中考数学阅读理解训练习题

阅读理解专题训练

1、若X”X2是关于x的方程x'+bx+c=O的两个实数根，且Ixj+|xz|=2|k|（k是整数），则称

x-+6x-27=0,x-+4x+4=0,都是“偶系二次方程”.

（1）判断方程x?+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；

（2）对于任意一个整数b,是否存在实数c,使得关于x的方程/+bx+c=0是“偶系二次方

程”，并说明理由.

（1）不是，解方程x?+x-12=0得，xi=3,X2=-4.

|xi|+|xz|=3+4=7=2X3.5.「3.5不是整数，-12=0不是“偶系二次方程；

（2）存在.理由如下：

Vx2-6x-27=0和X2+6X-27=0是偶系二次方程，

假设c=mb,+n,当b=-6,c=-27时，-27=36m+n.

：x2=0是偶系二次方程，，n=0时，m=-W；.c=-务匚

44

22

•/X+3X-与=0是偶系二次方程，当b=3时，c=-Jx3.

，可设c=-§A对于任意一个整数b,c=-3?时，

44

△=b2-4c=4b2.x=-b±2b,X2=ib.

2

|xi|+|x2|=2b,,.'b是整数,

对于任何一个整数b,c=-12时，关于x的方程x、bx+c=0是“偶系二次方程”.

2、阅读材料：若a,b都是非负实数，则a+b22j石.当且仅当a=b时;"=”成立.

证明：：（亡一孤）>0,，a-2日+b20.

••e+1322疝.当且仅当@=1）时，"=”成立.

举例应用：已知x>0,求函数y=2x+2的最小值.

解：y:

当x=l时，函数取得最小值，y最小二4.

问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度.某种汽车在每小时70〜110公里之

间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（上里2）升.若该汽车以每小时x公里

18x2

的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升.

（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；

（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）.

考点：反比例函数的应用；一元一次不等式的应用.

分析：（1）根据耗油总量=每公里的耗油量X行驶的速度列出函数关系式即可；

（2）经济时速就是耗油量最小的形式速度.

解答：解：（1）•••汽车在每小时70〜110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里

耗油（上雪）升.

18x2

:yxX（上照=X.津0（70WxW110）；

18x218^7

（2）根据材料得：当工里时有最小值，

18x

解得：x=90

•••该汽车的经济时速为90千米/小时；

当x=90时百公里耗油量为100义（A+J50_）^11.1升，

188100

点评：本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是读懂题目提供的材料.

3、在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1）,

（-2,-2）,（0，3）,…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。

n

y-~

（1）若点P（2,in）是反比例函数％（n为常数，nNO）的图像上的“梦之点”，求这

个反比例函数的解析式；

（2）函数y=3"+s—l（k,s为常数）的图像上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦

之点”的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若二次函数y=62+法+1（2,13是常数，2>0）的图像上存在两个“梦之点”人（小王），

/61157

B&2，％),且满足一2<%<2,1药-々1=2,令48

试求t的取值范围。

解：⑴点P（2,m）是"梦之点"，；.m=2,

•.•点P（2,2）在反比例函数y=22（n为常数,n#O）的图象上,

，n=2x2=4,...反比例函数的解析式为y=9；

X

（2）假设函数y=3kx+s-1（k,s是常数）的图象上存在〃梦之点〃（x,x）,

则有x=3kx+s-1,整理，得（3k-1）x=l-s,

当3k-1x0,即kw1时，解得x=1-s；

33k-1

当3k-1=0,1-s=0,即k=2，s=l时，x有无穷多解；

3

当3k-1=0,1-s*0,即k=-l,s#l时，x无解；

3

综上所述，当kJ时，"梦之点”的坐标为(.1一二,二二2)；当k=l,s=l时，"梦之点”

33k-13k-13

有无数个；当k=Lswl时，不存在"梦之点"；

3

(3):二次函数y=ax?+bx+l(a,b是常数，a>0)的图象上存在两个不同的"梦之点"A(xi,

X1),B(X2，X2)，

...xi=axi2+bxi+l,X2=ax22+bx2+l,

axj2+(b-1)xi+l=O,ax22+(b-1)X2+l=0,

.*.xi，X2是一元二次方程ax?+(b-1)x+l=O的两个不等实根，

・上1一b1

aa

2

.zx2z.x2.z1-bx2Alb-2b+l-4a

..(X1-X2)=(X1+X2)-4xpX2=(----)-4*-±=---------------=4,

aaa2

Ab2-2b=4a2+4a-1=(2a+l)2-2,

.\t=b2-2b+l^L=(2a+l)2-2+1^1=(2a+l)2+31.

