新教材高一数学第二学期期末试卷十（原卷版+教师版）

新教材高一数学第二学期期末试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0虚部为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.3D.SKIPIF1<02.某次数学竞赛中有甲、乙、丙三个方阵，其人数之比为2∶3∶5．现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，其中方阵乙被抽取的人数为（）A.10B.15C.20D.253.底面半径为2，母线长为4的圆锥的表面积为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<04.若向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A.SKIPIF1<0B.0C.1D.0或15.△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<06.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为棱CC1中点，则异面直线AM与C1D1所成角的正切值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<07.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、、兑八卦，每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），现有1人随机从八卦中任取两卦，六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<08.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点（端点除外），且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.16B.17C.18D.19二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题不正确的是（）A三点确定一个平面B.两条相交直线确定一个平面C.一条直线和一点确定一个平面D.两条平行直线确定一个平面10.若复数z满足SKIPIF1<0，则（）A.SKIPIF1<0B.z的实部为1C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<011.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<012.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（）A.三棱锥A−D1PC的体积不变B.直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为SKIPIF1<0C.直线AP与平面ACD1所成角的大小不变D.二面角P−AD1−C的大小不变三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.一组数1、2、4、5、6、6、7、8、9的75%分位数为________．14.已知事件A、B互斥，且事件A发生的概率P（A）＝SKIPIF1<0，事件B发生的P（B）＝SKIPIF1<0，则事件A、B都不发生的概率是________．15.如图，为了测量河对岸的塔高AB．可以选与塔底B在同一水平面内的两个基点C与D，现测得CD＝30米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又∠CBD＝30°，则塔高AB＝________米．16.已知A、B、C是半径为3的球O的球面上的三个点，且∠ACB＝120°，AB＝SKIPIF1<0，AC＋BC＝2．则三棱锥SKIPIF1<0的体积为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是同一平面内的三个向量，其中SKIPIF1<0（3，SKIPIF1<0）．（1）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的坐标；（2）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角SKIPIF1<0．18.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC.19.我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第2组SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第3组SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第4组SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第5组SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．（1）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？20.已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0．（1）求角A；（2）从两个条件：①SKIPIF1<0；②△ABC面积为SKIPIF1<0中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．21.如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将它沿对称轴OO1折叠，使二面角A−OO1−B为直二面角．（1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O−AC−O1的正弦值．22.已知O为坐标原点，对于函数SKIPIF1<0，称向量SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的伴随向量，同时称函数SKIPIF1<0为向量SKIPIF1<0的伴随函数.（1）设函数SKIPIF1<0，试求SKIPIF1<0的伴随向量SKIPIF1<0；（2）记向量SKIPIF1<0的伴随函数为SKIPIF1<0，求当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的值；（3）由（1）中函数SKIPIF1<0的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度得到SKIPIF1<0的图象，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，问在SKIPIF1<0的图象上是否存在一点P，使得SKIPIF1<0.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.新教材高一数学第二学期期末试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的虚部为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.3D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】先求出共轭复数，再求出其虚部即可【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的虚部为3，故选：C2.某次数学竞赛中有甲、乙、丙三个方阵，其人数之比为2∶3∶5．现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，其中方阵乙被抽取的人数为（）A.10B.15C.20D.25【答案】B【解析】【分析】根据抽样比即可求解.【详解】由题意可知：方阵乙被抽取的人数为SKIPIF1<0，故选：B3.底面半径为2，母线长为4的圆锥的表面积为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】利用圆锥的表面积公式即得.【详解】由圆锥的底面半径为2，母线长为4，则圆锥的表面积为SKIPIF1<0.故选：B.4.若向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A.SKIPIF1<0B.0C.1D.0或1【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标运算,结合垂直时向量的坐标关系,即可求得SKIPIF1<0的值.【详解】根据向量的坐标运算,可知SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0,由向量垂直的坐标关系可得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0解方程可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故选:D【点睛】本题考查了向量的坐标运算,垂直时的坐标运算,属于基础题.5.