2022年全国高中数学联赛江苏赛区

2022年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参照答案与评分细则一试一、填空题（此题满分64分，每题8分）1．已知数列{an}、{bn}知足an＝2错误!120，2、－3，6到直线的距离分别为1和4，则满aaN足条件的直线的条数是．答案：3简解：易得MN＝5，以点M为圆心，半径1为的圆与以点N为圆心，半径为4的圆外切，故知足条件的直线有3条．3．设函数f＝a2＋．已知f3＜4，且当n≥8，∈N*时，fn＞fn＋1恒建立，则实数a的取fn值范围是．答案：－错误!，－错误!简解：方法一因为当n≥8时，fn＞fn＋1恒建立，所以a＜0，此时fn＞fn＋1恒建立等价于f8＞f9，即64a＋8＞81a＋9，解得a＜－错误!．因为f3＜4，所以9＋3＜16＋4，解得＞－错误!．即∈－错误!，－错误!．faaaa方法二考察二次函数f＝a2＋的对称轴和开口方向．因为当n≥8时，fn＞fn＋1恒建立，所以因为f3＜f4，所以－错误!＞错误!，解得4．已知ABCD－A1B1C1D1是边长为3的正方体，

a＜0，且－错误!＜错误!，解得a＜－错误!．a＞－错误!．即a∈－错误!，－错误!．C1B1点a12,1an1a1a2a3a1aBCACAB是抛物线上的动点，则an1anD1A11A错误!的最大值为．答案：错误!R简解：设点，，则错误!2＝错误!＝错误!＝1＋错误!．CBMBDC令4－1＝t，第7题当t≤0时，显然错误!≤1．PDQA2第4题时，等号建立．当t＞0时，则错误!＝1＋错误!≤1＋错误!＝错误!，且当t＝3，即＝1所以错误!的最大值为错误!，此时点M的坐标为1，±错误!．二、解答题（此题满分16分）如图，0m23fxamxmx2x0,a3a12fxaam22

点x(0,a)Pamxmx2m(ax)2ma2ma2BOEFA2443amxmx2a2mamamm342aa(1a)2m2aa(1a)2m24(1(1a)2m2)44m232CD1x3dx1ABC为线段EF上一点，4证明：MAB与MAC面积相等的充分必要条件是MIBCAAPQMEMEFFIIBCBCD第1题证明：过点M作MPAC、MQAB，垂足分别为IDBCIFABIEACAFMAEMRtQFMRtPEMMQMFMPMESMAB1MQABMQABMFABABMEABME2MABMACSMAC1MPACMEACACMFACMFMPAC2MIBCMIBCABMEMIBC在直线ID上ACMFMIFDBFB，MIEECDC因为B、D、I、F四点共圆，所以又IE=IF，则由正弦定理得MFFIIEME,sinMIFsinIMFsin(IMF)sinMIE即MEsinC，而ABsinC所以ABME30分MFsinBACsinBACMFABMEBC其次证明：若，则MIACMF设直线ID与EF交于点，则由上述证明可知

ABM'EACM'F，于是有ABM'E，进而MM'故命题建立40分ACM'F二、（此题满分40分）将凸n边形AAA的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三12n角形对=1,2,，n，记是由极点引出的蓝色边的条数，求证：b1b2bnn22证明：不妨设bmax{b1,b2,,bn}，并且由点A向A1,A2,,Ab引出b条蓝色边，则A1,A2,,Ab之间无蓝色边，A1,A2,,Ab以外的个点，每点至多引出b条蓝(n2n2色边，因此蓝色边总数(nb)bb)b20分24故b1b2bn2n2n2命题得证40分42三、（此题满分50分）设正整数的无穷数列（N）知足a4，a2aa1（），4nn1n1求的通项公式．解：由已知得anan1an1an若有某个，使an11，则anan1，10分an进而an1anan1an2，这显然不可能，因为{an}(nN*)是正整数的无穷数列故数列中的项是严格递增的20分进而由a4可知，a1，a2，a330分4123于是由的递推公式及数学概括法知ann(nN*)40分显然数列{n}(nN*)知足要求，故所求的正整数无穷数列为(n1)50分四、（此题满分50分）设是一个素数，p3(mod4)设，是整数，知足p|x2xyp1y2求证：存在p1y2p1v2)4整数，，使得x2xyp(u2uv44p|(2xy)2py2p|(2xy)2p|2xx2xyp1y24

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