484848

V-2<xi<2,|xi-X2|=2,；.-4VX2<0或0<X2<4,A-4<x2<4,

A-8<XI«X2<8,A-8<i<8,Va>0,/.a>A

a8

/.(2a+l)2+旦>玛•里U,：，t>ll.

48164866

ax+by

4、对x,y定义一种新运算T,规定7(x,y)=2x+^,(其中a,6均为非零常数)，

QXO+〃X1,

-----------二b

这里等式右边是通常的四则运算，例如：7(0,1)=2x0+1

(1)已知7(1,-1)=-2,7(4,2)=1.

①求a,A的值；

T(2m,5-4m)<4

V

②若关于加的不等式组〔7。入3-2，〃)>“恰好有3个整数解，求实数p的取值范围；

(2)若Tlx,y)=以y,x)对于任意实数x,y都成立，(这里T〈x,力和T(y,x)均有意义)，

则a,。应满足怎样的关系式？

5、若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.

(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；

(2)已知关于x的二次函数yi=2x?-4mx+2m?+1和y2=ax?+bx+5,其中外的图象经过点A(1,

1),若yi+y?与外为“同簇二次函数”，求函数正的表达式，并求出当0WxW3时，皿的最

大值.

6、已知点P(X。，K)和直线丁=履+乙则点p到直线丁=履+"的距离"可用公式

”|依）二NoyI

1+♦计算.

例如：求点P（—2，I）到直线y=*+i的距离.

解:因为直线,=犬+1可变形为x—y+i=o,其中上=1力=1

所以点尸（一2,1）到直线丁=*+1的距离为:

d_|绢-%+3_|lx(-2)-1+1|=_2_

‘，1+公71+7V2

根据以上材料，求：（1）点RLD到直线y=3x-2的距离，并说明点P与直线的位置关

系；

（2）点P（2，T）到直线丁=2%-1的距离；

（3）已知直线丁=一*+1与丁=一苫+3平行，求这两条直线的距离.

7、阅读：我们知道，在数轴上，x=l表示一个点.而在平面直角坐标系中，x=l表示一条

直线；我们还知道，以二元一次方方程2x-y+l=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一

次函数y=2x+l的图象，它也是一条直线，如图2-4-10可以得出：直线x=l与直线y=2x+l

的交点P的坐标（1,3）就是方程组尸=1

b=3

在直角坐标系中，x41表示一个平面区域,即直线x=l以及它左侧的部分，如图2-4T1；

y42x+l也表示一个平面区域，即直线y=2x+l以及它下方的部分，如图2-4T2.回答下

列问题：在直角坐标系（图2-4-13）中，

（1）用作图象的方法求出方程组卜=一：°的解.

[y=-2x+2

x>-2

（2）用阴影表示y4-2x+2,所围成的区域.

y>0

分析：通过阅读本题所提供的材料，我们要明白两点：方程组的解与两直线交点坐标的

关系；不等式组的解在坐标中区域的表示方法.

解：(1)如图2-4-13,在坐标中分别作出直线x=—2和直线y=-2x+2,这两条直

线的交点P(-2,6),则1二2是方程组尸=一：的解.

[y=6[y=-2x+2

8、九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册第52页的例2是这样的：“解方程

/-6/+5=0”.这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设/

=y,那么/=/,于是原方程可变为y2—6y+5=0……①，解这个方程得：yi=l,y2

=5.当y=l时，X2=1,x=±1；当y=5时，x2=5,x=±J^。所以原方程有

四个根：xi=l,xa=-1,x3=V5,X4=--s/5»

⑴在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了转化的数学

思想.