△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理求得SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0结合和角公式求解即可.【详解】由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：D.6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，则异面直线AM与C1D1所成角的正切值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根据线线平行，找到直线AM与C1D1所成角为SKIPIF1<0，在三角形中即可求解【详解】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0或其补角即为直线AM与C1D1所成角，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0是直角三角形，设正方体的棱长为2，则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0故选：C

7.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、、兑八卦，每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），现有1人随机的从八卦中任取两卦，六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎．离、艮、兑八卦，从八卦中任取两卦，基本事件总数SKIPIF1<0，这两卦的六个线中恰有两个阴线包含的基本事件总数有：SKIPIF1<0，由此能求出这两卦的六个线中恰有两个阴线的概率．【详解】解：八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎．离、艮、兑八卦，从八卦中任取两卦，基本事件总数SKIPIF1<0，这两卦的六个线中恰有两个阴线包含的基本事件总数有：SKIPIF1<0，这两卦的六个线中恰有两个阴线的概率为SKIPIF1<0．故选：C．8.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点（端点除外），且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.16B.17C.18D.19【答案】A【解析】【分析】由题意可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简后可利用基本不等式可求得结果【详解】因为点D是线段BC上的动点（端点除外），且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，取等号，所以SKIPIF1<0的最小值为16，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题不正确的是（）A.三点确定一个平面B.两条相交直线确定一个平面C.一条直线和一点确定一个平面D.两条平行直线确定一个平面【答案】AC【解析】【分析】利用立体几何的3个公理与推论即可判断出答案.【详解】对于A选项：若3点在同一直线上时，则不能确定一个平面.错误；对于B选项：两条相交直线确定唯一一个平面.正确；对于C选项：当点在直线上时，则不能确定一个平面.错误；对于D选项：两条平行直线确定唯一一个平面.正确；故答案：AC.10.若复数z满足SKIPIF1<0，则（）A.SKIPIF1<0B.z的实部为1C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】BD【解析】【分析】根据复数的模长公式以及除法运算可得SKIPIF1<0，进而可判断A,B,根据共轭复数可判断C，根据乘方运算，可判断D.【详解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，因此A错误，实部为1，则B正确，SKIPIF1<0，故C错误，SKIPIF1<0，故D正确.故选:BD11.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦定理化简得出SKIPIF1<0的值，结合角SKIPIF1<0的取值范围可求出SKIPIF1<0的值，可判断AB选项的正误；利用三角形面积公式可判断C选项的正误；利用余弦定理可判断D选项的正误.【详解】由SKIPIF1<0及正弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，显然满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，ACD选项正确，B选项错误.故选：ACD.12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（）

A.三棱锥A−D1PC的体积不变B.直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为SKIPIF1<0C.直线AP与平面ACD1所成角的大小不变D.二面角P−AD1−C的大小不变【答案】ABD【解析】【分析】对于选项A，由已知可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，由此可判断；对于选项B，由SKIPIF1<0，可得直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，由此可判断；对于选项C，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，可判断；对于选项D，当点P在直线BC1上运动时，SKIPIF1<0平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故D正确.【详解】对于选项A，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，又SKIPIF1<0，所以三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故A正确；对于选项B，因为SKIPIF1<0，点P在直线BC1上运动，所以直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，因为SKIPIF1<0为等腰直角三角形，故B项正确；对于选项C，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，故C错误；对于选项D，当点P在直线BC1上运动时，SKIPIF1<0平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故D正确.故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.一组数1、2、4、5、6、6、7、8、9的75%分位数为________．【答案】7【解析】【分析】由百分位数定义直接求解【详解】因为SKIPIF1<0，所以75%分位数为第7个数7，故答案为：714.已知事件A、B互斥，且事件A发生的概率P（A）＝SKIPIF1<0，事件B发生的P（B）＝SKIPIF1<0，则事件A、B都不发生的概率是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】事件A、B互斥，事件SKIPIF1<0都不发生的对立事件是事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0至少有一个发生,由此即可求出答案.【详解】事件A、B互斥，且事件A发生的概率P（A）＝SKIPIF1<0，事件B发生的P（B）＝SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0都不发生的对立事件是事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0至少有一个发生,所以事件SKIPIF1<0都不发生的概率为：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.15.如图，为了测量河对岸的塔高AB．可以选与塔底B在同一水平面内的两个基点C与D，现测得CD＝30米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又∠CBD＝30°，则塔高AB＝________米．【答案】30【解析】【分析】设SKIPIF1<0米，进而可得BC，BD，然后利用余弦定理求解.【详解】设SKIPIF1<0米，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（米）.故答案为：30.16.已知A、B、C是半径为3的球O的球面上的三个点，且∠ACB＝120°，AB＝SKIPIF1<0，AC＋BC＝2．