性：对任意实数x，二、分布函数的性质2、归一性：

对任意实数x，0F(x)1，且这三个性质是分布函数的充分必要性质第二十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期一例2.11设随机变量X具分布律如右表，试求出X的分布函数及P{X≤1},P{0.5<X≤1.5},P{1≤X≤2}。解：

X012Pk0.10.60.3第二十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期一P{X≤1}=F(1)=0.7,

P{0.5<X≤1.5}=F(1.5)-F(0.5)=0.7-0.1=0.6,P{1≤X≤2}=F(2)-F(1)+P{X=1}=1-0.7+0.6=0.9第二十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期一一般地，对离散型随机变量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为

第三十页，共三十二页，编辑于2023年，星期一例2.12向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