⑵解方程(％2-%)2-4(%2-12=()时，若设y=/_x,则原方程可化

为•

9、先阅读下列材料，再解答后面的问题

材料：一般地，n个相同的因数a相乘：。a记为a"。如2—8,此时，3叫做以2为底

、---V---'

〃个

8的对数，记为log28(S[Jlog28=3)。一般地，若a"=匕(a>0且a工>0),则n叫做

以a为底b的对数，记为Iog.b(即log,*=〃).女ns4=81,则4叫做以3为底81的对数,

记为log381(艮田Og381=4)。

问题：(1)计算以下各对数的值

log24=log216=log264=

(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式?log,4Uog216>log264

之间又满足怎样的关系式？

(3)由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

log,,M+log.N={a〉0且aw1,M〉0,N〉0)

根据累的运算法则：a"-a"'=an+m以及对数的含义证明上述结论。

10、先阅读理解下列例题，再按例题解一元二次不等式：6X2-X-2>0

解：把6/一％一2分解因式，得612一％—2=(3x-2)(2x-l)

又6X2—九一2>0,所以(3x—2)(2x—1)>0

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有

3x-2>03x-2<0

⑴或(2)

2x-l>021<0

2

解不等式组(1)得x>-

3

解不等式组(2)得x

2

22_

所以(3x—2)(2x—1)>0的解集为x〉一或x<

32

5x4-1

作业题：①求分式不等式------〈0的解集。

2.x3

②通过阅读例题和作业题①，你学会了什么知识和方法？

11、阅读材料，解答问题:

材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这PK—3,9)开始，按点的横坐标依次

增加1的规律，在抛物线y=/上向右跳动，得到点P2、

p3、P“、P5……(如图12所示)。过Pl、Pz、P3分别作P局、

P2H2、P3H3垂直于X轴，垂足为Hl、Hz、M,则

5白勺户24一s梯形-s梯形4%也4—s梯形用名均鸟

=-(9+1)x2--(9+4)x1-1(4+1)x1

222

=1

即△PBPs的面积为1。”

问题：

图12

⑴求四边形PRPsP,和P2P3PR的面积(要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另一个

直接写出答案)；

⑵猜想四边形P“-RPmP"2的面积，并说明理由(利用图

13)

⑶若将抛物线y=/改为抛物线y=_?+c,其它

条件不变，猜想四边形P.-RP"R.2的面积(直接写出答

案)

12、若冷天是关于％的一元二次方程

加+尿+。=0("0)的两个根，则方程的两个根x”x?和

hr

系数。，4C有如下关系：演+X,=-—，X,-x,=-.我

aa

们把它们称为根与系数关系定理.

如果设二次函数yna^+bx+cmwO)的图象与x轴的两个交点为4%,O),/?。?,。).利

用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：

AB=\xt-x2\=Ja+xn-g=，一9一1==扬,产-

请你参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数y=ar2+Ac+c(a>0)的图象与x轴的两个交点为“40),8(孙0),抛物线

的顶点为C,显然A4BC为等腰三角形.

(1)当A48C为等腰直角三角形时，求从-4at的值；

(2)当AA8C为等边三角形时，b2-4ac=

(3)设抛物线y=V+依+1与x轴的两个交点为A、B,顶点为C,且ZAC8=90。，

试问如何平移此抛物线，才能使ZACB=600?

13、在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义:

若口一出闫y一必1，则点4与点鸟的“非常距离”为I百一%|；

若I石一/1<Iy—%I，则点6与点八的“非常距离”为Iy—%I・

例如：点4(1,2),点鸟(3,5),因为|1一3|<|2—5],所以点《与点鸟的“非

常距离”为|2-5|=3,也就是图1中线段[Q与线段长度的较大值(点。

图1

为垂直于y轴的直线片。与垂直于x轴的直线鸟。的交点）.

1）已知点A（—；,0）,B为y轴上的一个动点，

①若点A与点8的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点8的坐标；

②直接写出点4与点8的“非常距离”的最小值；

（2）已知C是直线y=?x+3上的一个动点，

4

①如图2,点。的坐标是（0,1）,求点C与点。的“非常距离”的最小值及相应的点C的

坐标；

②如图3,七是以原点。为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”

25.在平面直角坐标系中，对于任意两点F(.%)与8(热㈤的“非常距离”，给出如

下定义：若期一加之仇―则点月与点月的“非常距离”为期-七1，若

比一小1<仇一%1，则点A与点K的“非常距离”为伍-丫21，

例如：点8(1,2),点月(3,5),因为|1-3|<|2-51，所以点■与点鸟的“非常距离”为

|2-5|=3,也就是图1中线段户图与线段2。长度的较大值(点。为垂直于y轴的直线

尸以与垂直于x轴的直线80的交点)

(1)已知小0,1),8为x轴上的一个动点.

①若点』与点〃的“非常距离”为3,写出满足条件的点夕的坐标.

②直接写出点/与点8的“非常距离”的最小值.