则三棱锥SKIPIF1<0的体积为________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】利用正弦定理即可求出SKIPIF1<0的外接圆半径，即可求出三棱锥SKIPIF1<0的高，利用余弦定理即可求出SKIPIF1<0,可计算出SKIPIF1<0的面积，再利用锥体的体积公式即可求出答案.【详解】因为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0.所以三棱锥SKIPIF1<0的高为SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是同一平面内的三个向量，其中SKIPIF1<0（3，SKIPIF1<0）．（1）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0坐标；（2）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）设SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解方程组可求出SKIPIF1<0，从而可求出SKIPIF1<0的坐标；（2）由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，可得SKIPIF1<0化简可求得SKIPIF1<0，从而得SKIPIF1<0，进而可求出SKIPIF1<0【小问1详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【小问2详解】∵SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，代入上式解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．18.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）取PC的中点G，连接FG，BG，则FG为中位线，根据题意，可证明四边形BEFG是平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可得证；（2）设AC∩BD＝O，连接PO，根据题意可证BD⊥PO，BD⊥AC，利用面面垂直的判定定理，即可得证.【详解】证明：（1）取PC的中点G，连接FG，BG，如图所示：∵F是PD的中点，∴FG∥CD，且SKIPIF1<0，又∵底面ABCD菱形，E是AB中点，∴BE∥CD，且SKIPIF1<0，∴BE∥FG，且BE＝FG，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，又EF⊄平面PBC，BG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC；（2）设AC∩BD＝O，则O是BD中点，连接PO，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵PB＝PD，O是BD中点，∴BD⊥PO，又AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.【点睛】本题考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，需熟悉各个定理所需的条件，才能进行分析和证明，考查逻辑分析、推理证明的能力，属中档题.19.我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第2组SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第3组SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第4组SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第5组SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．（1）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？【答案】（1）中位数为SKIPIF1<0，平均数为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）计算各组的频率得中位数在第三组，不妨设为SKIPIF1<0，进而根据SKIPIF1<0求解，根据平均数的计算方法计算即可得答案.（2）由分层抽样得良好”的学生有SKIPIF1<0人，“优秀”的学生有SKIPIF1<0人，进而根据古典概型求解即可.【详解】解：（1）第一组的频率为SKIPIF1<0，第二组的频率为SKIPIF1<0，第三章的频率为SKIPIF1<0，第四组的频率为SKIPIF1<0，第五组的频率为SKIPIF1<0，所以中位数在第三组，不妨设为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，平均数为SKIPIF1<0；（2）根据题意，“良好”的学生有SKIPIF1<0人，“优秀”的学生有SKIPIF1<0人，所以分层抽样得“良好”的学生有SKIPIF1<0人，“优秀”的学生有SKIPIF1<0人，将三名优秀学生分别记为SKIPIF1<0，两名良好的学生分别记为SKIPIF1<0，则这5人中选2人的基本事件有：SKIPIF1<0共10种，其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：SKIPIF1<0共9种，所以至少有一人是“优秀”的概率是SKIPIF1<020.已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0．（1）求角A；（2）从两个条件：①SKIPIF1<0；②△ABC的面积为SKIPIF1<0中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理将已知式子统一成边的形式化简，再利用余弦定理可求出角A；（2）若选①，则由正弦定理可得SKIPIF1<0，从而表示出三角形的周长，化简后利用正弦函数的性质可求出其范围，若选②，由SKIPIF1<0结合已知条件可得SKIPIF1<0，再利用余弦定理表示出SKIPIF1<0，然后表示出三角形的周长，结合基本不等式可求出其范围【小问1详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0【小问2详解】选择①SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即△ABC的周长SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即△ABC周长的取值范围是（6，9]．选择②SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即△ABC的周长SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立所以SKIPIF1<0．即△ABC周长的取值范围是SKIPIF1<0．21.如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将它沿对称轴OO1折叠，使二面角A−OO1−B为直二面角．

（1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O−AC−O1的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）由题意可知∠AOB是所折成的直二面角的平面角，则AO⊥平面SKIPIF1<0，得OC是AC在平面SKIPIF1<0内的射影，然后由已知的数据可求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以得SKIPIF1<0，从而可得结论，（2）设SKIPIF1<0，过点E作SKIPIF1<0于点F，连接SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，然后结合已知数据在SKIPIF1<0中求解即可【小问1详解】由题知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB．因为SKIPIF1<0，所以AO⊥平面SKIPIF1<0，所以OC是AC在平面SKIPIF1<0内的射影，在四边形ABCD等腰梯形中，SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为AO⊥平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0【小问2详解】由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0⊥平面AOC．设SKIPIF1<0，过点E作SKIPIF1<0于点F，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角．由（1）知得，SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0