把握折叠实质 感悟数形结合

考点提炼考点1如图1，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B′处，连接DB′.已知∠C=120°，∠BAE=50°，则∠AB′D的度数为（）.A.50°

B.60°C.80°

D.90°解题思路：由折叠的性质知∠BAE=∠B′AE=50°，AB′=AB，则∠BAB′=100°，由菱形的性质得∠BAD=120°，AB=AD，则∠DAB′=20°，AB′=

AD，利用三角形内角和定理可得∠AB′D=80°.故选C.解题要点：折叠具有全等性，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边相等，对应角相等.考点2如图2，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处.若AB=6，AD′=2，则折痕MN的长为.解题思路：如图2，过点N作NE⊥AD，垂足为点E，连接DD′.易证明△NEM≌△DAD′，则MN=DD′，利用勾股定理求出DD′的长，即可得到折痕MN的长为[210].解题要点：折叠具有对称性，折痕垂直平分对应点所连线段.考点3如图3，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处.若点E在边AB上，AB=4，BC=5，则AE=.解题思路：方法1：由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质得CD=AB=4，BC=AD=5.在Rt△CDF中，由勾股定理得出DF=3，进而得出AF=2.在Rt△AEF中，设AE=x，利用勾股定理建立方程求解，即可得到AE的长为[32].方法2：由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质得CD=AB=4，BC=AD=5.在Rt△CDF中，由勾股定理得出DF=3，进而得出AF=2.利用△AEF∽△DFC，即可得到AE的长为[32].解题要点：在解决折叠中的线段计算问题时，应关注方程思想，运用勾股定理、解直角三角形、相似等知识建立方程求解.真题精讲例1（2022·辽宁·抚顺·本溪·辽阳）如图4，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，则AE的长是.解析：由折叠的性质可知，BF=BA=10，则点F在以点B为圆心，10为半径的圆上运动，如图5，当点G，F，B三点共线时，GF最小.方法1：在Rt△CBG中，由勾股定理可以求出BG=[55]，则FG=[55]-10.设AE=EF=x，则DE=10-x，在Rt△DEG与Rt△FEG中，利用勾股定理建立方程，即可得到AE的长为[55]-5.方法2：在Rt△CBG中，由勾股定理可以求出BG=[55].设AE=EF=x，利用等面积法S梯形ABGD=S△EDG+S△ABE+S△EBG，建立方程，即可得到AE的长为[55]-5.点评：确定当点G，F，B三点共线时，GF最小是解题的关键.例2（2022·辽宁·沈阳）如图6，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H，EN=2，AB=4.当点H为GN的三等分点时，则MD的长为.解析：如图7，过点G作GP⊥AD于点P，则PG=AB=4.根据折叠的性质和平行线的性质可知∠GMN=∠MNG，则MG=NG.根据折叠的性质和矩形的性质可以证明△FGH∽△ENH.由点H为GN的三等分点，分情况讨论.当HN=2GH时，如图7，由△FGH∽△ENH可知FG=1.设MD=MF=x，则MG=GN=x+1，∴PM=3，在Rt△PGM中，根据勾股定理列方程可以求出MD=4.当GH=2HN时，如图8，由△FGH∽△ENH可知FG=4.

设MD=MF=x，则MG=GN=x+4，∴PM=6，在Rt△PGM中，根据勾股定理列方程可以求出MD=[213]-4.綜上，MD的长为4或2[13]-4.点评：解涉及三等分点的问题时，一定注意要分类讨论.勤于积累（1）折叠问题通常会产生以折痕为底的等腰三角形.如图9，△AEC是等腰三角形.（2）解决问题时，要善于挖掘隐含条件，出现双中点时可以使用中位线定理，实现位置关系与数量关系的双迁移.（3）关注方程思想，利用折叠所得到的直角和相等的边或角，根据题意选择一条适当的线段设为x，根据折叠的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，然后运用勾股定理、三角函数、相似列出方程求解.（4）在处理平面几何的许多问题时，常需要借助于圆的性质，而我们需要的圆往往并不存在，这就需要利用已知条件，借助图形把所需的圆找出来.在解决折叠问题时，如果折痕是可变化的并且经过某个定点，那么折叠后关键点的位置也是可变的，此时就需要利用等线段画圆，从而迅速确定好关键点的位置，作出正确图形，进而求解.专题精练1.如图10，在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，使点B落到点E的位置，连接AE.若AE[⫽]DC，∠B=α，则∠EAC等于（）.A.αB.90°-αC.[12]αD.90°-2α2.如图11，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE=1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（）.A.[210]B.[25]C.6D.53.如图12，在矩形ABCD中，AB=5，BC=