(2)已知材是直线丫=一:第一2上的一个动点，

2

①如图2,点N的坐标是(-2,0),求点"与点/V的''非常距离”的最小值及

相应的点"的坐标

②若。是坐标平面内的一个动点，且04,直接写出点M与点户的“非常距离”

14、如果方程Y+px+quO的两个根是.，了2，那么X+9=-p,x,W=4,请根据以上

结论，解决下列问题：

(1)已知关于x的方程》2+的+〃=0,(〃了()),求出一个一元二次方程，使它的两个根分

别是已知方程两根的倒数；

Qh

(2)已知a、b满足。2-i5a—5=O,Z?2—15小一5=O,求一+一的值；

ba

(3)已知a、b、c满足a+Z?+c=(),aZ?c=16求正数c的最小值。

（4）已知实数p、q满足p'=3P+2,2q2=3q+l且p与q不等，求p*+4q"的值

【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。

点a、b、c在数轴上分别表示有理数那么A到B的距离与A到C的距离之

和可表示为？认真阅读下面的材料，完成有关问题.材料1：在学习绝对值时，老师教过我

们绝对值的几何含义，如15-31表示5、3在数轴上对应的

认真阅读下面的材料，完成有关问题.

材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5-3|表示5、3在数轴上对

应的两点之间的距离；|5+3|=|5—（-3）|,所以|5+3|表示5、一3在数轴上对应的两点之

间的距离；|5|=|5-0],所以⑸表示5在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点A、B

在数轴上分别表示有理数a、b,那么A、B之间的距离可表示为|a-b|.

问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、一2、1,那么A到B的距离与A到C

的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）.

问题（2）：利用数轴探究：①找出满足1x—31+1x+11=6的x的所有值是，②设|x-31+1x+11

=P，当x的值取在不小于一1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，

这个最小值是；当x的值取在的范围时，|x|+|x-2]的最小值是.

材料2：求|x-3|+|x—2+1x+11的最小值.

分析：|x-31+1X—21+1x+11=（|x-31+1x+11）+|x—2|

根据问题（2）中的探究②可知，要使|x-3|+|x+l|的值最小，x的值只要取一1到3之间（包

括一1、3）的任意一个数，要使除一2|的值最小，x应取2,显然当x=2时能同时满足要求,

把x=2代入原式计算即可.

问题（3）：利用材料2的方法求出|x-3|+|x—2|+|x|+|x+l|的最小值.

15.认真阅读下面的材料，完成有关问题.

材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5-3|表示5、3在数轴

上对应的两点之间的距离；|5+3]=|5-（-3）I，所以|5+3|表示5、-3在数轴上对

应的两点之间的距离；|5|=|5-0],所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离.一

般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,那么A、B之间的距离可表示为|a-b1.

问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数X、-2、1,那么A到B的距离与A

到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）.

问题（2）：利用数轴探究：①找出满足|x-3|+|x+l|=6的x的所有值是一

，②设|x-3|+|x+l|=p,当x的值取在不小于-1且不大于3的范围时,

P的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是;当x的取值范围是

时，|x|+|x-2]取得最小值，最小值是

问题（3）：求k-3|+卜-2|+鼠+1|的最小值以及此时乂的值；

问题（4）：若|x-3|+|x-21+lx|+|x+l|2a对任意的实数x都成立，求a的取值范围

16、类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移

1个单位.用实数加法表示为3+（-2）=1.

若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，

平移同个单位），沿y轴方向平移的数量为6（向上为正，向下为负，平移网个单位），

则把有序数对{&厉叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a,6}与“平移量”{c,

d}的加法运算法则为{a,h]+{c,d}=[a+c,b+d].

解决问题：（1）计算：⑶1}+{1,2}；{1,2}+{3,1}.

（2）①动点P从坐标原点。出发，先按照“平移量”{3,1}平移到4,再按照“平移量”

{1,2}平移到8；若先把动点。按照“平移量”{1,2}平移到C,再按照“平移量”

{3,1}平移，最后的位置还是点8吗？在图1中画出四边形》吹

②证明四边形如筑是平行四边形.

（3）如图2,一艘船从码头。出发，先航行到湖心岛码头户（2,3）,再从码头。航行

到码头0（5,5）,最后回到出发点。.请用“平移量”加法算式表示它的航行过程.

如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，对于任意两点A（王，必），B（X2,%），由

2

勾股定理可得：AB2我们把+（'1—，2）2

=（x,-x2）J（X|—Ft

叫做A、B两点之间的距离，记作43=—々1+（必一乃丫.

例题:在平面直角坐标系中，0为坐标原点，设点P(X,0).

①A(0,2),B(3,-2),贝ljAB=.；PA=.；

解：由定义有=J(O—3)2+[2_(_2)]2=5；弘=也—3。+(0-2)2=J/+4.

②厅+4表示的几何意义是.；J-+i+J」—2)2+9表示的几何意义

是..

解：因为J(X—1)2+4=J(X_1)2+(O_2)2,所以Ip+4表示的几何意义是点

P(x,O)到点(1,2)的距离；同理可得，J/+i+J(无一2)2+9表示的几何意义是点P(x,O)分

别到点(0,1)和点(2,3)的距离和.

根据以上阅读材料，解决下列问题：

⑴如图，已知直线y=-2x+8与反比例函数y=-(x>0)的图像交于

X

A(X],必[B{X2,必)两点，则点A、B的坐标分别为A(,),

B(,),AB=.

(2)在(1)的条件下，设点尸(x,O),则{(》一再)2+必2+)a一々)2+必2表示的几何意义

是；试求」(x-X])~+yJ+々)一+必-的最小值，以及取得

最小值时点P的坐标.

18.先阅读下列材料，然后回答后面问题：

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.能分组分

解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、

“3+2”分法及“3+3”分法等.

如“2+2”分法：

ajc+ay+bx+by

=(ax+ay)+(bx+by)

=a(x+y)+Z?(x+y)

=(x+y)(a+b)

如“3+1”分法:

2xy+y2-1+x2

=x2+2xy+y2-1

=(x+y)2-1

=(x+y+l)(x+y-l)

请你仿照以上方法,探索并解决下列问题：

(1)分解因式：X2-y2-x-y,

(2)分解因式：45am2-20ax2+20ary-5ay2；

(3)分解因式：4,「+4。-—h—4ab+1.

19、阅读理解

对某一个函数给出如下定义，若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足

-MWyWM,则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的

边界值，例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1.

(1)判断函数y(x>0)和y=x+l(-4<xW2)是不是有界函数？若是有界函数，求

x

出其边界值。

(2)若函数y=—x+1(aWxWb,b>a)边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b的

取值范围。

(3)将函数y=f(TWxWm,m20)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界是t,当

3

m在什么范围时满足一WtW1

4

20.阅读材料:

已知p-p-l=0f1-(T7-O,且pq中1,求+1的值.

q

解：由p~p~\=0及l-Q-q=0f可知2#0,斤0

又•：：・P^~

q

小丫⑴

・・・1-可变形为-------1=0的特征

所以p与L是方程X-1=0的两个不相等的实数根

q

则〃+'=1,二，"+1=]

qq

根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.

已知：2苏一5/1=0,与+』-2=0,且加W〃

nn

求：工+一的值.

mn

2

21、对于实数a、b,定义一种新运算“8”为：a0b=———，这里等式右边是通常的四

a+ab

21

则运算.例如：1®3=-------=—.

I2+1x32

(1)解方程(一2)(8)1=1位工；

(2)若均为自然数，且满足等式y-5=―—，求满足条件的所有数对(x,y).

(-1)0X

1.让我们轻松一下，做一个数字游戏：

第一步：取一个自然数n1=5,计算rv+l得a];

第二步：算出a1的各位数字之和得n2,计算n?+l得a2;

第三步：算出a2的各位数字之和得n3,再计算取3+1得a3;

依此类推，贝11a=

域题详憎

2.用与表示一种法则：(a=>b)=-b,(a=b)=-a,如(2=3)=

-3,

则(2010n2011)=(2009=>2001)=

院题详情

3符号："称为二阶行列式,规定它的运算法则为：F"卜"一"，请

21

11=1

你根据上述规定求出下列等式中无的值：匕口

类型之二模仿型阅读理解题

在已有知识的基础上，设计一个陌生的数学情景，通过阅读相关信息，根据题目引

入新知识进行猜想解答的一类新题型.解题关键是理解材料中所提供的解题途径和

方法，运用归纳与类比的方法去探索新的解题方法.问题解答并不太难，虽出发点

低，但落脚点高.是"学生的可持续发展"理念的体现.

试题详惘

4.阅读材料，解答下列问题.

例：当a>0时，如”=6则同=网=6,故此时”的绝对值是它本身

当a=。时，同=。，故此时”的绝对值是零

当a<。时，如a=-6则同=1阁=6=-(-®,故此时a的绝对值是它的相反数

二综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即

a当a>。

0当a=0

-a当a<0

这种f分析方法涌透了数学的分类讨论思想.

问：Q)请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式"的各种展开的情况.

(2)猜想在与同的大小关系.

肮题详情

5.阅读理解：若P、小为整数，且三次方程d+那+"♦"•二。有整数解c,

则将C代入方程得：d+"+9d=°,

移项得：,

即有："»=cxgc‘一后一@,

由于-/一产一内，及"都是整数，所以c是m的因数.

上述过程说明：整数系数方程“+变+府=°的整数解只可能是m的因数.

例如：方程X*+4/+3工一2=。中-2的因数为±1和±2,将它们分别代入方程

W+4-+疑-2=0进行验证得：x=-2是该方程的整数解，-1、1、2不是方程的整

数解.

解决问题：（1）根据上面的学习，请你确定方程d+V+5x+7=。的整数解只可能是哪

几个整数？

（2）方程V-〃-年+3=。是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理

由

域题详憎

6.实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人.为了解学

生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生

中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？

建立模型：为解决上面的"实际问题"，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数

学模型：

在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现

要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：

(1)我们首先考虑最简单的情况即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的,

则最少需摸出多少个小球？

假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情

况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个

小球同色,即最少需摸出小球的个数是：1+3=4(如图①);

(2)若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？

我们只需在(1)的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，

即最少需摸出小球的个数是：1+3X2=7(如图②)

(3)若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？

我们只需在(2)的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，

即最少需摸出小球的个数是：1+3X3=10(如图③)：

(10)若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？

我们只需在(9)的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，

即最少需摸出小球的个数是：1+3XQ0-1)=28(如图⑩)

模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20分(除

颜色外完全相同)，现从袋中随机摸球:

(1)若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是.

(2)若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是；

⑶若要确保摸出的小球至少有“个同色("＜加),则最少需摸出小球的个数

是•

模型拓展二：在不透明口袋中装有两种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同)，现

从袋中随机摸球：

(1)若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是.

(2)若要确保摸出的小球至少有”个同色(时＜20),则最少需摸出小球的个数

是•

问题解决：(1)请把本题中的“实际问题"转化为一个从口袋中摸球的数学模型；

(2)根据(1)中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生.

类型之三操作型阅读理解题

操作型阅读理解题通常先提供图形变化的方法步骤.解题的时候，你只要根据题目

所提供的操作步骤一步步解题即可.它能有效检测学生的创新意识和创新能力的好

题型，是中考改革的必然产物.这类问题能较好地考查学生用数学的能力，具有很强的

开放性并具有一定的趣味性和挑战性.

就题详情

7.阅读理解：对于任意正实数a、b,•.《后一胸2“，.a-2^+b＞0,

..a+b＞2强,只有当a=b时，等号成立.

结论：在“+右＞2-^(a,b均为正实数)中，若ab为定值p,则a+b*J7,只

有当a=b时，a+b有最小值.

根据上述内容，回答下列问题：

若m>0,只有当m=时，***高有最小值

思考验证：如图1,AB为半圆0的直径，C为半圆上任意一点(与点A、B不重合)，

过点C作CDJ_AB,垂足为D,AD=a,DB=b.

试根据图形验证>2^,并指出等号成立时的条件.

探索应用：如图2,已知A(-3,0),B(0,-4),P为双曲线,一二(x>0)上的任

意一点,过点P作PC±x轴于点C,PD±y轴于点D.求四边形ABCD面积的最

小值，并说明此时四边形ABCD的形状.

R式题详情

8.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为"蛋圆"，如果一

条直线与“蛋圆"只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.

如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆"与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0,-3),

AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为Q,0),半圆半径为2.

(1)请你求出"蛋圆"抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

(2)你能求出经过点C的“蛋圆"切线的解析式吗？试试看；

(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆"切线的解析式.

肮题详情

9.请阅读下列材料：

问题：如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A,B,E在同一条直线上，P是线

PG

段DF的中点，连结PG,PC.若wc=4即=«r，探究PG与PC的位置关系及R

的值.

小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得

到解决.

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

PG

⑴写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及拓的值;

（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱

形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）.你在（1）中

得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

⑶若图1中的<a<«r）将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角

PG

度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出拓的值（用含a的式子表示）.

PG

解：（1）线